专题1-3直线与圆的方程20类题型汇总（原卷版）

专题1-3直线与圆的方程20类题型汇总TOC\o"1-3"\n\h\z\u知识点梳理模块一：直线方程【题型1】求直线方程【题型2】由两直线的平行垂直关系求参数（易错）【题型3】三角形的三线问题【题型4】直线与已知线段相交求斜率范围【题型5】对称相关问题汇总模块二直线与圆【题型6】求圆的方程【题型7】圆的切线性质以及求切线方程【题型8】已知直线方程求弦长和已知弦长求直线方程【题型9】直线与圆的位置关系【题型10】圆与圆的位置关系：公切线，公共弦【题型11】直线与圆的综合问题【题型12】与基本不等式结合，乘“1”法求最值【题型13】阿波罗尼斯圆【题型14】直线与圆的双切线模型模块三：直线与圆的最值问题【题型15】定点到含参直线距离最短问题【题型16】过定点的弦长最短【题型17】点圆型最值【题型18】直线与圆上的点距离最值【题型19】由直线与圆心的距离求参数的范围【题型20】三角换元求最值知识点梳理一、直线的5种方程斜截式一般式方程l1:y=k1x+b1

l2:y=k2x+b2相交k1≠k2（当时，记为）垂直k1·k2=-1（当时，记为）平行k1=k2且b1≠b2或（当时，记为）重合k1=k2且b1=b2A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)（当时，记为）二、两点关于某直线对称三、其它公式两点距离公式：斜率的2个公式：点到直线距离公式：四、阿波罗尼斯圆定义：已知平面上两点A，B，则所有满足，的动点P的轨迹是一个以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆模块一：直线方程【题型1】求直线方程（2023上·广东深圳·高二翠园中学校考期中）过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为（2023上·浙江嘉兴·高二统考期末）已知直线与直线和的交点分别为，若点是线段的中点，则直线的方程为.（2023上·江苏苏州·高二统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形满足.(1)求直线的方程；(2)求点的坐标.【题型2】由两直线的平行垂直关系求参数（易错）若直线和直线平行，则的值为（

）A． B． C．或 D．（多选）已知直线，直线，则下列命题正确的有（

）A．直线恒过点B．直线的方向向量为，则C．若，则D．若，则【题型3】三角形的三线问题（2023上·广东广州·高二统考期末）（多选）△ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是（

）A．边BC与直线平行B．边BC上的高所在的直线的方程为C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为D．过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5)【题型4】直线与已知线段相交求斜率范围（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．已知点，.若直线与线段AB恒相交，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．【题型5】对称相关问题汇总直线l:x+2y-1=0关于点(1,-1)对称的直线l'的方程为（

A．2x-y-5=0 B．x+2y-3=0 C．x+2y+3=0 D．2x-y-1=0点P2,0关于直线l:x-y+3=0的对称点Q的坐标为（

A．-3,5 B．-1,-4 C．4,1 D．2,3直线2x+3y+4=0关于y轴对称的直线方程为（

）A．2x+3y-4=0 B．2x-3y+4=0C．2x-3y-4=0 D．3x+2y-4=0一条光线从点A2,4射出，倾斜角为60∘，遇x轴后反射，则反射光线的直线方程为（A．3x-y+4-23=0C．3x+y+4-23=0唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B3,4，若将军从点A-2,0处出发，河岸线所在直线方程为y=x，则“将军饮马”的最短总路程为（

A．5 B．35 C．4 D．点P(2,0)关于直线l:x+y+1=0的对称点Q的坐标为（

）A．(-1,-3) B．(-1,-4) C．(4,1) D．(2,3)求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（

）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0一条沿直线传播的光线经过点P-4,8和Q-3,6，然后被直线y=x-3反射，则反射光线所在的直线方程为（A．x+2y-3=0 B．2x+y-15=0C．x-2y-5=0 D．x+2y+3=0“将军饮马”问题，在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(-2,0)，若将军从山脚下的点A(3,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=4，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A．1453 B．37 C．1353 D已知椭圆C：（），过点且方向向量为的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（

）A． B． C． D．（2023上·湖北黄冈·高二统考期末）已知直线，，且.(1)求与之间的距离；(2)一束光线从出发经反射后平行于轴射出，求入射光线所在的直线方程.模块二直线与圆【题型6】求圆的方程矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，所在直线的方程为.(1)求边所在直线的方程；(2)求经过，，三点的圆的方程.（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知：圆过点，，，是直线上的任意一点，直线与圆交于、两点.（1）求圆的方程；（2）求的最小值.（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知，．(1)求线段的垂直平分线的直线方程；(2)若一圆的圆心在直线上，且经过点，求该圆的方程．（2023上·福建福州·高二校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，.(1)求直线BC的方程；(2)求的外接圆M的方程.（2023上·江苏南京·高二统考期中）在平面直角坐标系中，已知圆C的圆心在上，且圆C与x轴相切，直线，．(1)若直线与圆C相切，求a的值；(2)若直线与圆C相交于A，B两点，将圆C分成的两段弧的弧长之比为，且，求圆C的方程．（2023上·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期末）已知圆的圆心坐标为，且圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，点为的中点.(1)求圆的标准方程；(2)求的最大值.已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是．已知直线与圆交于A，B两点，.(1)求实数a的值；(2)若点P在圆C上运动，O为坐标原点，动点M满足，求动点M的轨迹方程.已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.(1)求圆的方程；(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.【题型7】圆的切线性质以及求切线方程（多选）过点作圆：的切线，切点分别为，则下列说法正确的是（

）A．B．四边形的外接圆方程为C．直线方程为D．三角形的面积为（2023上·高二华中师大一附中期末）（多选）设圆，直线为上的动点，过点作圆的两条切线，切点为为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（

）A．的取值范围为B．四边形的最大值为C．满足的点有两个D．的面积最大值为（2023上·江苏连云港·高二统考期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)过点作圆的切线，求该切线的方程.【题型8】已知直线方程求弦长和已知弦长求直线方程（2023上·广东深圳·高二校考期末）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．(1)求BC边上的中线AD的所在直线方程；(2)求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长．（2023上·江苏徐州·高二统考期末）已知圆，圆.(1)判断与的位置关系；(2)若过点的直线被、截得的弦长之比为，求直线的方程.（2023上·福建龙岩·高二统考期末）已知圆的圆心在轴上，且经过和两点．(1)求圆的方程；(2)过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的斜率．【题型9】直线与圆的位置关系（2023上·广东深圳·高二深圳大学附属中学校考期末）圆上到直线的距离为1的点有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个（2023上·广东广州·高二统考期末）（多选）已知点在圆：上，直线，则（

）A．直线与圆相交 B．直线与圆相离C．点到直线距离最大值为 D．点到直线距离最小值为（2023上·广东惠州·高二统考期末）已知圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，请写出满足上述条件的一条直线方程.（写出一个正确答案即可）（2023上·湖北黄冈·高二统考期末）已知圆被直线所截得的两段圆弧的弧长之比为，且圆上恰有三个不同的点到直线的距离为，则直线被圆所截得的弦长为.（2023·湖南·衡阳市八中高二期末）已知圆的圆心为，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线与交于两点，，则实数．（2023上·浙江台州·高二期末）从①②这两个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答该题．①经过点；②圆心C在直线上．已知圆心为C的圆经过两点，且___________．(1)求该圆的标准方程；(2)若过点的直线与该圆有交点，求直线的斜率的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．已知圆心为，且经过点的圆.(1)求此圆C的方程；(2)直线与圆相交于、两点.若为等边三角形，求直线的方程.【题型10】圆与圆的位置关系：公切线，公共弦（2023上·浙江台州·高二期末）已知圆，圆，则两圆公共弦所在直线的方程为．设圆，圆，则圆，的公切线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条（长沙雅礼中学月考）（多选）圆和圆的交点为A，B，则有（

）A．公共弦AB所在直线方程为B．公共弦AB的长为C．线段AB中垂线方程为D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为圆：的圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以P到直线AB的距离的最大值为，圆与圆的公共弦AB的长为，故B,D错误（2023上·江苏苏州·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知圆，写出满足条件“过点且与圆相外切”的一个圆的标准方程为.【题型11】直线与圆的综合问题（2023上·广东深圳·高二校考期末）已知圆C：，直线l：，则下列说法正确的是（

）A．当时，直线的倾斜角为B．当时，直线与圆相交所得弦长为C．圆与圆：相外切D．当，时，过直线上任意一点作圆的两条切线、，切点分别为、，则弦长度的最小值为（2023上·江苏连云港·高二统考期末）（多选）设为实数，若方程表示圆，则（

）A．B．该圆必过定点C．若直线被该圆截得的弦长为2，则或D．当时，该圆上的点到直线的距离的最小值为在平面直角坐标系中，已知圆，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，已知直线关于直线对称，则（

）A． B． C．2 D．【题型12】与基本不等式结合，乘“1”法求最值（2023上·广东深圳·高二统考期末）若直线（，）平分圆，则的最小值是（

）A．2 B．5 C． D．若直线（，）平分圆，则的最小值是________【题型13】阿波罗尼斯圆（2023上·广东惠州·高二统考期末）已知，，为平面内的一个动点，且满足，求点的轨迹方程.（2023上·广东广州·高二统考期末）数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，动点满足，点的轨迹围成区域的面积为，面积的最大值为.两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（

）A． B． C． D．已知平面内两定点，，点满足，则动点的轨迹方程为；若平面内两动点，（）满足，则的最大值为.（2023上·河北邢台·高二统考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，，，P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为；若点Q为抛物线上的动点，抛物线C的焦点为F，则的最小值为．已知N为抛物线上的任意一点，M为圆上的一点，，则的最小值为．【题型14】直线与圆的双切线模型已知直线与圆，过直线上的任意一点作圆的切线，切点分别为，则的最大值为（

）A． B． C． D．1（2023四川外国语附属学校月考）已知是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，当直线AB与l平行时，（

）A． B． C． D．4过直线上的点P作圆的两条切线，，当直线，关于直线对称时，两切点间的距离为（

）A．1 B．2 C． D．（多选）已知圆，过直线上一点P作圆O的两条切线，切点分别为，则（

）A．若点，则直线AB的方程为B．面积的最小值为C．直线AB过定点D．以线段AB为直径的圆可能不经过点O21．（2023上·广东佛山·高二佛山市南海区九江中学校考阶段练习）（多选）已知圆：，过直线：上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则（

）A．若点，则直线的方程为B．面积的最小值为C．直线过定点D．以线段为直径的圆可能不经过点22．（2023上·河南·高二漯河高中校联考阶段练习）（多选）已知圆O：，过点M作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且直线恒过定点，则（

）A．点M的轨迹方程为B．的最小值为C．圆O上的点到直线AB的距离的最大值为D．已知直线l：x+y-6=0，过直线上一点P作圆x2+y2=4的切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB面积的最小值为，此时四边形PAOB外接圆的方程为．41．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知直线l：与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，则直线CD恒过定点坐标为；记M是CD的中点，则的最小值为.模块三：直线与圆的最值问题【题型15】定点到含参直线距离最短问题点到直线距离的最大值为A．1 B． C． D．2点M2,1到直线l:2λ+1x+A．355 B．5 C．3 D【题型16】过定点的弦长最短（2023上·广东惠州·高二统考期末）直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为（

）A． B．C． D．若直线与圆分别交于M、N两点.则弦MN长的最小值为.已知直线：和圆C：.(1)直线恒过一定点M，求出点M坐标；(2)当m为何值时，直线被圆C所截得的弦长最短，求出弦长.直线被圆截得的最短弦长为