高考数学核心考点必备4-4 三角函数与解三角形大题归类-（解析版）-2023年高考数学

专题4-4三角函数与解三角形大题归类

目录

一、热点题型归纳............1

【题型一】|.眄像与性质1：给图求解析式和值域（最值）............................1

【题型二】或图像与性质2:二倍角降累公式恒等变形................................5

【题型三】同一国像与性质3:恒等变形（“打散”、重组、辅助角）.....................7

【题型四】||图像与性质4:零点求参.............................................10

【题型五】解三角形基础1：正弦定理、角与对边.............................................13

【题型六】解三角形基础2：余弦定理变形...................................................14

【题型七】解三角形1：面积最值............................................................17

【题型八】解三角形2：周长最值............................................................19

【题型九】解三角形3：边长最值............................................................22

【题型十】解三角形4：不对称最值.........................................................23

【题型十一】解三角形5：中线型............................................................26

【题型十二】解三角形6：角平分线.........................................................28

【题型十三】三角形存在个数33

【题型十四】四边形转化为三角形...........................................................35

【题型十五】解三角形：四边形求最值.......................................................38

【题型十六】三角形中证明题...............................................................43

【题型十七】解三角形综合.................................................................47

【题型十八】建模应用......................................................................50

二、最新模考题组练............................................................................54

【题型一】臼图像与性质1:给图求解析式和值域（最值）

【典例分析】

1.已知函数的部分图象如图所示.

⑴求［豆

(2)将函数|9|图象向左平移5个单位，得到函数|M|的图象,求|冈|在尸""!上

的最小值.一

【答案】(1)冈o⑵|冈

【分析】(1)由图象可得R［孑则可得E再将点I冈卜入解析式中可求出产勺值,

从而可求得函数ai的解析式;此)先利用三角函数图象变换规律求出国二再由即范

围得耳~1的范围,可得答案.

⑴由最大值可确定与i.因为冈，所以国一，

此时।冈代入最高点|因可得：啊,

从而凶，结合1日“卜是当可时，回］，所以冈

(2)由题意，冈，

当冈时，冈，则有冈

所以巨I在区间冈上的值域为后二.

【提分秘籍】

基本规律

1.注意正余弦“第一零点”和“第二零点”的区别和联系。

2.对称轴在最大值最小值处的区别和联系

【变式演练】

1.已知函数囚的部分图象如图.

(1)求函数国二|的解析式；

(2)将函数宜|的图象上所有点的横坐标变为原来的口脩，纵坐标不变，再将所得图象向左

平移侪单位，得到函数巨I的图象，当时，求I网I值域.

【答案】⑴冈

【分析】（1）根据图象由函数最值求得口卜由函数周期求得易由特殊点求得［王即可求得

解析式：

（2）根据三角函数图象的变换求得巨|的解析式，再利用整体法求函数值域即可.

（I）由图象可知，的最大值为"最小值为口I乂国二］,故寻，周期

-IF7］1＞则IV|I'从而IF］-1，代入点|一!,

可，0

，可，乂［冈,帆］

，则问，可,即冈

a

（2）将函数|冈|的图象上所有点的横坐标变为原来的日侪,纵坐标不变，故可得

sL

再将所得图象向左平移忤单位，得到函数巨|的图象•故可得冈

冈国I,la

2.已知函数冈的部分图象如图所示.

（1）求耳I的解析式及对称中心坐标：

（2）先把4］的图象向左平移仔单位，再向上平移1个单位，得到函数互|的图象，若当

冈时，求叵|的值域.

【答案】⑴回，冈（响I）。⑵巨］

【分析】⑴先根据图象得到伊数的最大值和最小值,由此列方程组求得目的值，根据周

期求得瑜勺值，根据冈求得学值，由此求得向的解析式,进而求出国的对称

中心；

（2）根据二角变换法则求得函数向一|的解析式,再换元即可求出向的值域.

⑴由图象可知：因，解得：|国—］,又由于冈，可得：与D,所以

a

（1）求函数I网|的解析式;

（2）首先将函数巨|的图象上每一点横坐标缩短为原来的林然后将所得函数图象向右平移

值范围，最后根据正弦函数的性质计算可得;

（1）解：由图象得I卬J,a.所以I叼I,由,所以

|.aa

上每一点横坐标缩短为原来的住得到a

,再将

向右平移曲、单位得到

a,最后再向

a

上平移Qt单位得到囚,即

⑶当时，所以冈，所以冈

【题型二】臼图像与性质2:二倍角降七公式恒等变形

［典例分析］

已知函数冈的最小正周期是江.

⑴求。值：

(2)求/(x)的对称中心和单调递增区间；

(3)将/(x)的图象向右平移回、单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，

纵坐标不变，得到函数尸g(x)的图象，求若囚，|g(x)-机|<2恒成立，求相的

取值范围.

【答案】(1)2⑵对称中心为—，单调递增区间为:国

(3)0<m<2

【分析】(1)先将解析式进行化简，根据最小正周期可求得3

(2)根据解析式可求得对称中心和单调区间；

(?)先求出g(X)解析式，再求出在给定区间的取值范围,可得，〃的范围.

⑴国司—囚

因为最小正周期为乃，故S,

⑵由(1)知：回，令冈，解得：冈，

所以对称中心为冈，令国，

解得：冈，所以单调递增区间为：冈

(3)将/(x)的图象向右平移回、单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,

纵坐标不变，

得到冈，

当国时，冈,所以0Sg(x)S2,若|g(x)-,川<2恒成立，

则,〃-2<g(x)<ni+2,所以团,解得：0<m<2.

【提分秘籍】

基本规律

1.对于文科学生而言，所谓“见平方就降事”。要注意最终目标是角度一致

2.二倍角、降寨目的都是“化一”，最终是辅助角

【变式膏练】

1.已知函数冈，在瓦一|中,角鼻鼻四对的边分别为母

母民

【寸称.

(1)求直I的最小正周期；

(2)在△ABC中，角4,8,C所对的边分别为a,b,c,若叵—2,c=|臼|，求△ABC面

积的最大值.一

【答案】(1已(2)同

【分析】

(1)利用三角恒等变换化简巨］,根据题意求得与再求其最小正周期即可；

(2)根据(1)中所求，结合题意求得「由再利用余弦定理和基本不等式，即可求得结果.

⑴因为回

》=呼寸称，则可

，即后

乂0V母＜4,故可得国J,则冈,则扃的最小正周期S

,故可得冈

(2)因为a

，解得目二|或仔1

则冈或0,又|冈，故国

乂c=|五由余弦定理则冈,则向］,解得与二I,

当且仅当回［时取得等号；则囚

故△ABC面积的最大值为巨］.

【题型三】图像与性质3:恒等变形（“打散”-重组-辅助角）

【典例分析】

己知函数a

（1）求函数I目I的最小正周期:

（2）在锐角耳二I中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若3＞且II，试

判断a~i的形状.一

【答功（1球2）|叼।是正三角形.

【分析】（1）运用主角恒等变换公式化简函数向，利用正弦函数的周期公式可求得答案;

【提分秘籍】

基本规律

1.“打散”：角度不一致，可以拆开

2.“重组”：系数次幕一致，合并为正弦余弦，便于使用辅助角“化一”

【变式演练】

1.已知函数回.在下列条件①、条件②、条件③这三个条

件中，选择可以确定展口邱的两个条件作为已知.（1）求|囚卜勺值;

（2）若函数在区间国］上是增函数，求实数单最大值.

条件①：的最小前期为号

条件②：的最大值与最小值之和为0；

条件③：

【答案】⑴见解析（2）冈

,若选择①和②，则阿

【分析】（1）先对函数化简得0

a,求出耳।的值，从而可得目的解析式，从而可求出F~|,若

凶，且冈，这样的与b存在,

(2)由(1)可知，若选择①和②，冈，由

凶，所以国I的增区间为冈

因为函数目在区间耳上是增函数，所以实数即最大值为回

若选择①和③，则囚，

M一得网

所以耳I的增区间为冈，因为函数同在区间同上是增函数,

所以实数即最大值为区，

2.已知函数W

(1)求函数Ig|的最小正周期，及对称轴方程.

(2)先将函数目|的图象向右平移自个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为

原来的4倍，纵坐标不变，得到函数n的图象,求।臼।在上的值域.

【答案】(1)最小正周期为国对称轴为尸⑵|冈叶

【分析】(1)化筒巨I解析式，由此求［冈I的最小正/期,利用整体代入法求得巨］的

对称轴.

(2)先利用三角恒等变换求得后j"|的解析式,再根据三角函数值域的求法求得互|在区

间冈上的值域.

⑴冈

再将所得图象匕各点的横坐标伸长为原来的a僧，纵坐标不变，得到冈

s,所以冈

3.已知国二设函数|网一

(1)若火x)是偶函数，求日的取值集合；

(2)若方程|冈|有实数解,求第I的取值范围.

【答案】⑴冈：(2)冈

【分析】(1)用二倍角的正弦公式变形函数式，再利用偶函数的定义结合和差角的正弦化筒

即可求解作答.

(2)由(1)及已知,利用三角恒等变换公式化简变形，求出百的范围,再把I引1用

国二|表示出求解作答.

⑴因函数闪是偶函数，即|司/IfI成立,

则0化筒整理得：向

而5~1不恒为0,于是得|闫1,解得冈，即冈

所以日的取值集合回

(2)由(1)及已知得：冈

即s....,化简整理得：后

显然IFI，则可

依题意，原方程有实数解等价于回一,解得a

冈，解得冈，所以If的取值

范围是冈

【题型四】回_________图像与性质4:零点求参

【典例分析】

已知冈.⑴求函数I冈I的对称中心和

单调增区间；

(2)将函数|冈|的图象上的各点得到函数|7]的图像,当冈

时，方程|冈|有解,求实数〃的取值范围.

在以下①、②中选择一个，补在(2)的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分.

①向左平移回个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；②纵坐标保持不变，

横坐标缩小为原来的一半，再向右平移甘卜单位.

【答案】⑴对称中心是因，国二]单调增区间为冈，

(2)选①②答案相同，均为3

【分析】(1)根据向量的数量积定义计算出田|，再求解对称中心和递增区间;(2)根据

伸缩变换和平移变换得到|冈一|的解析式,再求解冈的值域，进而求出数。的

取值强围.

⑴；冈，

故函数|w|的对称中心是冈，If卜

【提分秘籍】

基本规律

1.可以直接求解：五点画图法思维

2,可以换元求解

【变式演练】

1.已知函数回

度，所得函数的图象关于由对称.

(1)求函数巨)的解析式；

(2)若关于即方程|冈|在冈上恰有两个实数根，求实数即取值范围.

【答案】⑴冈。(2,同

【分析】(1)利用辅助角公式结合图象的变换得出囚，再根据对称性得

出冈，从而得出函数直|的解析式；

(2)由冈得出冈，利用正弦函数的性质结合方程［冈|在

冈一上恰有两个实数根，得出实数聊取值范围.

⑴解：冈将函数目的图象向左平移日

个单位长度后，所得函数为

冈.・,冈。

可

又F卜日~:产

(2)V冈.•.冈当冈，即国时，目单调递增;

当囚，即区T时，国|单调递减.且冈，冈

•.•方程I冈I在冈上恰有两个实数根.二|臼|

.,.实数。的取值范围为IG

2.已知函数，其中常数回］.

］的图象向左平■忤单位,得到的函数I司I的图象,求［可;

(1)若回］，将函数反

(2)若目在词,可上单调递增，求日的取值范围;

(3)对(1)中的|‘冈1,区间口？

；反］，I仁I口［71］I皱满足：I在昌口土至少含有30

个零点，在所有满足上述条件i|的最小新^一

。(2日仃

【答案】⑴冈⑶a

【分析】(I)由臼晌左平移於单位可得冈，化筒即可;

(2)由题意可得，从而求出电的取值范围；

(3)令I目I，得冈耳3可得相邻两个零点之间的距离为件可知

冈，可求出国的最小值.

⑴若国二I，由题意得1回I，向左平移£外单位，得到的函数

0.故叵1

(2)；|三］卜当|"国］,同时,冈又：|gI在同;同胞调

递增,

a,二中取值范围为Q)自

,解得冈

(3)由函数|可知,,即因

•••相邻两个零点之间的距离为于且周期向二

则।要使I臼出土口大至少含有30个零点，至少包含14.5个周期.

即日.故可的最小值为司.

3.已知函数冈为偶函数，且国|图象的

相邻两对称轴间的距离为

(1)求I臼I的解析式;

(2)将函数目的图象向右平移侪单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),

得到函数瓦|的图象，若IFI在区一上有两个不同的根，求，〃的取值范围.

【答案］⑴臼

【分析】(1)：先利用辅助角公式化简，然后利用偶函数的性质，和两对称轴的距离可求出显

便可写出国：

(2)：将囱研•移得到回求其在定义域内的两根转为两个函数由两个交点，便可求出，”

的取值范我

⑴闻数冈冈

冈为偶函数

【典例分析】

已知耳ZI中，角国二］所对的边分别为同

⑴求毋值;

⑵若的面积为I|国，求单值.

【答案】(J司:⑵斐|

【提分秘籍】

基本规律

一般大题规律：第一问正余弦定理求出角度，第二问借助角所对应边长。多用余弦定理。

此类题，特别是文科若考察解三角形，应用较多。

【变式演练】

1•在氏口中，角与口?'对边分别为QRDj已知反

⑴布飞I值;

（2）若|fI，求与二I的值

【答案】（1）1冈冈

【分析】（1）将山正弦定理转化为向］，再

利用三角函数恒等变换公式化简变形，可求出国3|的叱

（2）先求出|.再利用三角函数恒等变换威而求出与二I的值

（1）因为I目；

所以由正弦定理S得回

所以|冈

，所以0

（2）因为在目二I中，冈,所以同

因为在T中,|g-|

二|的内角A,'胃口的对边分别为显&Qr已知国

（1俅角^大小；一

（2）若|臼一可~1的面积为F1求国二］的周长.

【答案】（1困MI

【分析】

⑴由已知及正弦定军,两角和的正弦函数公式,三角形内角和关系化简已知可得

冈由I区1，可求国二］，结合角口的范围即可得解；

（2）由二、形面积公式可求百利里余弦J理即可得解官］的值，从而可得专案.

（1）解：因为|冈所以|冈卜

整理得：|冈|，恫I，|冈―|，冈，

又旧一I，回；

（2）解：由余弦定理得冈臼~冈

I臼I，|臼~|，向I，I臼I的周长为反1

3耳U的内角耳二|的对边分别为耳!，已知冈

（1）求角C；

(2)若I，求耳口的面积.

【答案】⑴干回

【分析】(1)对已知式子化简后利用正弦定理得|冈一再利用余弦定理可求

出角c,一

(2)由|冈可得|,］,再由正弦定理得5~1，再利用三

角形《面积公式可求得结果

⑴由回，

耳____________，

得因，得I回：----I，

由正弦定理，得|国-----由余弦定理,得冈

0

⑵由|冈得I丑I，

得扃得|j7|I，由正弦定理,得耳3•又Lpq一二!,

I日I的面积冈

【题型六】解三角形基础2：余弦定理变形

【典例分揖】

在臼一|中，角目国重对边分别为马母口国二I的面积为目且

0

(1)求角

所以

所以

0

【提分秘籍】

基本规律

1.若式子含有耳］的2次齐次式，优先考虑余弦定理，''角化边”

2.面积和目二］2次齐次式，可构造余弦定理

【变式演练】

（1）条件①②能否同时满足，请说明理由；

（2）以上四个条件，请在满足三角形有解的所有组合中任选一组，并求出对应国二|的

面积.

【答案】（1）不能同时满足①②（2）若|冈|满足①③④时,则|平附面积为国

若I冈।满足②§④时，则|后1I的面枳为囱・

I冈|------------------------

【详解】（1）由①口得：且由余弦定理

能同时满足①②.

,（2）山⑴知，|因一，|满足①③④或②③④若「冈,瞒足①③④因为

咒I__

所以口，即|臼5n解得|冈阈冈----------（-舍----------------------

去）.

的。枳a另：若I冈|满足②③④

a，所以国

a,即,则，所以回一

所以1冈I的面积a

3.已知|月［I的内角I国的对边分别为向,且

（1）I；

（2）若角耶平分线与国交于点臼|且国二］,求的值.

【答案】⑴，⑵

解析：（1）方法一：由।及余弦定理得a

整理得a,所以a

方法二：由Q］|及正弦定理得|冈

可

又0,所以

冈

（2）由（1）可知，且［国，所

以a

同理可得a,设।叶的面积分别为国

a

a,a

由目a,所以a

【题型七】解三角形1：面积最值

【典例分析】

如图，在△昌二］中，。为2c边上的点，连接AO,且满足国

【答案】（1）证明见解析。（2）|B|

【分析】

（1）分别在△臼-1和A中运用正%定理并结合已知条件即可证得;

（2）利用I臼I，列出等式|反］I，利用基本不等式即可求出△耳I的

面积的最小值.

⑴在△耳］中，利用正弦定理可知回，即I臼

同理，在△后二I中，利用正弦定理可知冈，

即।刁L］.

由禄口条件百」，可得|_口

即1g01°lg1；

（2）设I臼I，I可I，［冈’‘，

BI，

又；|底I,工冈.二|臼

又回，月I''（当且仅当r可时等号成立）

冈，即氏j~~|的最小值为冈.

【提分秘籍】

基本规律

面积最值，一般符合“齐次对称结构”，可以直接用余弦定理加均值不等式。

【变式演练】

1」日|三个内角A,B,C对边分别为a,b,c,

⑴若|冈求C；

（2）求|的而S的取值范围.

【答案】(1旧2)|冈］

【分析】(1)根据正弦定理由叵即可求出C；

(2)方法一：由余弦定理结合基本不等式即可求解；方法二：正弦定理边化角，利用三角函

数最值求解即可.

■,•|B|.解得叵］.

冈，••冈

(2)(方法一)•..冈，FI，化简得I叼-I.

又I国I，；•国一|,3月一|,当且仅当I因I时,等号成立.

.•.△A8C的面积冈，当且仅当|因时,等号成立，故

因，即△ABC的面积S的取值范围为冈.

(方法二)•..冈，，由正弦定理得：冈，

.♦.△A8C的面积囚

2.在三角形耳］中，角A,B,C的对边分别为a,h,c,且满足同

⑴求角A；

(2)若同"］，求三平形同~1面积的最大值.

【答案】(1)［冈］;(2)目.

【分析】(1)利用正弦定理，将已知条件中的边化角，求得瓦］，即可求得号

(2)利用余弦定?结合基本不学式，求得⑼勺4大值，前司噪得面积的最矢值.

⑴由回，结合正弦定理飞——1,得冈，

所以|摩又因为IfI，所以冈

(2)由余弦定理|a］:得j曰-,一］

即月当且权当|日|等号丽Q

所以网，

即当IF附，三角形国J面积巨］的最大值为国.

3.在|中,角A，B,C的对边分别为a,b,c,同sin-C）=csinB.

（1）求殖C

（2）若r^~~i的外接圆半径为2,求国二1面积的最大值.

［答嗓］（1）式2）国!

【分析】（1）利用正弦定理得到tanC=V3,从而得到C=:用2）利用正弦定理得到c=2g，

根据余弦定理和基本不等式求出ab<12,进而求出国」面积的最大值.

（1）

因为.bsin（f—C）=csinB,所以gbcosC=csinB，由正弦定理得：值sinBcosC=sinCsinB，

因为叵二I，所吗—故J5cosC=sinC,tanC=V3>因为C€（0,冗），所以。=勺

⑵根据正弦定理得：品=言=4,解得：c=2g，

2

根据余弦定理得：c2=a24-b2—2abcosC=a24-b2-ah=12,由基本不等式得:a2-Vb2>

2ab,EP12+ab>2ab,解得：abW12,当且仅当a=b=时等号成立，此时S^BC=

gabsinC<3V3,所以|臼|面积的最大值为同

【题型八】解三角形2：周长最值

【典例分析】

在①］兔［刖冈的等差中项；在司—I；③

冈一!.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并

解答问题._

在臼~~I中,角度口口所对的边分别为母母比且满足条件（填写所选条

件硫号）.

（1）求角巳

（2）若|媪I,求锐角三11的产长白?取值范围.

【答案】（1）条件选择见解析，|冈］；（2）叵1

【分析】

（1）选①，利用正弦定理结合三角恒等变换求出国二|的值，结合角口步取值范围可求得角

用值；___

选&,利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得五|的值，结合角洋勺取值范围可求得

角向勺值；3

选茴，利用同角三角函数的平方关系、正弦定理以及余弦定理求出反二|的值，结合角国勺

取值范围可求得角即值：

（2）求出角中取植范围，利用正弦定理以及三角恒等变换可得出|F］关于中三角

函数关系式，利用正弦型手数的基本性质可求得IyI的取值范甫

⑴解：选①，由已知可得冈，

因为因，则I目I，可得困

选③，

则国二I，即早:

由正弦定理可得目］,由余弦定理可得0

I故国

可

（2）解：因为国二|为锐角三角形，则，可得冈

由正弦定理可得冈

所以，冈

a

因为冈，则国,则a

故0

【提分秘籍】

基本规律

“齐次对称结构“，用余弦定理加均值，如果用正弦定理化角，计算量稍大

【变式演练】

1.在中，角目二］的对边勺别为1其中।司|,且

-3---------------------------

（1）求角朋大小;

（2）求4］周长的取值范围。

［答案］（曲2）|因一二

【分析】⑴利用两角和的正弦公式及诱导公式得到f1再由正弦定理得到

*1,即可得到耳|，即可得解；

（2）利用余弦定理及基本不等式得到|F|,再根据［叵］I求出

臼~|的取值范围，即可得

（1）解：因为I冈即|司-1,所以

|冈即I』］，所以冈，又

,|臼I，所以冈，所以冈，因为|冈所

以忖I

(2)

解：因为可、SZI,由余弦定理国|,即I曰即

“一一当且仅当I冈I时取等号，身以向所以

茴［，所以I亩I，所以值I,所以

冈即三角形的周长的取值范围为I回

2.在।中，角马马口所对的边分别为吐◎区且|春.

⑴求国‘，1一

(2)若面积|丹|，求耳D周长的最小值.

［答案］(1J冈:(2)||,

【分析】(1)利用正弦定理边化角，再结合同角公式计算作答.

(2)由(1)结合三角形面积定理求出be,再由余弦定理结合均值不等式计算作答.

(1)在目］中，由正弦定理及|因|得:

习：」,__________________

而I问I，即L^__I,则底，即冈，

因此，|臼「:「「乂目二□，即I司I，

于是得0，解得国，所以叵1.

(2)由⑴及三角形面积定理得：冈,耳J,

由余弦定理得：I冈

则丘三周长扃当且仅当

晶周长的最小值为E―

总三②向量记=(a+c,b)与元=(c-a,b-c),且记上汇③

,三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析.在国二|中，内角

J边分别为国二|，已知______.

①录角中J大小;

B⑵若r^［~i的面积为竟反,求耳n周长的取值范围.

【答案】(1)［^|(2)(4V3,6V3］

【分析】(1)若选条件①或③，需要使用正弦定理进行边化角来处理，选择条件②用余弦定

理即可；(2)先由面积的条件算出口此后利用余弦定理和基本不等式解决.

(1)

若选条件①，根据正弦定理得，2a=$吗+sm：,整理得，sinAcosB+sin/lcosC=sinBeosA4-

cosAcosB+cosC

sinCcos/1,即______

sinAcosB-sinBeosA=sinCcos^—sin4cosC,也即sin(A—B)=sin(C—4),由于［臼是

三角形内角，只可能是4-B=C-A,即24=B+C=TT-A,

若选条件②，则有记-n=0=(c+a)(c—a)+b{b-c),整理得川+c2-a2=be,由余

X冈］;

弦定理得0，又

若选条件③，由正弦定理，冈，即I臼|,又I臼|,则尸］

⑵

S^ABC-^bcsinA=^abc,故a=4sin4=4sing=2代，由三角形三边关系，b+c>a=

2V3,故周长a+b+c>2a=4V5，另一方面，根据余弦定理，b2+c2-2bccos^=a2,

即(b+c)2-12=3bc,由基本不等式可得，

(b+c)2-12=3bcW组产，故(b+c)2w48,即b+cW4百，当且仅当

b=c=2g取得等号，故脑长a+b+c<a+4V3=6V3,综上可得，周长的取值范围是：

(4百,6例

【题型九】解三角形3:边长最值

【典例分析】

在①%os《-9=国CcosB;②2S-BC=卸•近；③ta"+tanC+凤Aan^tan^'

这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在底厂］中,内角扇―I

的对边分别为反二|，且_________.

(1)求角昂

(2)若五二|是锐角三角形，且c=4,求目的取值范围•

注：如某选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

【答案】(1)答案见解析(2)(2,8)

【分析】(1)选择①，运用正弦定理及同角三角函数关系求解；选择②，运用面积公式及同

角三角函数关系求解；选择③运用正切两角和公式及诱导公式求解.

(2)根据正弦定理及正切函数的单调性求解

(1?选择(p：条件即bsinC=y/3ccosB，由正弦定理可知，sinBsinC=x/3sinCcos^»

在耳:中，B,CG(0,n),所以5^8于O,sin。#0，

所以sinB=gcosB,且cosBH0,即冈,所以［冈］;

选择②：条件即2xjacsinB=V3cacosF,即sinB=y/3cosB,

在I巨仲,冈，所以I叼I，则cosB工0,所以上，所以।/］

选择③：条件即tan4+tanC=V3(tan/ltanC—1)»

所以tanB=Tan(A+G=-［：黑鲁；=W，在I叼I中，8,。€(0,兀)，所以［冈］

(2)由(1)知，|BJ,所以4==

由正弦定理可知，。=画竺=竺型£0=包1+2，

sinCsinCtanC

,_____,(0<c<-,„„

2

由臼口是锐角三角形得,2nn所以?<C<3

(0<A=--C<-,62

I32

所以tanC〉号，所以2<a<8,故聊取值范围为(2,8).

【提分秘籍】

基本规律

用正线定理，要注意角度的范围。

【变式演练】

1.在|5"1中'a，b,c分别是角A,B,C的对边，且2acosC-bcosC=ccosB.

⑴乘扁G

(2)若a+b：2,乎c的取值范围.

［答案］(1J冈卜)|可

【分析】(1)根据正弦定理，将边化角，利用三角恒等变换以及三角形内角关系，即可求出

结果；

(2)利用余弦定理以及已知条件，即可求出响勺取值范围.

(1)由正弦定理得2sirn4cosc-sinFcosC=sinCcosB,即2sinAcosCsinFcosC+sinCcosF,

2sin4cosc=sin(B+C)=sin(7r—A)=sinA,因为区|,所以|~7]-1,所以cosC=|

又因为国.所以I区J;

(2)由a+b=2得b—