高中数学笔记总结高一至高三很全

中学数学学问点

中学数学第一章-集合

§01.集合与简易逻辑学问要点

一、学问结构：

本章学问主要分为集合、简洁不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三

二、学问回顾：

（一）集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的运用.

2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.

集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.

集合的性质：

①任何一个集合是它本身的子集，记为A=

②空集是任何集合的子集，记为。qA;

③空集是任何非空集合的真子集；

假如4a8,同时8勺4,则力-B.

假如A口8,BGC,那久aC.

［注］:①多{整数}(J)z={全体整数}(X)

②已知集合S中/的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.(X)(例:

S=N；A=N+,则CA={0})

③空集的补集是全集.

④若集合a集合反则04=0,擞=0G(&?)=〃(注：c5=0).

3.①］(x,y)\xy=0,xGR,昨用坐标轴上的点集.

②{(x,y)|盯<0,xRR,昨7?}二、四象限的点集.

③］(x,y)\xy>Q,xRR,曲一、三象限的点集.

［注］:①对方程组解的集合应是点集.

例：［：+73解的集合{⑵1)}.

②点集与数集的交集是。.(例：A={(x,y)|y=x+l}B={y|y=*+1}则

ACB=0)

4.①〃个元素的子集有2〃个.②〃个元素的真子集有2"一1个.③〃个

元素的非空真子集有2〃一2个.

5.⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题确定为真.否命题。逆命题.

②一个命题为真，则它的逆否命题确定为真.原命题。逆否命题.

例：①若a+〃H5,则2或8#3应是真命题.

解：逆否：a=2且6=3,则a+b=5,成立，所以此命题为真.

②x#1且yW2,Ax+yn3•

解：逆否：x+y=3Ax=1或y=2.

.,.XHl且"2Ax+"3,故x+尸3是XHl且”2的既不是充分,又不是必要条件.

⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.

3.例：右x好5,=>x>-5B!CC2.

4.集合运算：交、并、补.

交：A5=A,且工£团

并：AB<=>{x|xeA^xGB}

补：4A={x£U,且xeA}

5.主要性质和运算律

（1）包含关系-AGA,①=A,A£U,品Au”

八AGB,BCC=>AGC;AIB^A,ACBCB;A\

（2）等价关系：A=8oA[8=AoAB=B=，,AB=U

（二）含确定值不等式、一元二次不等式的解法与延长

1.整式不等式的解法

根轴法（零点分段法）从右向左，从上向下，奇穿偶回，零点探讨

①将不等式化为ao（x-x,）（x-x2）-（x-xm）>0«0）并将各因式x的

系数化“+”；（为了统一便利）

②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；

④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在x轴上方的

区间；若不等式是“<0”，则找“线”在x轴下方的区间.

---------0----------0----------°----------------------j/f------------------------------------------------------------>

Xx

1x„x„n-3—]m-2n-i-xmX

乙3

（自右向左正负相间）

n2

则不等式的了"+qx"T+a2x~+---+an>0（<0）（他>0）的解可以依据各区间的符

号确定.

特例①一元一次不等式ax>b解的探讨；

②一元二次不等式ax,boxXXa>。）解的探讨.

A>0△=0A<0

二次函

数

y=ax1+hx+cJ

IT0

(a>0)的上

图象

一元二次方

有两相等

有两相异实根

程

实根无

xx(x<x)

ax2+bx+c=0l92i2b实根

X\=X2="—

(a>0的根

ax2+hx+c>01

[^x<x]^x>x2]

(。>0)的角星集XT}

R

ax2+bx+c<0

<X<X2)0

(。>0)的角牟集M%]0

2.分式不等式的解法

(1)标准化：移项通分化为或△义句)；△必力0(或以立或

g(x)g(x)g(x)g(x)

0)的形式，

(2)转化为整式不等式(组)

>0=g)g(x)>0;瑞20={瑞雪>。

g(x)

3.含确定值不等式的解法

(1)公式法：而+可<c,与m+母>c(c>0)型的不等式的解法.

(2)定义法：用“零点分区间法”分类探讨.

(3)几何法：依据确定值的几何意义用数形结合思想方法解题.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax?+bx+c=O(aWO)

(1)根的“零分布”：依据判别式和韦达定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解

(三)简易逻辑

1、命题的定义：可以推断真假的语句叫做命题。

2、逻辑联结词、简洁命题与复合命题：

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命

题是简洁命题；由简洁命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成

的命题是复合命题。

构成复合命题的形式：P或q(记作“pVq")”且口成己作'濯八口”);

非P（记作"lq"）o

3、“或”、“且”、“非”的真值

推断

(1)“非P”形式复合命题的真假与

F的真假相反；

(2)“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他状况时为假;

(3)"p或q"形式复合命题当p与q同为假时为假，其他状况时为真.

4、四种命题的形式:

原命题：若P则q；逆命题：若q则P；

否命题：若rP贝kiq；逆否命题：若「q则1P。

(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；

(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；

(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定，所得的命题是逆否命题.

5、四种命题之间的相互关系：

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题。逆

否命题)

①、原命题为真，它的逆命题不确定为真。

②、原命题为真，它的否命题不确定为真。

③、原命题为真，它的逆否命题确定为真。

6、假如已知pnq则我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。

若pnq且qnp,则称P是q的充要条件，记为P=q.

7、反证法：从命题结论的反面动身(假设)，引出(与已知、公理、定

理…)冲突，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

中学数学其次章-函数

§02.函数学问要点

一、本章学问网络结构:

一定义F:A—

二、学问回顾：

(-)映射与函数

1.映射与---■映射

2.函数

函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起确定

作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域

和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.

(二)函数的性质

1.函数的单调性

定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的随意两个自变量的值

X1,X2,

⑴若当X《X2时,都有f(x,)<f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数；

⑵若当X《X2时，都有f(x)>f(x，则说f(x)在这个区间上是减函数.

若函数y=f(X)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(X)在这

一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时

也说函数是这一区间上的单调函数.

2.函数的奇偶性

偶函数的定义：如果对于南畋*x)的定义域内任应一个人都有

*“尸加0,那么函数f(x)谟叫做偶曲数.

虎偈函数o^=VW*O

/W

奇函数的定义：圳果对r函数*x)的定义域内任意•个工都有

R.X六m那么函数就叫做奇函数.

/(X漫奇函数c/(F=_/(x)o/(_©+*Q)

/w

正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：

(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数/(X)为奇

函数或偶函数的必要不充分条件；(2)/(-x)=/(x)或

/(-x)=-/(%)是定义域上的恒等式。

2.奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数

的图象关于、轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也

可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。

3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增

减性相反.

4.如果，(x)是偶函数，贝!J/(x)=/(|x|),反之亦成立。

若奇函数在x=0时有意义，则/(0)=0。

7.奇函数，偶函数：

⑴偶函数:/(-x)=/(x)

设(ab)为偶函数上一点，则J,b)也是图象上一点.

偶函数的判定：两个条件同时满意

①定义域确定要关于)，轴对称，例如：/=，+1在［卜1)上不是偶函数.

②满意f(T)=/(x),或f(-x)-/(x)=(),若f(x)*O时,4^7=1.

⑵奇函数：/(-X)=-f(x)

设(a,b)为奇函数上一点，则(-a-b)也是图象上一点.

奇函数的判定：两个条件同时满意

①定义域确定要关于原点对称，例如：y=i在U,T)上不是奇函数.

②满意A-x)=-F(x),或f(-x)+/(x)=O,若/(x)xO时，上空=7.

f(~x)

8.对称变换：①/二f(X)刈*姆＞y=/(_x)

②y=f(X)押,*号>y=-f(x)

③y=f(X).犀卓也称.>y=--(-x)

9.推断函数浮遍性鸟Z)%髓、取第根号的确定要分子有理化，例如:

=-^x^+b~~^X2+b~=

x]+。2+旧+〃2

在进行探讨.

10.外层函数的定义域是内层函数的值域.

例如：已知函数/'(x)=1+上的定义域为函数/[/'(X)]的定义域是

1-X

B,则集合/与集合吕之间的奖冢是.

解：/(x)的值域是/(/(x))的定义域B,/(x)的值域eR,故BeR,而4={x|xwl},

故8nA.

11.常用变换：

①/(x+V)=f(x)f(y)o/(x-y)=察•

f(y)

证：/(x-y)==fM=f[(.x-y)+y]=f(x-y)f(y)

f(x)

②/(-)=/(x)-f(y)of(x.y)=f(x)+f(y)

y

证：f(x)=f(--y)=f(-)+f(y)

yy

12.⑴熟识常用函数图象：

例：＞=23-＞⑶关于y轴对称.

例：丫=碧=2+S=定义域{x|x#3,xeR},

值域{y|”2,*R}f值域前的系数之比.

（三）指数函数与对数函数

指数函数＞=a\a＞。且aw1）的图象和性质

a>l0<a<l

M

图

/y«i

象—

一‘'…'-'』一

(1)定义域：R

性

(2)值域：(0,+8)

质

(3)过定点(0,L),即x=0时，y=l

(4)x>0时，y>l;x<0时，(4)x>0时,0〈y<l;x<0时，y>l.

0<y<l

(5)在R上是增函数(5)在R上是减函数

对数函数y=logax的图象和性质:

对数运算：

k)g〃(M'N)=log”M+log”N⑴

M

log.\7=log“M—log“N

log.M〃=〃loga(土加)⑵

logrty/~M=-logflM

n

a'°s-N=N

换底公式：1幅*=四心

log/,a

推论：log”/?log〃c•log,a=1

nlog/〃2「og1的.….log%-%=log%册

(以上M*0,N*0,aA0,awl,bR0,bwl,c〉0,cwl,a],a2...an>0且。1)

a>l0<a<l

!

y

y=logax*

注⑴：当a,8YO

时，

log(a-b)=log(-a)+log(-Z?)

x—1a<1

⑵：当MMO时，

（1）定义域：（0,+8）

取“+”，当〃是

(2)值域:R

偶数时且*0

(3)过点(1,0),即当x=l时,时，M">0,而

y=0MYO,故取

“_，，

(4)X£(0,l)时xe(0,l)时y>0

例如:

y<0

xG(l,+oo)时y<0

log”/w2log„x(2log„x

X£(l,+oo)

中X>0而log*

时y>0

中xER).

（5）在（0,+8）在（0,+8）上是减函数⑵y=ax

上是增函数(a>0,a*1)与

y=log。x互为反

函数.

当a>l时，y=logax的“值越大，越靠近x轴；当OYOYI时，则相反.

(四)方法总结

(1).相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.

⑴对数运算：

(l)

log<,(MW)=logflM+log„7V

M

log.—=logaM-log”N

nt2)

log戏M=nloga(±M)

bg"砺T°g"M

a*N=N

换底公式：k>g“N=Jd

log*

推论:log(,h-log6c-log(.a=1

nlog%/.log%«3•….kg",i%=log%册

(以上乂80,r480声>0声/1,1>80,15/1,C：»03/1问/2..4>0且71)

注(1):当“,bY0时，log(a-b)=log(-a)+log(-/?).

⑵：当时，取"+当〃是偶数时且MYO时，M"MO,而MYO,故取"一

例如：10gax2w210ga*；(210gaX中X>0而10gX中x£R).

⑵y=a"(a"O,a*l)与y=logax互为反函数.

当a”l时，y=log“X的"值越大，越靠近X轴；当0Y4Y1时，则相反.

⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.

⑶.反函数的求法：先解X,互换x、y,注明反函数的定义域(即原函数的

值域).

(4).函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求

解即可求得函数的定义域.常涉与到的依据为①分母不为0；②偶次根式中

被开方数不小于0;③对数的真数大于0,底数大于零且不等于1;④零指

数基的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.

⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函

数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.

⑹.单调性的判定法：①设X|,X?是所探讨区间内任两个自变量，且

X2；②判定f(xj与f(xj的大小；③作差比较或作商比较.

⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-X)

与与X)之间的关系:①f(-x)=f(x)为偶函数;f(-x)=-f(x)为奇函数;②

f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-X)=0为奇；③f(-x)/f(x)=l是偶;f(x)4-

f(-x)=-l为奇函数.

(8).图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②

利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称

性描绘函数图象.

中学数学第三章数列

考试内容：

数列.

等差数列与其通项公式.等差数列前n项和公式.

等比数列与其通项公式.等比数列前n项和公式.

考试要求：

(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列

的一种方法，并能依据递推公式写出数列的前几项.

(2)理解等差数列的概念，驾驭等差数列的通项公式与前n项和公式，并

能解决简洁的实际问题.

(3)理解等比数列的概念，驾驭等比数列的通项公式与前n项和公式，井

能解决简洁的实际问题.

§03.数列学问要点

1.

等差数列等比数列

(1)

定义《用一”“=4也=g("o)

a

n等

递推a„=a„-i+d；an=a,„_„+md玛=册一】4；

差、

公式

等

a=a+(/:-1)J

nxn

通项an=axq~^

比

公式

数

A_a『k+””+♦G=±^a_a(a_aa0)

中项12nkn+knkn+k

列:

(n,kGN",n>k>G)(n,kGN*,n>k>0)

前〃项S”=^-(«i+册)呻(q=l)

S『<%(1W)=°Lnq922)

〃(〃一1)

和s”=««i+2d\-q\-q

重要

〃，

am+an=ap+%(m,p,q£N',aman=。］「气(相,小p,qeN*,m+n=p+q)

性质m+n=p+q)

等差数列等比数列

定义{%}为A•Pod(常数)

{4}为6•P0巴=式常数)

册

通项。〃二％+(n-l)d=%+(n-k)a〃=。闯"7=OH"

公式+_

d-dnald

〃(%+4“),n(n-l)na(q=1)

求和s„=-----!------=na+----------ax

21x2

S"=<=a「a“q*]

=y»2+(«l-y)«

公式.\-q\-q

A=*推广：

中项G2=abo推广：

2

2

公式2a〃二见1“+册+卅an=喂乂小

性

若贝若则。

质1rn+n=p+qljam+an=ap+aqm+n=p+q,aman=apaq

2若化J成A.P（其中1GN）若｛"｝成等比数列（其中

则｛%｝也为A.P。k,wN）,则｛%｝成等比数

列。

3・S.，S2"一S”,S3“-$2”成等差数S.，$2“-S0,$3/.-$2"成等比数

列。列。

4d=a"~a'—L""(加丰n)qn-'=",q"m=

n-lm-na\a,n

(mwri)

5

⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法:

①=4（〃22,4为常数）

②=册+]+%（及22）

③a—kn+b（〃,&为常数）.

⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法:

①an=an_xq（n>2M为常数,且w0）

aa

®n=n+\-"22，anan+｝an_｝0）,

注①：i.b=4ac,是a、b、c成等比的双非条件，即8=疝＞a、b、c等比

数列.

ii.b=4^（ac＞0）f为a、b、c等比数列的充分不必要.

iii.b=土向f为a、b、c等比数列的必要不充分.

iv.6=±疝且加”。-＞为a、b、。等比数列的充要.

留意：随意两数a、c不确定有等比中项，除非有ac＞0,则等比中项确定

有两个.

③盘=4（G4为非零常数）.

④正数列｛4｝成等比的充要条件是数列｛log,%｝（x^l）成等比数列.

⑷数列｛a,J的前〃项和S,与通项册的关系：金=卜

［注］:①％可为零也可不为零f为等差数列充要条件

（即常数列也是等差数列）f若〃不为0,则是等差数列充分条件）.

②等差｛七｝前n项和s,尸加2+8”=仁卜+,「5"f?可以为零也可不为零f

为等差的充要条件一若〃为零，则是等差数列的充分条件；若〃不为零，则

是等差数列的充分条件.

③非等常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不行能有

等比数列）

2.①等差数列依次每4项的和仍成等差数列，其公差为原公差的发倍

5jf-；

Sk»S?k-Sk,S3k-2

S奇an

②若等差数列的项数为2〃（”"），则S偶-S奇=〃d,T—-；

»偶an+\

③若等差数列的项数为2〃-l（〃eN+）,则S2“T=（2〃-1）«“，且S奇-S偶=a“，a=」_

S偶”1

=＞代入〃到2〃-1得到所求项数.

3.常用公式：①1+2+3…+〃=独则

2

②12+22+32+...”2=小速凶

6

2

③"+23+33…“3=

[注]:熟识常用通项：9,99,999,…=/=io"-i；5,55,555,…=册=部0"-1).

4.等比数列的前"项和公式的常见应用题：

⑴生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为4，年增长率为

『，则每年的产量成等比数列，公比为1+r.其中第〃年产量为a(l+r)i,且过

〃年后总产量为：

a+a(J+r)+a(l+r)2+...+a(l+r)n-1=^—~(〕十，)].

l-(l+r)

⑵银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存“元，利息为

r,每月利息按复利计算，则每月的“元过"个月后便成为。(1+『)"元.因此，

其次年年初可存款：

12

“(1+r严+“(1+r)“+”(1+r严+…+“(1+r尸止止11dl.

l-(l+r)

⑶分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；勿为勿个月将款全部付

清；r为年利率.

a(l+r)'"=x(l+r)"i+吊1+r)m-2+.....员1+r)+x=a(l+r)"'=。+"一=>x=十"

r(1+r),n-1

5.数列常见的几种形式：

(1)“"+2=""+|+«"(夕、q为二阶常数)-用特证根方法求解.

详细步骤：①写出特征方程f=Px+g(2对应册,I,X对应*),并设二根占,与

②若X产工2可设4〃.=CM+QX；，若%]=汇2可设a〃=(C]+C2〃)M；③由初始值。],。2确定

。1，。2,

(2)册=尸a,i+r(只T为常数)一用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③

消去常数77转化为〃“+2=&,用+«“的形式，再用特征根方法求%；④a“=J+c2pl

(公式法)，C]«2勺,〃2确定.

①转化等差，等比：a+x=P(a+x)=>£z=Pa+Px-x=>x=—^—.

n+inw+1nP~i

②选代法：a〃=&〃_1+，・=P(Pa〃_2+r)+r=…=?尸(^i+-r—r)^，?-1一~T--=(a+x)Pn~x-x

r—ir—Ix

2

=P"~'al+P"~-r+---+Pr+r.

③用特征方程求解：J""+']相减,=a.+|-a"=尸尸a"_|=>a“+|=(P+l)an-Pan_x.

a„=P(in-i+r\

④由选代法推导结果：，产」一，C2=%+」一，a.aP'T+c产(/+二一)P'-'^-.

\—pp—\p—\+1—p

6.几种常见的数列的思想方法：

⑴等差数列的前”项和为S.，在4Y0时，有最大值.如何确定使S“取最大值

时的“值，有两种方法：

一是求使%20,册+1Y(),成立的〃值；二是由5“=12+(/_多〃利用二次函数的

性质求〃的值.

⑵假如数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数

列前〃项和可依照等比数列前"项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是

原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差4,么的最小公倍数.

2.推断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法：(1)定义法:对于n

22的随意自然数，验证为为同一常数。⑵通项公式法。⑶中项

e

公式法：验证2«„+|=a„+*=。/"+2)〃N都成立。

3.在等差数列｛6｝中，有关Sn的最值问题：(1)当%>0,d<0时，满意

的项数m使得取最大值.(2)当«,<0,d>0时,满意卜-1的项数m使得

取最小值。在解含确定值的数列最值问题时，留意转化思想的应用。

(三)、数列求和的常用方法

1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

2.裂项相消法:适用于［上一］其中｛明｝是各项不为0的等差数列，c

为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。

3.错位相减法:适用于匕仇｝其中｛%｝是等差数列，'｝是各项不为0

的等比数列。

4.倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

5.常用结论

1):1+2+3+...+n=幽土D

2

2)1+3+5+...+(2n-l)=n2

1［2

3)l3+23+---+W3=-n(n+1)

4)I2+22+32+---+n2=-/?(n+l)(2rt+l)

6

5)=L)

/i(/i4-1)nn+\〃(〃+2)2nn+2

6)—=--—(-----)(〃<。)

pqq-ppq

中学数学第四章-三角函数

考试内容：

角的概念的推广.弧度制.

随意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.

正弦、余弦的诱导公式.

两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.

正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin（3x+6）的图

像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角.

正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考试要求：

（1）理解随意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算.

（2）驾驭随意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定

义；驾驭同角三角函数的基本关系式；驾驭正弦、余弦的诱导公式；了解周

期函数与最小正周期的意义.

（3）驾驭两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；驾驭二倍角的正弦、

余弦、正切公式.

（4）能正确运用三角公式，进行简洁三角函数式的化简、求值和恒等式证

明.

（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”

画正弦函数、余弦函数和函数丫=人$5（0^+6）的简图，理解A.3、6的物

理意义.

（6）会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx

表示.

（7）驾驭正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.

（8）“同角三角函数基本关系式:sin2a+cos2a=1,sina/cosa=tana,tan

a«cosa=]”.

§04.三角函数学问要点

1.①与a(0°^a<360°)终边相同的角的集合(角a与角〃的终边重合):

▲

如分=%x36(r+a,%ez}32

sinxsinx

②终边在X轴上的角的集合：弧尸=&><180。/ez}二，

③终边在y轴上的角的集合：如夕=4x180。+90Fez}“：":

sinxsinx

④终边在坐标轴上的角的集合：{四夕=Ax9(T,kez}2

S1MCQS三角函数值大小关系图

⑤终边在片X轴上的角的集合：物|£="180。+45。,丘z1高艮二釐嬴三'

⑥终边在y=-x轴上的角的集合：物|/?=Axl8(T-45、*ez}

⑦若角a与角〃的终边关于X轴对称，则角a与角/?的关系：a=360”-〃

⑧若角a与角/的终边关于了轴对称，则角a与角尸的关系：a=360"+180。--

⑨若角a与角〃的终边在一条直线上，则角a与角1的关系：a=180%+〃

⑩角a与角4的终边相互垂直，则角a与角〃的关系：a=360Z+夕±90。

2.角度与弧度的互换关系：360°=2n180°=n1°=0.01745

1=57.30°=57°18’

留意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

、弧度与角度互换公式：lrad=i8o°«^57.30°=57°18'.1°=三

n180

^0.01745(rad)

3、弧长公式：/=|々".扇形面积公式：s扇形='=刎"2

4、三角函数：设a是一个随意角，在a的终边

(异于原点的)一点P(x,y)P与原点的距离

.y•

sina=—'cosa=-x•'*tana=—y•，cota=—x•,

rrXy

r

csca=­,

y

5、三角函数在各象限的符号：(一全二正弦，三切四余弦)

6、三角函数线16.几个重要结论:

正弦线：MP;余弦线:正切

线：AT.

7.三角函数的定义域：

三角函数定义域

{x|xeR}

f(x)=sinx

{x\xeR}

f(x)=COSX

/(x)=tanx|xGRSJC^攵乃+ez1

cosa

8、同角二角函数的基本关系式：sina_tana_co(atanacota=l

cosasina

sin2a+cos2a=1

9、诱导公式：

把竺士通三角函数化为颁三角函数，概括为："奇变偶不变，符号看象限

2

三角函数的公式：（一）基本关系

（二）角与角之间的互换

cos(a+4)=cosacos/?-sinasinpsin2a=2sincrcosa

cos(a—(3)=cosacos夕+sinasinpcos2a=cos2a-sin2a-2cos2a—\-1-2sin2a

2tana

sin(a+/?)=sinacosP+cosasinPtanla=

1-tan2a

•a1-cosa

sin(a一夕)=sinacosJ3-cosasinJ3sin—=±.

22

,c、tana+tan

tan(a+0=----------------

1-tanatanp

-、tana-tanBa,ll-cosasina_l-cosa

tanz0.0)=--------tan—=±J--------

I+tanatanB2v1+cosa1+coscrsina

疝5875、sin7-=学，.5=375-,535=2+6

10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:

/y=Asin(5+0)

y=sinxy=cosxy=tanx

(A、^>0)

^x\x&R^x^kn-¥^n,kez|

定义域RRR

[-U+1][T+l]

值域R[-A,A\

27r27r24

周期性CD

奇偶性奇偶函奇函数当(p*0,非奇非

函数数偶

当°=0,奇函数

[(2&-1卜,.[--+k7t,-+kA

[--+2kI22)…几

2兀2knJ"2k;r---(P

------CO=—(Q,

y+2^]上为增上为增函数

2k冗+」乃一*

上为函数(keZ)_------C-D-----(-A)」

[2S

单调性增函上为增函数；

(24+1卜]

数；上为减2k兀T------(p

----CO2-⑷，

2k23

弓+乃函数2K7T+—7T-<p

------1-----(-A)

3兀_._coJ

—+2%九

2)(k&Z)

上为减函数

上为

(keZ)

减函

数

(

kwZ)

留意:①用二-sinx与y=sinx的单调性正好相反;y=—cosx与y=cosx的单调性也

同样相反.一般地，若y=/（x）在m,切上递增（减），则y=-/（X）在［a,句上递减（增）.

②尸忖叫与好|cosM的周期是*

③丫=$2（5+°）或y=cos（f«r+⑼（（y^0）的周期T=g.

同

y=tai的周期为2乃（7=±=7=2小如图，翻折无效）.

,2M

@y=sin（3v+夕）的对称轴方程是x=br+］（4eZ）,对称中心（左乃,0）；y=cos（<uv+9）

的对称轴方程是（keZ）,对称中心Q+Uo）；y=tan&r+g）的对称中

心（丝0）.

2

y=cos2x-对称>y=-cos（-2x）=-cos2x

⑤当tana•tan/?=1,a+^=^+—（A:eZ）;tana*tanP=-\,a-P=k7r+—（kE.Z）.

⑥y=8sx与y=sin（x+/+2k开）是同一函数，而y=（3・+3）是偶函数，则

y=（cox+（p）=sin（6ir+44+；乃）=±cos（tziv）,

⑦函数y=tanx在R上为增函数.（X）［只能在某个单调区间单调递增.若

在整个定义域，y=tanx为增函数，同样也是错误的］.

⑧定义域关于原点对称是f（x）具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两

个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满意奇偶性条件，偶

函数：f（-x）=