定积分高考题

一、选择题〔共16小题〕1、〔2023•湖南〕由直线与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为〔〕 A、 B、1C、 D、解答：解：由定积分可求得阴影局部的面积为S=cosxdx==﹣〔﹣〕=，所以围成的封闭图形的面积是．应选D．2、〔2023•山东〕由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为〔〕 A、 B、C、 D、解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是〔1，1〕，〔0，0〕故积分区间是[0，1]所求封闭图形的面积为∫01〔x2﹣x3〕dx═，应选A．3、〔2023•广东〕甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线〔假定为直线〕行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V已〔如下图〕．那么对于图中给定的t0和t1，以下判断中一定正确的选项是〔〕 A、在t1时刻，甲车在乙车前面 B、t1时刻后，甲车在乙车后面 C、在t0时刻，两车的位置相同 D、t0时刻后，乙车在甲车前面分析：利用定积分求面积的方法可知t0时刻前甲走的路程大于乙走的路程，那么在t0时刻甲在乙的前面；又因为在t1时刻前利用定积分求面积的方法得到甲走的路程大于乙走的路程，甲在乙的前面；同时在t0时刻甲乙两车的速度一样，但是路程不一样．最后得到A正确，B、C、D错误．解答：解：当时间为t0时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c，乙走过的路程=v乙dt=c；当时间为t1时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c+d，而乙过的路程=v乙dt=c+d+b；从图象上可知a＞b，所以在t1时刻，a+c+d＞c+d+b即甲的路程大于乙的路程，A正确；t1时刻后，甲车走过的路程逐渐小于乙走过的路程，甲车不一定在乙车后面，所以B错；在t0时刻，甲乙走过的路程不一样，两车的位置不相同，C错；t0时刻后，t1时刻时，甲走过的路程大于乙走过的路程，所以D错．故答案为A4、由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为〔〕 A、 B、2﹣ln3C、4+ln3 D、4﹣ln3解答：解：根据利用定积分的几何意义，得：由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积：S=〔3﹣〕dx+=〔3x﹣lnx〕+2=3﹣ln3﹣1+2=4﹣ln3．应选D．5、 A、 B、C、 D、解答：解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知根本领件空间所对应的几何度量S〔Ω〕=1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S〔A〕==所以P〔A〕=．应选B．6、 A、 B、C、 D、解答：解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2解得交点为〔﹣3，﹣6〕和〔1，2〕抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点〔﹣，0〕设阴影局部面积为s，那么==7、由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为〔〕 A、 B、4C、 D、6解答：解：联立方程得到两曲线的交点〔4，2〕，因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为S=．8、〔2023•福建〕〔ex+2x〕dx等于〔〕 A、1 B、e﹣1C、e D、e2+1解答：解：∫10〔ex+2x〕dx=〔ex+x2〕|01=e+1﹣1=e9、〔2023•湖南〕dx等于〔〕 A、﹣2ln2 B、2ln2C、﹣ln2 D、ln2解答：解：∵〔lnx〕′=∴=lnx|24=ln4﹣ln2=ln210、〔2023•福建〕〔1+cosx〕dx等于〔〕 A、π B、2C、π﹣2 D、π+2解答：解：∵〔x+sinx〕′=1+cosx，∴〔1+cosx〕dx=〔x+sinx〕=+sin﹣=π+2．11、那么∫﹣aacosxdx=〔a＞0〕，那么∫0acosxdx=〔〕 A、2 B、1C、 D、分析：根据定积分的几何意义知，定积分的值∫﹣aacosxdx=〔a＞0〕是f〔x〕=cosx的图象与x轴所围成的平面图形的面积的代数和，结合偶函数的图象的对称性即可解决问题．解答：解：原式=∫﹣a0cosxdxdx+∫0acosxdx．∵原函数y=cosx为偶函数，∴在y轴两侧的图象对称，∴对应的面积相等，那么∫0acosxdx==．应选D．12、曲线y=x2+2与直线y=3x所围成的平面图形的面积为〔〕 A、 B、C、 D、1解：联立曲线与直线得，解得或设曲线y=x2+2与直线y=3x所围成的平面图形的面积为A那么A=∫12[3x﹣〔x2+2〕]dx=|12=13、以下计算错误的选项是〔〕 A、∫﹣ππsinxdx=0 B、∫01=C、cosxdx=2cosxdx D、∫﹣ππsin2xdx=0解答：解：∫﹣ππsinxdx=〔﹣cosx〕|﹣ππ=〔﹣cosπ〕﹣〔﹣cos〔﹣π〕=0因为y=cosx为偶函数所以=π应选D14、计算的结果是〔〕 A、4π B、2πC、π D、分析：根据积分所表示的几何意义是以〔0，0〕为圆心，2为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一即可．解答：解：表示的几何意义是以〔0，0〕为圆心，2为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积=π×4=π15、假设∫0k〔2x﹣3x2〕dx=0，那么k等于〔〕 A、0 B、1C、0或1 D、以上均不对解答：解：∫0k〔2x﹣3x2〕dx=∫0k2xdx﹣∫0k3x2dx=x2|0k﹣x3|0k=k2﹣k3=0，解可得k=0假设k=1．16、如下图，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图〔阴影局部〕，其面积是〔〕 A、1 B、C、 D、解答：解：联立得，解得或，设曲线与直线围成的面积为S，那么S=∫01〔﹣x2〕dx=18、如下图解答：解：阴影局部的面积为∫02〔x2〕dx，而∫02〔x2〕dx=〔x3〕|02=，19、由曲线y2=2x和直线y=x﹣4所围成的图形的面积为18．解答：解：解得曲线y2=2x和直线y=x﹣4的交点坐标为：〔2，﹣2〕，〔8，4〕选择y为积分变量∴由曲线y2=2x和直线y=x﹣4所围成的图形的面积S==〔y2+4y﹣y3〕|﹣24=1820、由曲线和直线y=x﹣4，x=1，x=2围成的曲边梯形的面积是ln2+1．解答：解：联立两条直线的方程，得和∴曲线y=与直线y=x﹣4，x=2，x=1所围成的图形面积为=〔﹣x2+lnx+4x〕|12=ln2+121、〔2023•陕西〕解答：解：长方形区域的面积为3，阴影局部局部的面积为，所以点M取自阴影局部局部的概率为22、〔2023•山东〕设函数f〔x〕=ax2+c〔a≠0〕，假设，0≤x0≤1，那么x0的值为．解答：解：∵f〔x〕=ax2+c〔a≠0〕，∴f〔x0〕=∫01f〔x〕dx=[+cx]01=+c．又∵f〔x0〕=ax02+c．∴x02=，∵x0∈[0，1]∴x0=．23、〔2002•天津〕求由三条曲线y=x2，4y=x2，y=1所围图形的面积．解答：解：如图，因为y=x2，4y=x2是偶函数，根据对称性，只算出y轴右边的图形的面积再两倍即可．解方程组和，得交点坐标〔﹣1，1〕，〔1，1〕，〔﹣2，1〕，〔2，1〕．选择x为积分变量，那么S=2[+]=．24、假设y=f〔x〕的图象如下图，定义，那么以下对F〔x〕的性质描述正确的有〔1〕〔2〕〔4〕．〔1〕F〔x〕是[0，1]上的增函数；〔2〕F′〔x〕=f〔x〕；〔3〕F〔x〕是[0，1]上的减函数；〔4〕∃x0∈[0，1]使得F〔1〕=f〔x0〕．解答：解：由