专题06 相似三角形中的基本模型-半角模型（原卷版）

专题06相似三角形中的基本模型--半角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.半角模型（相似模型）【常见模型及结论】1）半角模型（正方形中的半角相似模型）条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45°结论：如图1，△AMN∽△AFE且．（思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE）；图1图2结论：如图2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；图3图4结论：如图4，△BME∽△AMN∽△DFN.2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）（1）含45°半角模型图1图2条件：如图1，已知∠BAC＝90°，；结论：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②；③（）（2）含60°半角模型条件：如图1，已知∠BAC＝120°，；结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③（）例1．（2023·山西·九年级校考期中）如图，在正方形中，点、分别是、边上的两点，且，、分别交于、．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是（

）A．①②④ B．①④ C．①②③ D．①②③④例2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，则DF的长是．例3．（2023·广东·九年级专题练习）如图，已知中，，，点在边上，．(1)求证：；(2)当，时，求的长．例4．（2023·广东·九年级专题练习）如图，中，，，点为边上的点，点为线段上一点，且，，，则的长为．例5．（2023·辽宁沈阳·统考二模）在菱形中，．点，分别在边，上，且．连接，．（1）如图1，连接，求证：是等边三角形；（2）平分交于点．①如图2，交于点，点是的中点，当时，求的长．②如图3，是的中点，点是线段上一动点（点与点，点不重合）．当，时，是否存在直线将分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1∶3．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．例6．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，正方形中，交于点交于点，分别交于，连接．求证：；求的值；若正方形的边长为5，，求的长．例7．（2023·广东佛山·九年级校考阶段练习）正方形，、分别在边、上（不与端点重合），，与交于点．(1)如图①，若平分，直接写出线段，，之间等量关系；(2)如图②，若不平分，(1)中线段，，之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，矩形，，．点、分别在边，上，，，求的长度．课后专项训练1．（2022春·浙江绍兴·九年级校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，DC上，AE、AF分别交BD于点M、N，连接CN、EN，且CN=EN．下列结论：①AN=EN，AN⊥EN；②BE+DF=EF；③∠DFE=2∠AMN；④；⑤图中有4对相似三角形．其中正确结论个数是（

）A．5 B．4 C．3 D．22．如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（）A．2 B． C． D．33．如图，等腰直角三角形，D､E是上的两点，且，过D､E分别作、，垂足分别为M、N，、交于点F，连接、．以下四个结论：①四边形是正方形；②；③；④当时，．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2022·安徽·校联考一模）如图，正方形ABCD边长为2，BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，点P，Q分别是平分线BM、DN上的点，且满足∠PAQ＝45°，连接PQ、PC、CQ．则下列结论：①BP•DQ＝3.6；②∠QAD＝∠APB；③∠PCQ＝135°；④．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2022·河南安阳·统考一模）如图，在中，，D，E是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接，下列结论：①平分；②；③；④点C转至点B经过的弧长为，正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2023·山东·统考一模）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．下列结论：（1）图中有三对相似而不全等的三角形；（2）m•n=2；（3）BD2+CE2=DE2；（4）△ABD≌△ACE；（5）DF=AE．其中正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．（2023·广东东莞·校考模拟预测）如图，正方形中，点，分别在边，上，且，分别交，于点，，以点为圆心，长为半径画．下列结论不正确的是(

)A． B． C．与相切 D．8．（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，在正方形中，点，在上且，，延长交于点，延长交于点，连接．下列结论：①点为的中点，②，③，④，其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）

9．如图，已知△PMN是等边三角形，∠APB=120．求证：AM·PB=PN·AP10．已知：如图边长为2的正方形ABCD中，∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠MAN＝45°①求证：MN＝BM+DN；②若AM、AN交对角线BD于E、F两点．设BF＝y，DE＝x，求y与x的函数关系式．11．（2023上海市中考数学二模试题）已知：Rt△ABC斜边AB上点D，E，满足∠DCE＝45°．(1)如图1，当AC＝1，，且点D与A重合时，求线段BE的长.(2)如图2，当△ABC是等腰直角三角形时，求证：AD2+BE2＝DE2.(3)如图3，当AC＝3，BC＝4时，设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．12．（2023江苏九年级期末）已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；（2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由．13．（2023江苏中考数学一模）（1）如图①，在正方形中，E，F分别是，边上的动点，且，将绕点D逆时针旋转，得到，可以证明，进一步推出，，之间的数量关系为；（2）在图①中，连接分别交和于P，Q两点，求证：；（3）如图②，在菱形中，，点E，F分别是边，上的动点（不与端点重合），且，连接分别与边，交于M，N．当时，猜想，，之间存在什么样的数量关系，并证明你的结论．

14．（2022秋·广东广州·九年级广州市第三中学校考期中）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．(1)若点G在边CB的延长线上，且BG＝DF，（如图①），求证：△AEG≌△AEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形（如图③），∠EAF＝∠CEF＝45°，BE＝4，DF＝1，请你直接写出△CEF的面积．15．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）【问题发现与证明】如图①，正方形中，分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中与可以看作绕点A旋转的关系．这可以证明结论“”，请补充辅助线