第一章三角形的证明单元测试卷 2020-2021学年北师大版八年级数学下册

第一章三角形的证明单元测试卷

考试范围：第一章；考试时间：10（）分钟；满分：120分命题人:

学校:姓名：班级：考号：

题号一二三总分

得分

评卷人得分

一.选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1.（3分）如图，AC,CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB=AC,NBAC=40°,则NCHQ的度数是（）

A.25°B.35°C.45°D.55°

2.（3分）下列条件中，不能判定△A8C是等腰三角形的是（）

A.。=3,b=3,c=4B.a：b：c=2：3：4

C.ZB=50°,ZC=80°D.NA：ZB：ZC=1：1：2

3.（3分）如图，△ABC的面积为3尸平分N43C,AP_LBP于P,连接尸C,则△PBC的面积为（）

A.3cm2B.4cm2C.4.5cm2D.5cm2

4.（3分）如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ,PRLAB于点R,PSLAC于点S,PR=PS,则下列结论：①点

P在NA的角平分线上；@AS=AR；®QP//AR；④△BRPgZ^QSP.正确的有（）

AM

RPC

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（3分）已知△ABC的三边a,b,c满足（a-4）2+招工+心-4|=0,那么△A8C是（）

A.不等边三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.不能判断

6.（3分）如图，在等腰aABC中，A2=4C,点E为AC的中点,且C£>=CE.若乙4=60°,EF=4cm,则。尸的

长为（）

，二

A.\2cmB.lOc/wC.Sc/nD.6cm

7.（3分）如图，BE=CF,AELBC,DFLBC,要根据证明RtAABE^RtADCF,则还要添加一个条件是

（）

CD

工

A.AB=DCB.ZA=ZDC.NB二=ZCD.AE=BF

8.（3分）如图，将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）的直角顶

点重合并如图叠放，当NDEB=m°,则NAOC=（）

D

0C

A.30°B.Cm-15）°C.（/n+15）°D.M

9.（3分）如图，在AABC中，分别以点A和点8为圆心，以相同的长（大于1A8）为半径作弧，两弧相交于点M

2

和点M作直线MN交AB于点。，交AC于点E,连接CD已知△CZ）E的面积比△C£）B的面积小5,则△?!£>£的

A.5B.4C.3D.2

10.（3分）如图，是△ABC的角平分线，CFLA8于点凡S.DE=DG,S^ADC=24,SAAED=18,则△£>£：/的

面积为（）

II.（3分）如图，在△ABC中，N8=90°,C是8。上一点，BC=\0,ZADB=45°,ZACB=60°,则C£>长

12.（3分）如图，在△ABC中，NACB=90°,NBAC=2/B,AC平分NBAC,交BC于点Q,CELAD,DF±

AB,垂足分别为E,F,则下列结论中：①NDCE=NB：②NACE=60°；@BC-AD=DF-,④直线。F垂直平分

线段AB,正确的有（）

c

D

A.1个B.2个C.3个D.4个

评卷人得分

二.填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）

13.（4分）如图，在△ABC中，AB=AC,NA=60°,BEA.ACTE,延长8C到。，使CO=CE,连接OE,若4

48c的周长是24,BE=a,则△BZJE的周长是.

14.（4分）已知：如图，AB=CD,£>E_LAC于E,BF_LAC于F,KDE=BF,ZD=60°,则NA=

15.（4分）命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是.它是

命题（填“真”或“假”）

16.（4分）如图，在△ABC中，AB=13,AC=12,BC=5,按以下步骤作图：

①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交A8、AC于点V、N；②分别以点/、N为圆心，以大于』MN的长为

2

半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线8F,AE交BF于点、O,连接0C,则0C=—

评卷人得分

三.解答题(共10小题，满分68分)

17.(5分)如图，是等边△ABC的中线，AE=AD,求NEQC的度数.

18.(6分)如图，已知等腰△ABC中，AB=AC,ZA<90Q,CD是△ABC的高，8E是△ABC的角平分线，CD与

BE交于点P.

(1)当NA=44°时，求/8PO的度数;

(2)设NA=x°,ZEPC=y°,请用含x的代数式表示y,并说明理由.

19.(6分)如图，在△△8c中，AB^AC,NB4c=36°,3。平分NABC交AC于点。，过点4作AE〃8C,交.BD

的延长线于点E.

(1)求NAO8的度数；

(2)求证：△AOE是等腰三角形.

20.(6分)如图，在△ABC中，AB=AC,M,N分别是AB,AC边上的点，并且MN〃BC.

(1)ZVIMN是否是等腰三角形？说明理由；

(2)点P是MN上的一点，并且平分/ABC,CP平分/ACB.

①求证：是等腰三角形；

②若△ABC的周长为“，BC=b(a>2h),求△AMN的周长(用含“，〃的式子表示).

21.(6分)如图，在等边三角形ABC中，点。为8c边上一点，DE//AB,过。作。凡LOE交AB于点凡且N

£FD=60°,CN平分/ACB,CN分别交OE、EF于M、N两点.

(1)求证：ACENq4EDF；

(2)求证：点N为线段EF中点.

22.(7分)如图，中，A3的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点

F,G,连接AE,AG.

(1)若aAEG的周长为10,求线段BC的长;

(2)若N84C=104°,求NEAG的度数.

23.(7分)如图，△ABC中，ZACB=90°,A。平分NBAC,DELAB于E.

(1)若/。EC=25°,求N8的度数；

(2)求证：直线AO是线段CE的垂直平分线.

24.(8分)教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内

我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角

的对称轴，如图1354,OC是乙的平分线，P是0c上任一

点，作PZ)1CU,PE1O5垂足分别为点。和点E,将乙4。3沿OC

对折，我们发现PD与PE完全重合。由此即有：

角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离

相等•

已知：如图1354,OC是乙408的平分线，点尸是OC上任一

点，作PZ>1Q4,PE1O5,垂足分别为点普和点E。

求证：PD=PE

(至⑥)图中有两个直角三角形PD。和PE。只要证明这两个

三角形全等，便可证得尸。=PE。

\96第13童全等三角形

容.-----------------------------------------------------------------------

定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程.

定理应用：

如图②，△ABC的周长是12,80、C。分别平分NABC和NACB,0DLBC于点D,若。0=3,则△ABC的面积

为_______

图①图②

25.(8分)如图，在AABC中，BELAC于点E,BC的垂直平分线分别交AB、BE于点、D、G,垂足为“，CDL

AB,CD交BE于点F.

(1)求证：△BOF丝△CD4,并写出BF与AC的数量关系.

(2)若DF=DG,求证：①BE平分NA8C；②CE=』BF.

2

26.(9分)如图(1)将三角板ABC与ND4E摆放在一起，射线AE与AC重合，射线AD在三角形ABC外部，其

中NACB=30°,NB=60°,NBAC=90°,ZDA£=45°.固定三角板ABC,将ND4E绕点A按顺时针方向旋

转，如图(2),记旋转角/C4E=a.

(1)当a为60°时，在备用图(1)中画出图形，并判断4E与BC的位置关系，并说明理由;

(2)在旋转过程中，当0°<a<180°,ND4E的一边与BC平行时，求旋转角a的值;

(3)在旋转过程中，当0°VaW90°时，探究NCA。与NBAE之间的关系.

(温馨提示：对于任意△4BC,都有NA+NB+/C=180°)

图(1)图⑵备用图(1)备用图Q)

第一章三角形的证明单元测试卷

参考答案

一.选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1.（3分）如图，A。，CE分别是△4BC的中线和角平分线，若4B=AC,N84C=40°,则NCHO的度数是（）

A.25°B.35°C.45°D.55°

【解答】解：•；AB=AC,

；.NB=NACB,

•.,/BAC=40°,

AZACB=Ax（180°-40°）=70°,

2

•.,A。是△ABC的中线，

：.AD是aABC的角平分线，

.,./C4£>=上N8AC=20。，

2

•；CE是AABC的角平分线，

/.ZAC£=AZACB=35°,

2

/.ZCHD^ZCAD+ZACE=55°.

故选：D.

2.（3分）下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）

A.。=3,b=3,c=4B.a：b：c=2：3：4

C.ZB=50°,ZC=80°D.NA：ZB：ZC=1：1：2

【解答】解：A、・・Z=3,b=3,c=4,

••〃=b,

・・・△ABC是等腰三角形；

B、Vtz：b：c=2：3：4

•・aKbWc,

...△4BC不是等腰三角形；

C、VZB=50°,/C=80°,

AZA=1800-ZB-ZC=50°,

：.ZA=ZB,

：.AC^BC,

...△ABC是等腰三角形；

D、NB：ZC=1：1：2,

'：ZA=ZB,

：.AC=BC,

...△ABC是等腰三角形.

故选：B.

3.（3分）如图，/XABC的面积为9cm2,BP平分N4BC,AP_LBP于P,连接PC,则△P8C的面积为（）

【解答】解：延长AP交BC于E,

：BP平分NABC,

:.NABP=/EBP,

'：AP±BP,

；.NAPB=NEPB=90°,

，ZABP=ZEBP

在△A8P和aEBP中，.PB=PB

ZAPB=ZEPB

:.△ABP/AEBP(ASA),

：.AP=PE,

:・SAABP=SAEBP，SAACP—5A£CP，

S^PBC=—S^ABC=—X9c〃P=4.5c加2,

22

故选：c.

4.（3分）如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ,于点R,PSJ_AC于点S,PR=PS,则下列结论：①点

P在NA的角平分线上；@AS=AR-,©QP//AR；④△BRPmAQSP.正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：:△ABC是等边三角形，PRLAB,PSLAC,且PR=PS,

在/A的平分线上，故①正确；

"：PA=PA,PS=PR,

：.Rt^APR^Rt/\APS（HL）,

：.AS=AR,故②正确；

'：AQ=PQ,

...NPQC=2/用C=60°=ABAC,

：.PQ//AR,故③正确；

由③得，△PQC是等边三角形，

.,.△PQS丝△PCS,

又由②可知，④△BRP四△QSP,故④也正确，

•.•①②③④都正确，

故选：D.

5.（3分）已知△ABC的三边a,b,c满足（a-4）?+招工+匕-4|=0,那么△ABC是（）

A.不等边三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.不能判断

【解答】解：（«-4）2+Vb-4+k'-4|—0,

-4=0,b-4=0,c-4=0,

.•・a=b=c=4,

：.^ABC的形状是等边三角形,

故选：B.

6.（3分）如图，在等腰△ABC中，AB=4C,点E为AC的中点，且CO=CE.若/4=60°,EF=4cm,则。尸的

长为（）

C.SentD.6cm

【解答】解：•；AB=AC,NA=60°,

...△ABC为等边三角形，

AZACB=60°,

"：CD=CE,

.•./皿）=/£>=▲乙4。8=30°,

2

AZAEF=30°,

：.ZAFE=\SO°-ZA-ZAEF=90°,

"：EF^4cm,

・••设AF=x,则AE=2x,

...由勾股定理得：7+42=47,

・Y--4

行

：.AF=-^,AE=-L,

V3V3

：.BF=AB-AF=2AE-4尸=基,

V3

VZD=30°,

：.BD=2BF=2^,

V3

：.DF2^BD2-8穴=38户,

:.DF=4^F=M义阜=V2.

V3

故选：A.

7.（3分）如图，BE=CF,AELBC,DFVBC,要根据“HL”证明RtAAB£^RtADCF,则还要添加一个条件是

D

A.AB=DCB.ZA=Z£>C.NB=NCD.AE=BF

【解答】解：条件是AB=CQ,

理由是：'：AELBC,DFVBC,

.•./CF£)=/AEB=90°,

在RtA/lBE和RtADCF中，

(AB=CD,

1BE=CF'

ARtAABE^RtADCF(HL),

故选：A.

8.(3分)如图，将一副学生用三角板(一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形)的直角顶

点重合并如图叠放，当NDEB=m°,则NAOC=()

A.30°B.Cm-15)°C.(/M+15)°D.in

【解答】解：,：NDEB=m°,

:./AEC=NDEB=m°,

VZA+ZAEC=ZC+ZAOC,ZC=45°,ZA=30°,

.,.30°+m°=45°+AAOC,

：.ZAOC=(m-15)°,

故选：B.

9.(3分)如图，在aABC中，分别以点A和点3为圆心，以相同的长(大于iAB)为半径作弧，两弧相交于点M

2

和点N,作直线MN交AB于点。，交AC于点E,连接CD.已知△€1£>£的面积比△CCB的面积小5,则△?!£)£的

面积为()

A.5B.4C.3D.2

【解答】解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，

...点。是AB的中点，

:・SAADC=SABDC，

“：SABDC-S^CDE—5,

S&ADC-SACD£-5,即AAD£的面积为5,

故选：A.

10.（3分）如图，AO是aABC的角平分线，DFLAB于点、F,且DE=DG,SAADG=24,SAAED=18,则△QEF的

面积为（）

【解答】解：过点。作OHLAC于”，

是△ABC的角平分线，DFVAB,DHYAC,

：.DH=DF,

在RtADEF和RtADG//中，

[DF=DH,

lDE=DG，

/.RtAD£F^RtADG/7（HL）,

.♦.△。曰5'的面积=^\。6"的面积，

设△£>•的面积=ZkOGH的面积=S,

同理可证，RtAADF^RtAAD//,

，△4。尸的面积=△AOH的面积,

A24-S=18+S,

解得，5=3,

故选：B.

B

11.（3分）如图,在△A8C中，NB=90°,C是80上一点，BC=10,N4QB=45°,ZACB=60°,则CD长

10A/3-10c.10-35/3D.10亚-10

【解答】解：：在△4BC中，/8=90°,/ACB=60°,

AZCAB=30°，

：.BC=^AC,

2

：.AC=2BC=20,

••AB'JAC?-BC2

"：ZADB=45Q,

：.ZDAB=45Q,

：.ZDAB=ZADB,

:.BD=AB=\O43,

:.CD=BD-BC=\QM-10,

故选：B.

12.（3分）如图，在△ABC中，/4CB=90°,NBAC=2/B,AD平分N84C,交BC于点D,CELAD,DFA.

AB,垂足分别为E,F,则下列结论中：®ZDCE=ZB；②NACE=60°；③8C-4£>=OF；④直线。尸垂直平分

线段A8,正确的有（）

c

D

月FB

A・1个B・2个C.3个D.4个

【解答】解：VZACB=90°,/BAC=2NB,

：.ZB=30°,ZBAC=60Q,

•・・AO平分N84C,

：.ZCAD=ZBAD=30°,

〈CELAD,

：.ZAEC=90°,

AZACE=90°-ZCAD=60°,故②正确；

VZACB=90°,

：.ZDCE=30°=NB,故①正确；

VZDAB=ZB=30°,

：.AD=BD,

\*DF±ABf

:.CD=DF,

：.BC-AD=DF,故③正确；

•:AD=BD,DF,LAB,

：.AF=BF,

：.直线DF垂直平分线段AB,故④正确.

故选：D.

二.填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）

13.（4分）如图，在△A8C中，AB=AC,NA=60°,8E_L4c于E,延长BC到。，使。=CE,连接OE,若4

A3C的周长是24,BE=a,则△3DE的周长是3

A

/\E

BCD

【解答】解:•.•在△ABC中，AB=AC,ZA=60°,

.".△ABC是等边三角形，

△48C的周长是24,

：.AB=AC=BC=S,

'：BELAC^E,

：.CE=^AC=4,/EBC=£ABC=30°,

22

，8E=a=4«,

"：CD=CE,

：.ZD=ZCED,

ZACB是丛CDE的一个外角，

N£>+/CE£)=/ACB=60°

AZD=30°,

ZD=NEBC,

：.BE=DE=a=4g

.♦.△BED周长是£)E+BE+B£>=a+a+(8+4)=2a+12=8b+12.

故答案为：8伤12.

14.(4分)已知：如图，AB=CD,DELACE,BF_LAC于F,S.DE=BF,ZD=60°,则N4=30°.

【解答】解：在RtZiAB尸与RtZXCOE中，研二CD

BF=DEj

ARtA/lBF^RtACDE（HL）,

：.ZB=ZD

ZD=60°

/B=60°

ZA=90°-60°=30°

故答案为30°

15.（4分）命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是一边上的中线等于这边的一半的三角形

是直角三角形.它是真命题（填“真”或“假”）

【解答】解：命题“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”的逆命题是一边上的中线等于这边的一半的三角形是

直角三角形，为真命题，

故答案为：一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形；真.

16.（4分）如图，在△ABC中，AB=13,AC=12,BC=5,按以下步骤作图：

①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点/、N；②分别以点/、N为圆心，以大于工MN的长为

2

半径作弧，两弧相交于点E;③作射线AE：④以同样的方法作射线2F,AE交2F于点0,连接0C,则0C=_2

由作图可知：点。是△ABC是内心，

：.O1=OG=OK,

：A8=13,AC^12,8C=5,

：.AB2=AC2+BC1,

AZACB=90°,

ZOGC=ZOKC=NGCK=90°,

四边形OGCK是矩形，

'：OG=OK,

四边形OGCK是正方形，

'：^AH-OI+--AC•OG+--BC'OK=—-AC-BC,

2222

；.0K=2,

；.0C=2后,

故答案为2M.

三.解答题（共10小题，满分68分）

17.（5分）如图，AO是等边△力BC的中线，AE=AD,求NEOC的度数.

【解答】解：是等边△ABC的中线，

：.AD±BC,ZBAD=ZCAD=^ZBAC=^X60°=30°,

22

AZADC=90a,

'：AD=AE,

NADE=NAED=1&0°一/CAD=75。,

2

AZEDC=ZADC-ZADE=90°-75°=15°.

18.（6分）如图，已知等腰△ABC中，AB=AC,ZA<90°,CO是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，CD与

BE交于点P.

（1）当/4=44°时，求/BP。的度数；

（2）设NA=x°,NEPC=y°,请用含x的代数式表示y,并说明理由.

【解答】解：（1）'：AB=AC,NA=44°,

：.ZABC=ZACB=（180-44）04-2=68°,

'JCDX.AB,

：.NBDC=90°,

；BE平分乙ABC,

:.NABE=NCBE=34°,

AZBPD=90°-34°=56°；

(2)：/A=x°，

：.ZABC=(180-x)°+2=(90-A)°,

2

由(1)可得：ZABP=^ZABC=(45-三)°,ZBDC=90°,

24

AZEPC=y°=NBPD=90°-(45-三)°=(45+三)°,

44

即y与x的关系式为y=45+三.

4

19.(6分)如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=36°,B4平分/ABC交AC于点O,过点A作AE〃BC,交BD

的延长线于点E.

(1)求NAOB的度数；

(2)求证：是等腰三角形.

【解答】(1)解：'：AB^AC,/BAC=36°,

.•.N4BC=/C=2(180°-ZBAC)=72°,

2

平分NABC,

AZDBC=-^ZABC=36°,

2

AZADB=ZC+ZDBC=120+36°=108°；

(2)证明："AE//BC,

.•./EAC=/C=72°,

VZC=72°,NOBC=36°,

：.ZADE=ZCDB=180°-72°-36°=72°,

：.ZEAD=ZADE,

：.AE=DE,

.♦.△AOE是等腰三角形.

D

BC

20.(6分)如图，在△ABC中，AB=ACfM,N分别是A5,AC边上的点，并且MN〃5C.

(1)ZiAMN是否是等腰三角形？说明理由；

(2)点P是MN上的一点，并且8尸平分NA8C,CP平分NAC8.

①求证：△3PM是等腰三角形；

②若△ABC的周长为mBC=b(a>2b),求△AMN的周长(用含m匕的式子表示).

【解答】(1)解：△AMN是是等腰三角形,

理由如下：

VAB=AC,

・•・ZABC=NAC8,

，：MN〃BC,

：.ZAMN=ZABC,ZANM=ZACB,

：.ZAMN=/ANM,

：.AM=AN,

•••△AMN是等腰三角形；

(2)①证明：

平分NABC,

，NPBM=NPBC,

・：MN〃BC,

：.ZMPB=ZPBC

：./PBM=/MPB,

：.MB=MP,

.♦.△BPM是等腰三角形；

②由①知MB=MP,

同理可得：NC=NP,

：./\AMN的周长=AM+MP+NP+AN=AM+MB+NC+AN=A8+AC,

「△ABC的周长为a,BC=b,

AB+AC+b=a,

.'.AB+AC=a-b

△AMN的周长=a-b.

21.(6分)如图，在等边三角形ABC中，点。为BC边上一点，DE//AB,过。作。£LOE交48于点凡且/

EFD=60°,CN平分NACB,CN分别交DE、EF于M、N两点.

(1)求证：ZkCEN丝△EQF；

(2)求证：点N为线段EF中点.

【解答】证明：（1）;△ABC是等边三角形,

：.ZA=ZB=ZACB=60°,

".'DE//AB,

.•./£>EC=/A=60°,NEDC=NB=60°,

：./\DEC是等边三角形，

：.EC=ED=CD,

：CN平分NACB,

：.ZECN=ZDCN=30°,

"：EF±AC,

:.NFED=NECN=30°,

在△£■£）厂和△CEN中，

"ZFED=ZECN

<ED=EC，

ZEDF=ZNEC=90°

：.2EDF也丛CEN(AS4)；

(2)'：^EDF^/XCEN,

：.EN=DF,

VZFED=30°,NEDF=9Q°,

：.EF=2DF,

：.EF=2EN,

...点N为线段EF中点.

22.(7分)如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB,8c于点O,E,AC的垂直平分线分别交AC,8C于点

F,G,连接AE,AG.

(1)若aAEG的周长为10,求线段8C的长；

(2)若/BAC=104°,求NEAG的度数.

【解答】解：(1)垂直平分A3,G/垂直平分4C,

：.EA=EB,GA=GC,

「△AEG的周长为10,

：.AE+EG+AG=W,

:.BC=BE+EG+GC=AE+EG+GC=10；

(2)；NB4C=104°,

AZB+ZC=180°-104°=76°,

,:EA=EB,GA=GC,

：.4EAB=4B,/GAC=/C,

/.ZEAB+ZGAC^ZB+ZC=76°,

.\ZEAG=ZBAC-(ZEAB+ZGAC)=104°-76°=28°.

23.(7分)如图，△ABC中，ZACB=90°,AQ平分NBAC,DELABE.

(1)若N£>EC=25°,求的度数；

(2)求证：直线AQ是线段CE的垂直平分线.

【解答】解：（1）,.•/ACB=90°,A。平分/BAC,DE1.AB,

：.DE=DC,

：.ZDEC=ZDCE=25°,

ZBDE=50°,

又；DELAB,

中，ZB=90°-NBDE=90°-50°=40°；

(2)'.,DEA.AB,

：.ZAED=900-ZACB,

又,：DE=DC,AD=AD,

：.^\AED^/\ACD(HL),

••AE—AC>

.•.点D在CE的垂直平分线上，点A在CE的垂直平分线上,

直线AD是线段CE的垂直平分线.

24.(8分)教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内

3.角平分线

回忆

我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角

的对称轴，如图1354,OC是乙的平分线，P是0c上任一

点，作PZ）1CU,PE1O5垂足分别为点。和点E,将乙4。3沿OC

对折，我们发现PD与PE完全重合。由此即有：

角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离

相等•

已知：如图1354,OC是乙408的平分线，点尸是OC上任一

点，作PZ>1Q4,PE1O5,垂足分别为点普和点E。

求证：PD=PE

（至⑥）图中有两个直角三角形PD。和PE。只要证明这两个

三角形全等，便可证得尸。=PE。

96第13童全等三角形

容.

定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程.

定理应用：

如图②，△ABC的周长是12,80、C。分别平分NABC和NACB,0DLBC于■点、D,若。0=3,则△ABC的面积

为18.

【解答］定理证明：；0C是NA0B的角平分线,

二ZAOP=/BOP,

'JPDLOA,PELOB,

：.PE=PD,

在△(?£：「和△OOP中,

rZBOC=ZAOC

ZPEO=ZPDO>