专题05 相似三角形中的基本模型-对角互补模型（原卷版）

专题05相似三角形中的基本模型--对角互补模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.对角互补模型（相似模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似.【常见模型及结论】1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点，辅助线：过点O作OD⊥AC，垂足为D，过点O作OH⊥BC，垂足为H，结论：①△ODE∼△OHF；②（思路提示：）.2）对角互补相似 2条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.辅助线：作法1：如图1，过点C作CF⊥OA，垂足为F，过点C作CG⊥OB，垂足为G；结论：①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·.（思路提示：，CF=OG，在Rt△COG中，）辅助线：作法2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；结论：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·.（思路提示：，在Rt△OCF中，）3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°辅助线：过点D作DE⊥BA，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F；结论：①△DAE∼△DCF；②ABCD四点共圆。例1．（2023·重庆·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝________．例2．（2023·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角中，，，过点作射线，为射线上一点，在边上（不与重合）且，与交于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）如果，求证：．例3．（河南省鹤壁市致远中学2021-2022学年九年级上学期第二阶段考试数学试题）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，D为BC边上的一点．过点D作射线DE⊥DF，分别交边AB，AC于点E，F．(1)当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，如图①，______．(2)①若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图②位置时，______．②若改变点D的位置，且时，求的值，请就图③的情形写出解答过程．(3)如图③连接EF，当BD＝______时，△DEF与△ABC相似．例4．（2022·山东·宁阳县九年级期末）如图1，将直角三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交边于点，另一边交的延长线于点．（1）求证：；（2）如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，，则______．例5．（2023·河南信阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．例6．（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF；（2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长；（3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长．课后专项训练1．（2023·山西临汾·统考二模）在菱形中，，对角线交于点，分别是边上的点，且与交于点，则的值为．

2．（2023·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则=.3．（2023青岛版九年级月考）如图，在中，，，直角的顶点在上，、分别交、于点、，绕点任意旋转．当时，的值为；当时，为．（用含的式子表示）4．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为．

5．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，D，M，N分别在直线，直线，直线上，(1)若D是中点，，求；(2)若点D，M，N分别在，，的延长线上，且，，求．6．（2023·安徽·九年级专题练习）点是内一点，平分，延长交于点，延长交于点．(1)如图，若，证明：；(2)如图，若，证明：；(3)如图，若，，，，求的值．

7．（2023吉林九年级上学期期末数学试题）已知在中，，，，D为BC边上的一点．过点D用射线，分别交边于点E，F．

(1)当D为的中点，且时，如图①，______；(2)若D为BC的中点，将绕点D旋转到图②位置时，求的值；(3)若改变点D的位置，且时，如图③，则______（用含m，n的代数式表示）．8．（2023江苏九年级月考）如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为；（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；9．（2023陕西省西安市灞桥区中考数学模拟试卷）如图1，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），过点P作PE⊥CD于点E，连接PB，已知AD＝3，AB＝4，设AP＝m．（1）当m＝1时，求PE的长；（2）连接BE，试问点P在运动的过程中，能否使得△PAB≌△PEB？请说明理由；（3）如图2，过点P作PF⊥PB交CD边于点F，设CF＝n，试判断5m+4n的值是否发生变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．10．（2023甘孜州中考模拟）如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE．（1）求证：BG=AE；（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图②所示）①求证：BG⊥CE；②设DG与AB交于点M，若AG：AE=3：4，求的值．11．（2023·四川·九年级专题练习）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．【初步感知】(1)如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．【深入探究】(2)①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）【拓展运用】(3)如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．12．（2023·宁夏银川·九年级校考阶段练习）将一副三角尺如图①摆放，在中，；在中，，点为的中点，交于点，经过点．（1）求的度数；（2）如图②，将绕点顺时针方向旋转角（），此时的等腰直角三角尺记为，交于点，交于点，试判断的值是否随着的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．13．（2023·广西南宁·校联考一模）在等边中，点D是边上一点，点E是直线上一动点，连接，将射线绕点D顺时针旋转，与直线相交于点F．(1)若点D为边中点．①如图1，当点E在边上，且时，请直接写出线段与的数量关系________；②如图2，当点E落在边上，点F落在边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；(2)如图3，点D为边上靠近点C的三等分点．当时，直接写出的值．14．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）综合与实践问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究．猜想推理：

（1）如图1，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，，，，则______．问题解决：（2）如图2，是等边三角形，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求证：．（3）如图3，，，，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求的值．15．（2023广东深圳三模试题）（1）【探