专题02 整式与因式分解（讲义）（解析版） 中考数学一轮复习 （全国通用）

专题02整式与因式分解的核心知识点精讲1．能用幂的性质解决简单问题,会进行简单的整式乘法与加法的混合运算．2．能用平方差公式、完全平方公式进行简单计算．3．了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，会用提公因式法和公式法进行因式分解．4．能选用恰当的方法进行相应的代数式的变形，并通过代数式的适当变形求代数式的值．5．会列代数式表示简单的数量关系;能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义,会求代数式的值，并能根据代数式的值或特征推断代数式反映的规律．考点1：代数式定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。考点2：整式的相关概念考点3：整式加减运算1.实质：合并同类项2.合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。3.去括号（1）a+(b+c)=a+b+c；（2）a-(b+c)=a-b-c考点4：幂运算（1）幂的乘法运算口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)（2）幂的乘方运算口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即(m,n都为正整数)（3）积的乘方运算口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即（m,n为正整数）（4）幂的除法运算口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)考点5：整式乘法运算（1）单项式乘单项式单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式乘多项式单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．（3）多项式乘多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．（4）乘法公式①平方差公式：②完全平方公式：（5）除法运算①单项式的除法：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．考点6：因式分解【题型1：代数式及其求值】【典例1】（2023•南通）若a2﹣4a﹣12＝0，则2a2﹣8a﹣8的值为（）A．24 B．20 C．18 D．16【答案】D【解析】解：∵a2﹣4a﹣12＝0，∴a2﹣4a＝12，∴2a2﹣8a﹣8＝2（a2﹣4a）﹣8＝2×12﹣8＝24﹣8＝16，故选：D．1．（2023•雅安）若m2+2m﹣1＝0，则2m2+4m﹣3的值是（）A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．﹣3【答案】A【解析】解：2m2+4m﹣3＝2（m2+2m﹣1）﹣1＝0﹣1＝﹣1．故选：A．2．（2023•常德）若a2+3a﹣4＝0，则2a2+6a﹣3＝（）A．5 B．1 C．﹣1 D．0【答案】A【解析】解：∵a2+3a﹣4＝0，∴a2+3a＝4，∴2a2+6a﹣3＝2（a2+3a）﹣3＝2×4﹣3＝5，故选：A．3．（2023•巴中）若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（）A．5 B．7 C．10 D．﹣13【答案】B【解析】解：∵x2+3x﹣5＝0，∴x2+3x＝5，∴2x2+6x﹣3＝2（x2+3x）﹣3＝2×5﹣3＝7．故选：B．【题型2：整式的相关概念及加减】【典例2】（2022•湘潭）下列整式与ab2为同类项的是（）A．a2b B．﹣2ab2 C．ab D．ab2c【答案】B【解析】解：在a2b，﹣2ab2，ab，ab2c四个整式中，与ab2为同类项的是：﹣2ab2，故选：B．1．（2021•河池）下列各式中，与2a2b为同类项的是（）A．﹣2a2b B．﹣2ab C．2ab2 D．2a2【答案】A【解析】解：2a2b中含有两个字母：a、b，且a的指数是2，b的指数是1，观察选项，与2a2b是同类项的是﹣2a2b．故选：A．2．（2022•泰州）下列计算正确的是（）A．3ab+2ab＝5ab B．5y2﹣2y2＝3 C．7a+a＝7a2 D．m2n﹣2mn2＝﹣mn2【答案】A【解析】解：A、原式＝5ab，符合题意；B、原式＝3y2，不符合题意；C、原式＝8a，不符合题意；D、原式不能合并，不符合题意．故选：A．3．（2022•包头）若一个多项式加上3xy+2y2﹣8，结果得2xy+3y2﹣5，则这个多项式为y2﹣xy+3．【答案】y2﹣xy+3．【解析】解：由题意得，这个多项式为：（2xy+3y2﹣5）﹣（3xy+2y2﹣8）＝2xy+3y2﹣5﹣3xy﹣2y2+8＝y2﹣xy+3．故答案为：y2﹣xy+3．【题型3：幂运算】【典例3】（2023•株洲）计算：（3a）2＝（）A．5a B．3a2 C．6a2 D．9a2【答案】D【解析】解：∵（3a）2＝32×a2＝9a2，故选：D．1．（2023•丹东）下列运算正确的是（）A．（3xy）2＝9x2y2 B．（y3）2＝y5 C．x2•x2＝2x2 D．x6÷x2＝x3【答案】A【解析】解：A．（3xy）2＝9x2y2，故此选项符合题意；B．（y3）2＝y6，故此选项不合题意；C．x2•x2＝x4，故此选项不合题意；D．x6÷x2＝x4，故此选项不合题意．故选：A．2．（2023•陕西）计算：＝（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：原式＝﹣x6y3，故选：C．3．（2023•温州）化简a4•（﹣a）3的结果是（）A．a12 B．﹣a12 C．a7 D．﹣a7【答案】D【解析】解：a4•（﹣a）3＝﹣a7．故选：D．【题型4：整式的乘除及化简求值】【典例4】（2023•盐城）先化简，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1．【解析】解：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b）＝a2+6ab+9b2+a2﹣9b2＝2a2+6ab．当a＝2，b＝﹣1时，原式＝2×22+6×2×（﹣1）＝8﹣12＝﹣4．1．（2023•长沙）先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝﹣．【答案】4﹣6a，原式＝6．【解析】解：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2＝4﹣a2﹣2a2﹣6a+3a2＝4﹣6a，当a＝﹣时，原式＝4﹣6×（﹣）＝4+2＝6．2．（2023•常州）先化简，再求值：（x+1）2﹣2（x+1），其中x＝．【答案】x2﹣1，1．【解析】解：原式＝x2+2x+1﹣2x﹣2＝x2﹣1，当x＝时，原式＝2﹣1＝1．3．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．【解析】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9＝2x2﹣6x﹣7，∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴2x2﹣6x＝﹣2，∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．【题型5：因式分解】【典例5】（2023•北京）分解因式：x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）．【解析】解：x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y）．故答案为：y（x+y）（x﹣y）．1．（2023•盐城）因式分解：x2﹣xy＝x（x﹣y）．【答案】x（x﹣y）【解析】解：x2﹣xy＝x（x﹣y）．故答案为：x（x﹣y）．2．（2023•陕西）分解因式：3x2﹣12＝3（x﹣2）（x+2）．【答案】3（x+2）（x﹣2）．【解析】解：原式＝3（x2﹣4）＝3（x+2）（x﹣2）．故答案为：3（x+2）（x﹣2）．3．（2023•怀化）分解因式：2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2．【答案】2（x﹣1）2【解析】解：2x2﹣4x+2，＝2（x2﹣2x+1），＝2（x﹣1）2．1．单项式mxy3与xn+2y3的和是5xy3，则m﹣n＝（）A．﹣4 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】解：∵单项式mxy3与xn+2y3的和是5xy3，∴单项式mxy3与xn+2y3是同类项，∴n+2＝1，m+1＝5，解得n＝﹣1，m＝4，∴m﹣n＝4﹣（﹣1）＝5，故选：D．2．下列计算正确的是（）A．2ab+3ab＝5ab B．7y2﹣2y2＝5 C．4a+2a＝6a2 D．3m2n﹣2mn2＝mn2【答案】A【解析】解：A．2ab+3ab＝5ab，故本选项符合题意；B．7y2﹣2y2＝5y2，故本选项不符合题意；C．4a+2a＝6a，故本选项不符合题意；D．3m2n与﹣2mn2不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意．故选：A．3．如图是由连续的奇数1，3，5，7，……排成的数阵，用如图所示的T字框框住其中的四个数，设竖列中间的数为x，则这四个数的和为（）A．3x+1 B．3x+2 C．4x+1 D．4x+2【答案】B【解析】解：设竖列中间的数为x，则上面的数为：x﹣10，下面的数为：x+10，其右侧的数为：x+2，则这四个数的和为：x﹣10+x+10+x+2＝3x+2，故选：B．4．某商品标价为m元，商店以标价7折的价格开展促销活动，这时一件商品的售价为（）A．0.3m元 B．1.7m元 C．7m元 D．0.7m元【答案】D【解析】解：商店以标价7折的价格开展促销，售价为0.7m元；故选：D．5．如图是一组有规律的图案，它们由边长相等的等边三角形组成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，…，照此规律，摆成第6个图案需要的三角形个数是（）A．19个 B．22个 C．25个 D．26个【答案】A【解析】解：第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1，第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1，第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1，…，按此规律摆下去，第n个图案有（3n+1）个三角形．第6个图案有（3×6+1）＝19个三角形．故选：A．6．若代数2x2+3x的值为5，则代数式4x2+6x﹣9的值是（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4【答案】A【解析】解：∵2x2+3x的值为5，∴2x2+3x＝5，∴原式＝2（2x2+3x）﹣9＝2×5﹣9＝10﹣9＝1．故选：A．7．下列计算正确的是（）A．（a3）2＝a8 B．a2•a3＝a6 C．（2ab2）3＝8a3b6 D．【答案】C【解析】解：（a3）2＝a6，则A不符合题意；a2•a3＝a5，则B不符合题意；（2ab2）3＝8a3b6，则C符合题意；3a2÷4a2＝，则D不符合题意；故选：C．8．多项式3x2﹣2x+5的各项分别是（）A．3x2，﹣2x，5 B．x2，x，5 C．3x2，2x，5 D．3，2，5【答案】A【解析】解：多项式3x2﹣2x+5的各项分别是3x2，﹣2x，5，故选：A．9．下列各整式中是三次单项式的是（）A．5a3b B．32a2b C．﹣a2b3 D．9a2+b3【答案】B【解析】解：5a3b的次数是3+1＝4，则A不符合题意；32a2b的次数是2+1＝3，则B符合题意；﹣a2b3的次数是2+3＝5，则C不符合题意；9a2+b3不是多项式，则D不符合题意；故选：B．10．如果二次三项式x2+ax﹣2可分解为（x﹣2）（x+b），那么a+b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0【答案】D【解析】【详解】解：∵（x﹣2）（x+b）＝x2+（b﹣2）x﹣2b，∴x2+ax﹣2＝x2+（b﹣2）x﹣2b，∴a＝b﹣2，﹣2＝﹣2b，∴a＝﹣1，b＝1，∴a+b＝0，故选：D．11．将长、宽分别为x、y的四个完全一样的长方形，拼成如图所示的两个正方形，则这个图形可以用来解释的代数恒等式是（）A．（x+y）2＝x2+2xy+y2 B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 C．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 D．（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy【答案】D【解析】解：根据图形可得：大正方形的面积为（x+y）2，阴影部分小正方形的面积为（x﹣y）2，一个小长方形的面积为xy，则大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个小长方形的面积，即（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，故选：D．12．（﹣x3）2的运算结果是（）A．﹣x5 B．﹣x6 C．x6 D．x9【答案】C【解析】解：（﹣x3）2＝x6．故选：C．13．单项式﹣的系数和次数分别是（）A．﹣，4 B．﹣，5 C． D．【答案】C【解析】解：单项式﹣的系数是﹣，次数是4，故选：C．14．若M和N都是三次多项式，则M+N一定是（）A．次数低于三次的整式 B．六次多项式 C．三次多项式 D．次数不高于三次的整式【答案】D【解析】解：∵M和N都是三次多项式，∴M+N一定是次数不高于三次的整式，故选：D．15．多项式x2+mx+25是完全平方式，那么m的值是（）A．10 B．20 C．±10 D．±20【答案】C【解析】解：由于（x±5）2＝x2±10x+25∴m＝±10故选：C．16．要使多项式2x2﹣2（7+3x﹣2x2）+mx2化简后不含x的二次项，则m的值是（）A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣6【答案】D【解析】解：2x2﹣2（7+3x﹣2x2）+mx2＝2x2﹣14﹣6x+4x2+mx2＝（6+m）x2﹣6x﹣14．∵化简后不含x的二次项．∴6+m＝0．∴m＝﹣6．故选：D．17．先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（1﹣a），其中a＝2023．【答案】a﹣4，2019．【解析】解：原式＝a2﹣4+a﹣a2＝a﹣4，当a＝2023时，原式＝2023﹣4＝2019．18．甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2．（1）填空：S1﹣S2＝2m﹣1（用含m的代数式表示）；（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和．①设该正方形的边长为x，求x的值（用含m的代数式表示）；②设该正方形的面积为S3，试探究：S3与2（S1+S2）的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由．【答案】（1）2m﹣1；（2）①2m+7；②S3与2（S1+S2）的差是常数19．【解析】解：（1）S1﹣S2＝（m+7）（m+1）﹣（m+4）（m+2）＝（m2+m+7m+7）﹣（m2+2m+4m+8）＝m2+m+7m+7﹣m2﹣2m﹣4m﹣8＝2m﹣1，故答案为：2m﹣1；（2）①根据题意得：4x＝2（m+7+m+1）+2（m+4+m+2），解得：x＝2m+7，答：x的值为2m+7；②∵S1+S2＝（m+7）（m+1）+（m+4）（m+2）＝（m2+m+7m+7）+（m2+2m+4m+8）＝m2+m+7m+7+m2+2m+4m+8＝2m2+14m+15，∴S3﹣2（S1+S2）＝（2m+7）2﹣2（2m2+14m+15）＝4m2+28m+49﹣4m2﹣28m﹣30＝19，答：S3与2（S1+S2）的差是常数19．1．已知有2个完全相同的边长为a、b的小长方形和1个边长为m、n的大长方形，小明把这2个小长方形按如图所示放置在大长方形中，小明经过推理得知，要求出图中阴影部分的周长之和，只需知道a、b、m、n中的一个量即可，则要知道的那个量是（）A．a B．b C．m D．n【答案】D【解析】解：由图和已知可知：AB＝a，EF＝b，AC＝n﹣b，GE＝n﹣a．阴影部分的周长为：2（AB+AC）+2（GE+EF）＝2（a+n﹣b）+2（n﹣a+b）＝2a+2n﹣2b+2n﹣2a+2b＝4n．∴求图中阴影部分的周长之和，只需知道n一个量即可．故选：D．2．已知8m＝a，16n＝b，其中m，n为正整数，则23m+12n＝（）A．ab2 B．a+b2 C．ab3 D．a+b3【答案】C【解析】解：∵8＝23，16＝24，∴（23）m＝23m＝a，（24）n＝24n＝b，∴23m+12n＝23m×212n＝23m×（24n）3＝ab3，故选：C．3．比较344，433，522的大小正确的是（）A．344＜433＜522 B．522＜433＜344 C．522＜344＜433 D．433＜344＜522【答案】B【解析】解：344＝（34）11＝8111；433，＝（43）11＝6411；522的＝（52）11＝2511；∵2511＜6411＜8111，∴522＜433＜344．故选：B．4．若（a+2b）•_____＝a2﹣4b2，则横线内应填的代数式是（）A．﹣a﹣2b B．a+2b C．a﹣2b D．2b﹣a【答案】C【解析】解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b），∴括号内应填的代数式是a﹣2b．故选：C．5．同号两实数a，b满足a2+b2＝4﹣2ab，若a﹣b为整数，则ab的值为（）A．1或 B．1或 C．2或 D．2或【答案】A【解析】解：∵a2+b2＝4﹣2ab，∴（a+b）2＝4，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝4﹣4ab≥0，∴ab≤1，∵ab＞0，∴0＜ab≤1．∴0≤4﹣4ab＜4．∵a﹣b为整数，∴4﹣4ab为平方数．∴4﹣4ab＝1或0，解得ab＝或1；故选：A．6．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”设（a+b）n的展开式中各项系数的和为an，若21010＝x，则a1+a2+a3+…+a2020的值为（）A．2x2 B．2x2﹣2 C．2020x﹣2 D．2020x【答案】B【解析】解：观察所给数据可得，a1＝2，a2＝1+2+1＝4＝22，a3＝1+3+3+1＝8＝23，a4＝1+4+6+4+1＝16＝24，…，a2020＝22020，∵21010＝x，∴a2020＝22020＝x2，∵a1+a2＝2+4＝6＝2（22﹣1），a1+a2+a3＝2+4+8＝14＝2（23﹣1），…，∴a1+a2+a3+…+a2020＝2（22020﹣1）＝2（x2﹣1）＝2x2﹣2．故选：B．7．下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（）A．135 B．170 C．209 D．252【答案】C【解析】解：根据表格可得规律：第n个表格中，左上数字为n，左下数字为n+1，右上数字为2（n+1），右下数字为2（n+1）（n+1）+n，∴20＝2（n+1），解得n＝9，∴a＝9，b＝10，x＝10×20+9＝209．故选：C．8．定义运算“★”：a★b＝，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是t＞﹣．【答案】t＞﹣．【解析】解：由新定义的运算可得关于x的方程为：（1）当2x+1≤2x﹣3成立时，即1≤﹣3，矛盾，所以a≤b时不成立；（2）当2x+1＞2x﹣3成立时，即1＞﹣3时，所以a＞b时成立，则（2x﹣3）2﹣（2x+1）＝t，化简得：4x2﹣14x+8﹣t＝0，∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝142﹣4×4×（8﹣t）＞0，解得：t＞﹣，故答案为：t＞﹣．9．计算：已知：a+b＝3，ab＝1，则a2+b2＝7．【答案】见试题解答内容【解析】解：∵a+b＝3，ab＝1，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2＝9﹣2＝7．故答案为：710．如图，边长分别为a、b的两个正方形并排放在一起，当a+b＝8，ab＝10时，阴影部分的面积为17．【答案】17．【解析】解：根据题意得：S阴影部分＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝a2+b2﹣a2﹣ab﹣b2＝（a2+b2﹣ab）＝[（a+b）2﹣3ab]，把a+b＝8，ab＝10代入得：S阴影部分＝17．故图中阴影部分的面积为17．故答案为：17．11．因式分解：2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2．【答案】2（x﹣1）2．【解析】解：2x2﹣4x+2＝2（x2﹣2x+1）＝2（x﹣1）2故答案为2（x﹣1）2．12．已知xy＝2，x+y＝3，则x2y+xy2＝6．【答案】见试题解答内容【解析】解：∵xy＝2，x+y＝3，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝2×3＝6，故答案为：6．13．如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝9，两正方形的面积和S1+S2＝51，则图中阴影部分面积为．【答案】．【解析】解：设AC＝m，CF＝n，∵AB＝9，∴m+n＝9，又∵S1+S2＝51，∴m2+n2＝51，由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，∴92＝51+2mn，∴mn＝15，∴S阴影部分＝mn＝，即：阴影部分的面积为．故答案为：．14．若实数a，b满足a﹣b＝1，则代数式a2﹣b2﹣2b+5的值为6．【答案】6．【解析】解：a2﹣b2﹣2b+5＝（a+b）（a﹣b）﹣2b+5，∵a﹣b＝1，∴原式＝a+b﹣2b+5＝a﹣b+5＝1+5＝6．故答案为：6．15．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系规律（按a的次数由大到小的顺序）．请根据规律，写出（x+1）2022的展开式中含x2021项的系数是2022．【答案】2022．【解析】解：∵（a+b）1展开式中的第二项系数为1，（a+b）2展开式中的第二项系数为2，（a+b）3展开式中的第二项系数为3，（a+b）4展开式中的第二项系数为4，∴（a+b）n展开式中的第二项系数为n，由图中规律可知：含x2021的项是（x+1）2022的展开式中的第二项，∴（x+1）2022的展开式中的第二项系数为2022，故答案为：2022．16．观察下列一组数：a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数an＝（用含n的式子表示）【解析】解：观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n+1，观察分子的，1＝×1×2，3＝×2×3，6＝×3×4，10＝×4×5，15＝×5×6，…，可知规律为，∴an＝＝；故答案为；17．先化简，再求值：（2a+1）（2a﹣1）﹣4a（a﹣1），其中a＝﹣1．【解析】解：（2a+1）（2a﹣1）﹣4a（a﹣1）＝4a2﹣1﹣4a2+4a＝4a﹣1，当a＝﹣1时，原式＝﹣4﹣1＝﹣5．18．已知多项式A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，A﹣2B中不含有x2项和y项，求nm+mn的值．【解析】解：∵A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，∴A﹣2B＝2x2﹣xy+my﹣8+2nx2﹣2xy﹣2y﹣14＝（2+2n）x2﹣3xy+（m﹣2）y﹣22，由结果不含有x2项和y项，得到2+2n＝0，m﹣2＝0，解得：m＝2，n＝﹣1，则原式＝1﹣2＝﹣1．19．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等．（1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式．（2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．【解析】解：（1）如图，则（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．＝25+5×24×（﹣1）+10×23×（﹣1）2+10×22×（﹣1）3+5×2×（﹣1）4+（﹣1）5．＝（2﹣1）5，＝1．20．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1，可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝9，ab+bc+ac＝26，求a2+b2+c2的值；（3）小明同学用2张边长为a的正方形、3张边长为b的正方形、5张边长为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？（4）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+7b）（2a+5b）长方形，求9x+10y+6．【解析】解：（1）正方形的面积可表示为＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．（2）由（1）可知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝92﹣26×2＝81﹣52＝29．（3）长方形的面积＝2a2+5ab+3b2＝（2a+3b）（a+b）．所以长方形的边长为2a+3b和a+b，所以较长的一边长为2a+3b．（4）∵长方形的面积＝xa2+yb2+zab＝（25a+7b）（2a+5b）＝50a2+14ab+125ab+35b2＝50a2+139ab+35b2，∴x＝50，y＝35，z＝139．∴9x+10y+6＝450+350+6＝806．21．阅读理解：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．迁移应用：（1）若x满足（2020﹣x）2+（x﹣2022）2＝10，求（2020﹣x）（x﹣2022）的值；（2）如图，点E，G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，满足DE＝k，BG＝k+1（k为常数，且k＞0），长方形AEFG的面积是，分别以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK，求阴影部分的面积．【答案】（1）﹣3；（2）．【解析】解：（1）设a＝2020﹣x，b＝x﹣2022，则：a+b＝﹣2，a2+b2＝10．∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴10+2ab＝（﹣2）2．∴ab＝﹣3．∴（2020﹣x）（x﹣2022）＝﹣3．（2）设正方形ABCD的边长为x，则AE＝x﹣k，AG＝x﹣k﹣1，∴AE﹣AG＝1．∵长方形AEFG的面积是，∴AE•AG＝．∵（AE﹣AG）2＝AE2﹣2AE•AG+AG2，∴AE2+AG2＝1+＝．∵（AE+AG）2＝AE2+2AE•AG+AG2，∴（AE+AG）2＝，∴AE+AG＝．∴S阴影部分＝S正方形GFIH﹣S正方形AGJK＝AE2﹣AG2＝（AE+AG）（AE﹣AG）＝×1＝．22．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于m﹣n；（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：方法一：（m﹣n）2；方法二：（m+n）2﹣4mn；（3）根据（2）写出（m﹣n）2，（m+n）2，mn这三个代数式之间的等量关系及推理过程．【答案】（1）m﹣n；（2）（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（3）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，推理过程见解答．【解析】解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长＝m﹣n，故答案为：m﹣n；（2）方法①（m﹣n）2；方法②（m+n）2﹣4mn；故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（3）这三个代数式之间的等量关系是：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，由（2）得图②中阴影部分的面积为：（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn，所以：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，因此这三个代数式之间的等量关系是：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn．1．（2023•西藏）下列计算正确的是（）A．2a2b﹣3a2b＝﹣a2b B．a3•a4＝a12 C．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3 D．（a+b）2＝a2+b2【答案】A【解析】解：A、2a2b﹣3a2b＝﹣a2b，故此选项符合题意；B、a3•a4＝a7，故此选项不符合题意；C、（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3，故此选项不符合题意；D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项不符合题意；故选：A．2．（2023•攀枝花）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，故选：D．3．（202