大学物理简明教程课后习题加答案

大学物理简明教程习题解答

习题一

drdrdv你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？

解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐

1-1I*I与/厂有无不同？d/d，右手不后1?Id八

标系中，有尸=疝+兄

dv

_drdxv4y二

dt有无不同?其不同在哪里?试举例说明.v=——二—iH---1

dtd/d/

22

解：（1）是位移的模，是位矢的模的增量,即__d?尸_dx-dy-

Q=——r1---J

阳=卜2-。|,加=1曰-同；d»T=dz2dz2T

故它们的模即为

drdr小

d，是速度的模，即d/="|=出.

(2)

dr

d/只是速度在径向上的分量.

drdr.dr

八人—=—r+/—

•.•有r=/7（式中,叫做单位矢），则d/AtAt而前一种方法的错误可能有两点,其一是概念上的错误，即误把速

dr度、加速度定义作

drd2r

式中d/就是速度径向上的分量,V=一a=­r

drdr2

drd2r

如题—---

1-1图所示其二，可能是将2

d/d/误作速度与加速度的模。在1T题中

dr

已说明df不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样,

d2r

也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分

q正双业

（3）3"表示加速度的模，即山，山是加速度a在切向

。或者概括性地说，前一种方法只考

上的分量.

虑了位矢尸芒径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位

•.•有n=v六『表轨道节线方向单位矢），所以

矢尸及速度日的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。

dvdv_df

——=—r+v——1-3-质点在平面上运动，运动方程为

d/dtdt

1

dv

X=3，+5,九2八+3"4.

式中出就是加速度的切向分量.

式中,以s计，》,丁以m计.（1）以时间,为变量，写出质点位置

dr.df

矢量的表示式；（2）求出f=ls时刻和'=2s时刻的位置矢量，计

（由d/的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论）算这1秒内质点的位移；（3）计算t=0s时刻到t=4s时刻内的平

1-2设质点的运动方程为x=x（/）,y=y（/）,在计算质点的速均速度；（4）求出质点速度矢量表示式，计算,=4s时质点的速度；

_______dr（5）计算'=0s至〃=4s内质点的平均加速度；（6）求出质点加速

度和加速度时，有人先求出LJx?+丁2,然后根据丫=（1/,

度矢量的表示式，计算，=4s时质点的加速度（清把位置矢量、位

移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角

d2r

坐标系中的矢量式）.

及。=<1/2而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再

f=（3t+5）i+（-/2+3/-4）；

合成求得结果，即

解：（1）2m

⑵将/=1/=2代入上式即有

^=87-0.5；m

^2-11.7+4；m_/%_(〃2+$2严％

叫=T=一—

△产=G—号=37+4.5,m或

%=5j_4,羽=17：+16j

(3),/将“船再对/求导，即得船的加速度

§d/jds

船由vs+人船

=Arr4-r0_12z+20/1dusdt..~o

V=——3z+5ym-s-Q=F=-----------2%=------------2----------V0

A/4-04d/ss

dr-1/22

V=——=3z+(/+3)/m-s肥

dt(-S+-7M2

(4)_________s_几%

23

则V4=37+7；M.S-'ss

2

%=3：+3亍,%=37+7/1-5质点沿l轴运动，其加速度和位置的关系为0=2+6、的

(5)-r

单位为m・s",X的单位为m.质点在x=o处，速度为

屋丝=上%=3

…Vms-2

Ar4410m，试求质点在任何坐标处的速度值.

_dv-2dvdvdxdv

a二——Mm•sa=—=-------=v—

(6)At解：Vdtdxd/dx

这说明该点只有方向的加速度，且为恒量。2

N分离变量：“IN=adx=(2+6x)dx

1-4在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处,—v2=2x+2x3+c

如题―4图所示.当人以%(m・S”)的速率收绳时，试求船运动两边积分得2

的速度和加速度的大小.由题知，x=0时，％=l°,.・.c=50

.v=2vx3+x+25m-s-1

1-6已知一质点作直线运动，其加速度为0=4+3/m-s,开

始运动时，x=5m：,v=0,求该质点在f=10s时的速度和位

置.

dv..

a=——=4+3/

解：：dr

分圈变量，得dv=(4+3f)df

图1-4

.3

解：设人到船之间绳的长度为/,此时绳与水面成°角，由图可v=4/+-/2+G

积分，得

知

2=h2+§2由题知，/=0%=0.C|=0

将上式对时间,求导，得.3

v=4t+-t2

故2

dx3

u=—=4/+-Z2

又因为dt2

3

dx=(4/+-/2)d/

分圈变量，

c213

x=2//+q

积分得

根据速度的定义,

=5,.._2=5

d/ds由题知t-二0,与

「，”高

x=2t2+-/3+5

即故2

#/d//%所以/=10s时

船dtsdts0cos。

329-1,

v10=4x10+2xl0=190m-s

.•.当6时，a=b

,1,

x,=2xl02+xlO3+5=705m1-9以初速度％=2om-s”抛出一小球，抛出方向与水平面成幔

10

260°的夹角,

1-7一质点沿半径为1m的圆周运动，运动方程为6=2+3〃，

求：（1）球轨道最高点的曲率半径；（2）落地处的曲率半径&2.

8式中以弧度计，/以秒计，求：（1）‘=2s时，质点的切向（提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系）

和法向加速度；（2）当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移

是多少？解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示.

0哼—那⑻

解：

-2

⑴/=2s时,aT=R(3=1x18x2=36m-s

222-2

an-Reolx(9x2)=1296m-s

题1-9图

tan450=2=l(1)在最高点，

（）当加速度方向与半径成角时，有a

245"nv,=vx=v0cos60°

%=g=l°m『

即R”—R0亦即(9r)2=18/

3=2

则解得-9于是角位移为

又「p\

2

6=2+3/=2+3x-=2.67radV.2(20xcos600)2

9p\=—=-----------------

%10

,1L2

VQ/------ht=10m

1-8质点沿半径为火的圆周按5=2的规律运动，式中

⑵在落地点,

s为质点离圆周上某点的弧长，”。，力都是常量，求：（D，时刻质

v2=vo=20m・s，

点的加速度；（2）/为何值时，加速度在数值上等于

%、=gxcos60°

ds而

v=一=%.切

解：⑴dt

A型)；=80m

dvz

a=—=.a*luxcoso1r

r

dt1-10飞轮半径为0.4m,自静止启动，其角加速度为£=0.2

rad-s",求Z=2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速

RR度和合加速度.

1

(…/)4解：当'=2s时，co—[3t—0.2x2=0.4rad-s

a=如i归+

小则y=尺。=0.4x0.4=0.16m-s1

则

加速度与半径的夹角为22-2

afl=Reo—0.4x(0.4)=0.064m.s

=」^-2

°=arctan2ar=R/3=0.4x0.2=0.08m.s

%(%一4)a=也+"=J(0.064)2+(o08)2=,-2

（2）由题意应有0102ms

〃h咐1-11一船以速率匕=30km・h'沿直线向东行驶，另一小艇在其前

)R2

方以速率匕=40km•h1

即沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇匕看船的速度

又为何？

b~=b2，=(/-4)4=0

解：（1）大船看小艇，则有匕1=匕一匕，依题意作速度矢量图

如题1T3图（a）

a35

(a*dt——2+~x2=-m-s-1

4

adt=^x27

ym-s-1

V「yo+8

(b)

题1-11图于是质点在2s时的速度

-1

v2I=#；+丫；二50km-h一5；7T

由图可知v=——i——/

48

0=arctan—=arctan—=36.87°⑵

4

方向北偏西匕

22

(2)小船看大船，则有唧2=%-”2,依题意作出速度矢量图如题

13一1一7-

1-13图(b),同上法，得=(-2x2+—x—x4)i+—(——)x4/

%=50km-h-128216

13；7二

方向南偏东36.87。一i——jm

习题二48

2-3质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力五(%为常

2-1•个质量为尸的质点，在光滑的固定斜面(倾角为上以

数)作用，7=0时质点的速度为%,证明(1)/时刻的速度为丫=

初速度%运动，％的方向与斜面底边的水平线”8平行，如图所

~(一)1

示，求这质点的运动轨道.V°e；(2)由。到Z的时间内经过的距离为

解：物体置于斜面上受到重力〃罟，斜面支持力N.建立坐标：取

吗小%(马

%方向为X轴，平行斜面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-2.x=(k)[i-em]；(3)停止运动前经过的距离为k

(4)证明当'=上时速度减至％的e,式中©为质点的质量.

-kvdv

题2T图答：⑴mdt

分离变量，得

X方向:工=0

dv-kdt

①

vm

y方向:F、=mgsina=mav

一kdt

②心=f

J'oVm

匕,=0即

t=o时y=0

1v1—_kt_

y=1gsin«/2In—=Ine

%

由①、②式消去f,得v=voem

1•2⑵

y=—7gsinax

2%

X==卜df={小'山=外(1_/)

k

2-2质量为16kg的质点在平面内运动，受一恒力作用，力

(3)质点停止运动时速度为零，即t-8,

x==

的分量为=6N,=-iN,当z=o时，yo,匕

x'=[vQe~^dt="出

V

-2m•sl,y=o.求故有小k

当f=2s时质点的(1)位矢：(2)速度.m

入63(4)当t二k时，其速度为

2

aY=—=—=—m-s

加-*.sv

解:168mk0

v=voe=voe=—

2e

ay=^-=—m-s-

m16

⑴即速度减至％的e.

2-4一质量为m的质点以与地的仰角8=30。的初速%从地面抛

出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量.b=（。_4）=0得6

（2）子弹所受的冲量

I-1（。一忖山=at一;b/

a

t——

将b代入，得

在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小

相同，与轨道相切斜向下，（3）由动量定理可求得子弹的质量

而抛物线具有对y轴对称性，故末速度与X轴夹角亦为30°,则

动量的增量为%26%

△万=

mv-mv02-7设F合=7/—6JN.（]）当一质点从原点运动到

01

由矢量图知，动量增量大小为।,方向竖直向下.尸=-3i+4]+16厄11时，求户所作的功.⑵如果质点到r处

2-5作用在质量为10kg的物体上的力为/=（10+2/）'N,式时需0.6s,试求平均功率.（3）如果质点的质量为1kg,试求动能

中/的单位是s,（1）求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及的变化.

力给予物体的冲量.（2）为了使这力的冲量为200N・s,该力应在解：（1）由题知，牛为恒力，

这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度

-67l.s，的物体,回答这两个问题.

n47=F-r=（7i-6y）-（-3z+4/+16左）

解：（）若物体原来静止，则

1=-21-24=-45J

酝]=[Fdt=£(10+2/)Fd/=56kg-m-s-7

万Z45”

沿X轴正

向，⑵△/0.6

一函-

△A%=——L=5.6m-s-IVi⑶由动能定理，/=，=-45J

m

2-8如题2-18图所示，一物体质量为2kg,以初速度％=3m・s'

=Apj=56kgm-s-7

从斜面力点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N,到达6点后压缩弹

若物体原来具有一6m-s”初速，则簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能

回到的高度.

瓦=

-n?v0,p=w（-v0+f—d/）=-/77v0+I*Fdt解：取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原

Am由于是长处为弹性势能零点。则由功能原理，有

酝2=P-Po=[品/=取]

-frs=+/Mg5sin37°

同理，A%=AV]I=I12.

2]mv+mgssin37°-/.s

这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量,

也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量（亦即冲量）就一

定相同，这就是动量定理.

（2）同上理，两种情况中的作用时间相同，即

式中S=4.8+0.2=5m,X=0.2m,再代入有关数据，解

1=（（10+2/）d/=10/+r2

＜得

亦即t2+10/-200=0

解得7=10s,/=20s舍去）

-1

2-6•颗子弹由枪口射出时速率为％m・s,当子弹在枪筒内被

加速时，它所受的合力为尸=（"-b/）N（凡6为常数），其中,

以秒为单位：（1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子

弹走完枪筒全长所需时间；（2）求子弹所受的冲量.（3）求子弹的质

量.再次运用功能原理，求木块弹回的高度加

解：（1）由题意，子弹到枪口时，有

。--2

-frs'=mgs，sin37Ax

1如一恒力f作用在物体上,求秒

代入有关数据，得'-LflU,"='+6jm-s1=5jN3

则木块弹回高度后，(1)物体动量的变化：(2)相对z轴向动量的变化.

-=s'sin37°=0.84mAp=[九f=/5yd/=15/kgm-s-1

2-9•个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试解:(1)

证碰后两小球的运动方向互相垂直.

X=X。+%J=4+3=7

证：两小球碰撞过程中，机械能守恒，有⑵解㈠

121212

mvat~j

~O=5m匕+—wv—VQTZH——6x3H—x—x3"-25.5

2)223

即Vo=丫；+Er=1ij

即rj=4z2+25.5

①匕=V0x=1

v=v+Q/=6+—x3=ll

yvO7v3

即v^l+6jy2=i+uj

乙=弓xmvx=4/x3(z+6j)=12k

题2-9图(a)题2-9图(b)L=rxmv=(7f+25.5y)x3(F+11J)=154.5斤

又碰撞过程中，动量守恒，即有222

mv=mv+mv

0x221