第一章 矢量分析

第一章矢量分析在这门课程中，我们几乎从头到尾和场打交道。实际上，人们周围的空间也确实存在着各种各样的场，例如自由落体现象，说明存在一个重力场；人们能感觉到室内外的冷暖，说明我们周围分布着一个温度场，等等。那么到底什么是场呢？从物理意义上理解，场是遍及一个被界定的或无限扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。从数学意义上理解，场是给定区域内各点数值的集合，这些数值规定了该区域内一个特定量的特性。例如温度场就由描述，只要知道了场中各点的大小，该温度场就被确定了，这种只有数值大小的物理量称为标量，该场称为标量场；还有一种场，例如本书中讨论的电磁场，电场强度是描述电场的物理量之一，人们不仅需要知道它的数值大小，还要知道它的方向，这样才能完全确定它，这样的物理量称为矢量，该场称为矢量场。在电磁场和电磁波的学习中，我们始终要用到矢量运算，因此掌握矢量分析是十分必要的。§1.1矢量的概念1.1.1标量在电磁场中遇到的特征量可区分为标量和矢量两类。一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量。如电荷、电位和能量等。这些量中的每一个量，用单纯的一个数就可以完整地描述。电荷0.5库伦（C），电位220伏特（V）等都是标量的例子。1.1.2矢量一个不仅有大小而且有方向的物理量称为矢量。力、速度、力矩、电场强度和加速度都是矢量。一个矢量常用一个带箭头的线段来图示，其长度按适当比例表示它的大小，方向则用箭头指示，如图1.1(a)所示。其中，代表一个从点指向点的矢量。图1.1(b)表示几个平行矢量有同样的大小和方向，它图1.1们都代表同一个矢量。一个大小为零的矢量称为空矢或零矢。一个大小为1的矢量称为单位矢量。图1.1一个矢量可以表示为(1.1)其中是的大小，称为模，由式(1.2)表示(1.2)是的单位矢量，即方向与的方向相同，大小为1的矢量，由式(1.3)表示(1.3)§1.2矢量运算1.2.1矢量加法(a)(b)图(a)(b)图1.2矢量加法(1.4)矢量加法也可以用矢量三角形表示，如图1.2(b)所示，矢量的头和矢量的尾相接，得矢量。同理矢量的头和矢量的尾相接，也得矢量。可见，矢量加法和矢量排列次序无关，即服从交换律(1.5)矢量加法也服从结合律(1.6)图1.3直角坐标系中的矢量矢量加法是几个矢量的合成问题，反之，一个矢量也可以分解为几个矢量。例如把矢量放在直角坐标系中，可以分解为，和，为这三个矢量之和，如图1.3所示。图1.3直角坐标系中的矢量(1.7)在直角坐标系中，三个轴方向上的单位矢量分别为，和。矢量，和的模分别为矢量在，和轴方向上的投影，用，和表示则可见，的模为(1.8)的单位矢量为(1.9)由图1.3可知(1.10)其中，和分别为矢量的方向角，即矢量与三个坐标轴方向的夹角。，和称为矢量的方向余弦。设有三个矢量，和，在直角坐标系中分别表示为则三个矢量相加为(1.11)在矢量的分解中，应注意到分解的不唯一性。例如，同一个矢量在不同的坐标系中，分解的情况是不同的。1.2.2矢量减法矢量减法可以视为矢量加法的特例，即(1.12)图1.4矢量减法图1.5和矢量为零的几何表示通常称为矢量的逆矢量，它的大小和矢量一样，但方向相反，如图1.4所示。由矢量加减法运算规则可知，如果三个矢量，图1.4矢量减法图1.5和矢量为零的几何表示(1.13)同理可推断，若多个矢量头尾相连组成封闭的多边形，其矢量和必为零。1.2.3标量和矢量的乘积一个标量和矢量相乘，得矢量，即(1.14)显然：的大小等于的大小的倍。若，与同方向；若，与反方向；若，的模比大，，则比小。应记住一个有用的事实，平行于，方向相同或相反。1.2.4两矢量的标量积两矢量的标量积亦称点积，定义为：一个矢量在另一个矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，结果是一个标量。可表示为(1.15)错误！未定义书签。图1.6错误！未定义书签。图1.6点积的图示由式(1.15)可知，时，标量积变为零，因此，两非零矢量和的正交条件为(1.16)点积的基本性质服从交换律：(1.17)分配律：(1.18)在直角坐标系中，，和三个单位矢量互相正交，根据标量积定义得，，(1.19a)，，(1.19b)于是两矢量的标量积可表示为(1.20)说明两矢量的标量积等于其对应的分量的乘积之和。1.2.5两矢量的矢量积两矢量和的矢量积亦称叉积，其结果仍是一个矢量，用矢量表示，矢量的大小为和组成的平行四边形的面积，方向垂直于矢量和构成的平面，并且、和三者符合右手螺旋法则，其数学表达式为图1.7矢量积图示图1.7矢量积图示式中为矢量和的夹角，如图1.7所示。由式(1.21)可以得到非零矢量和平行的条件为(1.22)根据式(1.21)的矢量积定义和右手螺旋法则可以看出(1.23)说明矢量积不服从交换律，但服从分配律，即(1.24)显而易见，矢量积不服从结合律，即(1.25)式(1.25)的形式称为矢量三重积，等号左边三重积的矢量和矢量垂直，并且位于矢量和构成的平面；而右边三重积的矢量和矢量垂直，且位于矢量和构成的平面内，可见左右两边的结果不一样，式中括号不是可有可无的，括号代表优先进行矢量运算的部分。对于直角坐标系来说，由矢量积定义可得到单位矢量之间的关系，，(1.26a)，，(1.26b)于是矢量积在直角坐标系中可表示为(1.27)若用行列式表示，也许更便于记忆(1.28)【例1-1】确定垂直于和所在平面的单位矢量。解法1是垂直于和所在平面的矢量。故有于是垂直于和所在平面的单位矢量为另一个方向相反的单位矢量是。解法2令矢量垂直于和所在平面，那么既与垂直，也与垂直，因此即①②联立式①和②解得故则的单位矢量为另一个单位矢量是1.2.6三矢量的乘积三个矢量、和相乘可以分两种情况：结果是一个标量，称为标量三重积；结果是一个矢量，称为矢量三重积。在矢量运算中，规定先进行叉积运算，后进行点积运算。根据矢量运算，由图1.8可见，标量三重积可表示为图1.8标量三重积的图示(1.29)从图1.8可以看出，矢量，和构成一个平行六面体，的大小为该平行六面体的底面积，为该平行六面体的高，所示标量三重积的大小为该平行六面体的体积。图1.8标量三重积的图示不难看出，平行六面体体积也可由或表示，即(1.30)也就是说，若按的次序循环改变时，标量三重积的值不变，这种代换称为轮换法。在直角坐标系中，标量三重积也可以用行列式表示为(1.31)根据行列式的规则，用轮换法变换行的位置，行列式的值不变，式(1.31)和式(1.30)是一致的。若、和三矢量位于同一平面上，意味着平行六面体的体积为零，即(1.32a)或(1.32b)式(1.32)为三个线性无关的非零矢量共面（或共线）的条件。对于矢量三重积，记作，根据矢量叉积定义，矢量垂直于矢量和矢量，因此位于由和组成的平面内，于是矢量一定可以分解为矢量和的组合。即(1.33)式(1.33)被称为“back-cab”法则，这是一个很有用的矢量恒等式。§1.3矢量微分元在矢量微积分中，经常要进行曲线积分、曲面积分和体积分，需要写出对应的微分元，如微分长度、微分面积和微分体积，它们分别称为线元、面元和体元。值得注意的是这里的线元和面元均为矢量，是有方向的。在不同的坐标系中，矢量微分元的表达式也各不相同。大家所熟悉的正交坐标系有直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。下面阐述在不同坐标系中，这些微分元的构成。(a)(b)(a)(b)图1.9直角坐标系中的微分元(a)微分体积元(b)体元分解图1.3.1直角坐标系在直角坐标系中，坐标变量为，点是，和三个坐标平面的交点，如图1.9所示。坐标，和都是长度量，拉梅系数均为1，即。线元：(1.34)面元：(1.35a)(1.35b)(1.35c)体元：(1.36)1.3.2圆柱坐标系在圆柱坐标系中，坐标变量为，点是的圆柱面，的平面和的平面的交点，如图1.10所示。坐标和是长度量，是角度量，其拉梅系数为，，(1.37)由图1.11可以看出，线元、面元和体元表达式为线元：(1.38)面元：(1.39a)(1.39b)(1.39c)体元：(1.40)(a)(b)图1.11圆柱坐标系中的微分元(a)微分体积元(b)体元分解图图图1.10圆柱坐标系1.3.3球坐标系在球坐标系中，坐标变量为，点是的球面，的圆锥面和的平面的交点，如图1.12所示。除坐标为长度量外，坐标和均为角度量，其拉梅系数为，，(1.41)相应地，线元、面元和体元（如图1.13）的表达式分别为线元：(1.42)面元：(1.43a)(1.43b)(1.43c)(a)(b)图1.12球坐标系图1.13球坐标系中的微分元(a)(b)图1.12球坐标系图1.13球坐标系中的微分元(a)微分体积元(b)体元分解图1.3.4广义正交曲线坐标系在广义正交曲线坐标系中，坐标变量为，空间一点是(常数)，(常数)和(常数)三个曲面的交点。三曲面相互正交，两曲面间的交线称为坐标曲线。如图1.14所示。图1.14正交坐标系图1.15正交曲线坐标单位矢量正交曲面坐标系中，单位矢量分别为、和，三者互相正交，它们分别为坐标曲线的切线，如图1.15所示。图1.14正交坐标系图1.15正交曲线坐标单位矢量根据右手螺旋法则，正交曲线坐标系的单位矢量、和满足下列关系(1.45a)(1.45b)以及，，(1.46a)，，(1.46b)矢量在正交曲线坐标系中可表示为(1.47)式中、和为矢量分别在三个正交方向上的分量，矢量的模为(1.48)在广义正交曲线坐标系中，坐标、和不一定都是长度量，可能是角度量。设相应的拉梅系数为、和。其微分元如图1.16所示。线元：(1.49)面元：(1.50a)图1.16正交曲线坐标中的微分元(1.50b)图1.16正交曲线坐标中的微分元(1.50c)体元：(1.51)§1.4矢量在不同坐标系中的变换在工程计算中，为了简化计算公式，有时需要将某一种坐标系变换到另外一种坐标系，经常遇到的是圆柱坐标系及球坐标系同直角坐标系之间的变换。1.4.1圆柱坐标系与直角坐标系间的变换图1.17圆柱坐标系和直角坐标系间的变换圆柱坐标系的坐标变量为、和，与直角坐标系中的坐标变量、和之间满足下列变换关系(如图1.17所示):图1.17圆柱坐标系和直角坐标系间的变换(1.52a)(1.52b)矢量函数在上述两种正交坐标系间的变换较为复杂。若矢量在直角坐标系中为式中分量、和是坐标、和的标量函数。同理，矢量在圆柱坐标系中为式中分量、和是坐标、和的标量函数。利用标量积的定义可以得到(1.53)进一步将标量积展开得(1.54a)(1.54b)及(1.54c)只要求出直角坐标系和圆柱坐标系单位矢量的标量积，式(1.54)中矢量分量间的变换就可完全确定。如图1.17所示，直角坐标系单位矢量、和在、和方向上的投影分别为(1.55a)(1.55b)(1.55c)式(1.55)的标量积也可用表1-1给出。表1-1圆柱坐标系和直角坐标系单位矢量标量积00001式(1.54)和(1.55)是将直角坐标系中矢量变换到圆柱坐标系中的关系式。采用类似的方法，也可得到圆柱坐标系中的矢量变换到直角坐标系中的关系式。采用矩阵形式，也许更便于记忆。(1.56)同理可得(1.57)【例1-2】试将圆柱坐标系中的矢量变换为直角坐标系中的表达式。解法1按题意有，，设矢量在直角坐标系中表示为其中根据坐标变换关系，由式(1.52b)最后得所以解法2直接利用矩阵公式(1.56)同样得1.4.2球坐标系与直角坐标系间的变换类似地，从图1.12中容易看出，球坐标系的坐标变量、及与直角坐标系的坐标变量、和之间的关系为(1.58)和(1.59)用类似于从直角坐标系到圆柱坐标系变换的方法，可将一矢量函数从直角坐标系变换到球坐标系(1.60)从图1.12中，不难求出两坐标系单位矢量的标量积为(1.61)式(1.61)也可由表1-2给出。表1-2球坐标系和直角坐标系单位矢量标量积0将式(1.61)代入式(1.60)中，可写出矢量从直角坐标系变换到球坐标系中的表达式，反之，也可写出从球坐标系到直角坐标系的变换关系式。【例1-3】已知矢量，试将其变换为球坐标系的表达式。解按题意，和由式(1.60)得再根据式(1.61)得最后利用坐标变换公式(1.59)得则球坐标系中，矢量表示为§1.5标量场的梯度1.5.1标量场的等值面前文已经知道，由标量函数描述的场为标量场。标量场的分布可以形象地用等值面来描绘。在直角坐标系中，一标量场函数为，式中t为时间，若场函数不随时间变化，该场就是静态场。设的表达式为(1.62)则等值面方程为(常数)(1.63)图1.18等值面式(1.63)表示一球面。取不同的值，就可画出一系列等值面，这些等值面是一组同心的球面，如图1.18所示。如果该场是温度场，这些等值面就是等温面。图1.18等值面根据标量场的定义和属性，空间每一点都只能对应一个数值，就是说，标量函数是单值函数，在物理上这也是不难理解的，譬如说在某一时刻空间一点就只能有一个温度值，而不可能同时有两个不同的温度值。换句话说，标量函数的等值面是互不相交的。1.5.2标量场的梯度在一标量场中，空间某点的场函数为，是空间和时间的函数，设某一时刻，在该场中取相邻两个等值面，函数值分别为和，代表两等值面之间的增量。由等值面上点出发，可以沿不同的路径到达等值面上，若沿点的法线方向，则得到最短路径，其方向用矢量表示，如图1.19所示，若沿其他方向，可得一较长的路径，用另一矢量表示。对于同样的增量，很显然沿方向的空间变化率最大。可见，空间变化率的大小取决于的方向，因此称为方向导数。图1.19标量场的梯度我们定义一个矢量，其大小为标量场函数在点的方向导数的最大值，其方向就是取得最大方向导数的方向，这个矢量称为场函数在该点的梯度，用表示，其数学表达式为图1.19标量场的梯度(1.64a)式中为点最大方向导数的单位矢量，也是点等值面的单位法向矢量。在矢量运算中，通常用表示梯度，称为哈密尔顿算子(读作“del”或“nabla”)。于是式(1.64a)也可写为(1.64b)当点靠近点时，由方向导数定义(1.65)式中为和的夹角，用标量积表示得式(1.65)可写成(1.66)上式表示，标量函数在点沿方向的空间变化率等于该点梯度在该方向上的投影。式(1.66)可改写为(1.67)在直角坐标系中，可用坐标的偏微分表示(1.68)已知(1.69)将式(1.68)和式(1.69)代入式(1.67)中可得到根据点积的含义，梯度应为如下形式(1.70)式(1.70)为直角坐标中标量函数的梯度计算公式哈密尔顿算子在直角坐标系中可以写作(1.71)应该注意，该算子本身是没有意义的。在广义正交坐标系中，已知表示为相应地，有如下形式(1.72)在圆柱坐标系中，已知，，，则梯度表达式为(1.73)在球坐标中，已知，，，则梯度表达式为(1.74)【例1-4】已知平面方程，求在处该平面的单位法向矢量。解令标量函数根据梯度性质，等值面在某点的法向矢量应和该点的梯度平行或已知与上述方向相反的另一法向矢量为因为平面上各点的单位法向矢量是一样的，所以点处单位法向矢量为§1.6矢量场的散度1.6.1矢量场的矢线已知描述矢量场特性的函数是一个矢量，它不仅有大小而且有方向，若一条曲线上每一点的切线方向与该点的场矢量方向重合，则该曲线称为矢量场的矢线或场线。我们常说的电场线和磁场线就是矢线的例子。图1.20是旋转圆盘上不同点线速度的矢量场，圆盘上某点线速度的方向由通过该点的切线决定。而线速度的大小等于该点到圆心的距离和角速度的乘积，线速度的大小和半径成正比。图1.20(a)中给出的矢量场图形是相当直观的，不足之处是图形中挤满了矢量线段，看起来容易眼花缭乱。为此，可以简化作图，用一组带箭头的圆代替，如图1.20(b)所示，图中带箭头的线称为矢线或场线，代表了各点的矢量的方向，但不代表矢量的大小，而矢线的疏密情况，则反映了矢量大小的变化情况。(a)(a)矢量场图(b)矢线图图1.20矢量场的矢线1.6.2通量在描述矢量场的性质时，矢量穿过某一曲面的通量是一个很重要的概念。例如在流体力学中，流体的速度是一个矢量场，在该场中取一面元，则为每秒穿过的流量，也称为矢量场穿过的通量。如图1.21所示。图1.21矢线和通量将曲面上的各面元的通量相加，可得到矢量穿过曲面的通量，可表示为图1.21矢线和通量(1.75)如果曲面是闭合的，则穿过整个曲面的通量为(1.76)若，表明穿出闭合曲面的通量大于穿入闭合曲面的通量，这说明闭合曲面内存在正通量源；反之，若，表明穿入闭合曲面的通量大于穿出闭合曲面的通量，这说明闭合曲面内存在负通量源，负通量源也称为沟。正源是矢线出发处，负源是矢线终止处；若，则表明闭合曲面内正源和负源的总和为零，或闭合曲面内不存在正源和负源，矢线是连续的。1.6.3矢量场的散度在矢量场中，设包围点的闭合曲面为，所围的体积为，那么体积中平均通量密度为当时，体积收缩为点，该点的通量密度称为该点的散度。可见散度是一个标量。用表示，即(1.77)图1.22平行六面体式(1.77)的分子是曲面积分，而分母为三维体积，当体积趋向零时，结果将导致矢量场的一维空间变化。更确切地说，散度是矢量场沿矢线方向上的导数。图1.22平行六面体从散度的定义可知，与所取体积的形状无关。因此，在直角坐标系中，以点为顶点，分别以、和为边长，作一个平行六面体，如图1.22所示。矢量函数表示为(1.78)通量为穿出该体积六个表面的通量的总和，即(1.79)穿过面的通量为(1.80)穿过面的通量为(1.81)将展开为的泰勒级数形式高阶无穷小量(1.82)因为很小，可略去高阶无穷小量，式(1.81)改写为(1.83)将式(1.80)和式(1.83)相加，可得到方向上的净通量(1.84)同理，可得到方向的净通量(1.85)类似地，方向上的净通量为(1.86)于是，穿过闭合曲面的总通量为(1.87)体积。将式(1.87)代入式(1.77)中得到直角坐标系中的表达式(1.88)在广义正交坐标系中，经过类似的讨论可得到散度的计算公式为(1.89)由式（1.89）可得到圆柱坐标系和球坐标系散度的表达式。圆柱坐标系(1.90)球坐标系(1.91)为了书写方便，散度可表示为，即。1.6.4散度定理散度定理是德国数学家高斯从纯数学观点导出的有关源发散的一个基本定理，又称为高斯定理。其数学表达式为(1.92)该式的物理意义为：某一矢量散度的体积分等于该矢量穿过该体积的封闭表面的总通量。曲面包围的体积是任意的，其中的方向取闭合曲面的外法线方向。图1.23图1.23体积V的分割设将体积分割成个体积元，表示第个体积元，相应的封闭曲面为，如图1.23所示。由发散的净通量应等于其封闭曲面上的曲面积分值：另外，根据散度的定义，由发散的净通量为于是(1.93)当时，，则个体积元发散的通量为(1.94)根据积分定义，式(1.94)的左边为的体积分(1.95)式(1.94)右边表示在各微分体积元的表面上的面积分的代数和。因相邻体积元公共表面上的面元方向总是相反的，所以在累加过程中，相互抵消，最终仅剩下包围体积的外表面上的面积分，即(1.96)将式(1.95)和式(1.96)代入式(1.94)，就得到式(1.92)所示的散度定理。在电磁学中，散度定理是很有用的，它可以将面积分问题转换成体积分问题，反之亦然。【例1-5】长方体区域由和1，和2及和3的六个面组成，设其内矢量场，试就此验证散度定理的有效性。解由题意知为二维矢量，且和及的表面平行，因此只需要计算其余表面的通量由于，及，代入上式，等号右边第一个积分式为零，第三和第四积分式相互抵消，结果又因为于是体积分由计算结果可见，说明散度定理有效。§1.7矢量场的旋度1.7.1矢量场的环量矢量场沿一闭合路径的线积分称为的环量。如图1.24所示，在矢量场中，任意取一闭合曲线，矢量沿该闭合曲线的环量为(1.97)环量是一个标量，其大小不仅与闭合曲线的大小有关，还取决于该曲线相对于矢量的取向。若环量不等于零，说明闭图1.24矢量的环量合曲线内存在有旋源，这样的场称为涡旋场或有旋场；若环量等于零，则为无旋场。图1.24矢量的环量环量的物理意义随矢量所代表的场的不同而不同。若代表作用在物体上的力，则其环量为物体绕曲线移动一周时，该力所作的功。大家知道，在重力场中，力沿闭合路径作功为零，因此其环量也为零。若表示电场强度，则其环量将是沿闭合回路的电动势。在电磁学、流体力学、空气动力学和气象学中，环量是一个重要的物理量。1.7.2矢量场的旋度为了描述产生涡旋场的源的分布特性，设围绕矢量场中某点，做面元的轮廓曲线为，该面元的单位法线矢量与有向曲线符合右手螺旋法则，如图1.25所示。我们定义为环量密度。显然，该环量密度与的取向密切相关，当取某一方向时，可得到最大的环量密度。由此定义一个新矢量，其大小为点最大的环量密度，其方向为获得最大环量密度的面元的法线方向，该矢量称为点的旋度，用表示（或用表示），为了方便，通常用表示旋度，即(1.98)现以圆柱坐标系为例，给出旋度的计算公式。在该坐标系中，旋度可表示为(1.99)其中(1.100)式中，闭合曲线为的轮廓线。如图1.25所示。图1.25图1.25旋度公式的推导故有该结果代入式(1.100)后得(1.101a)同理可得和方向的旋度分量为(1.101b)(1.101c)于是(1.102)用类似的分析方法，我们可得球坐标系的旋度表示式为(1.103)直角坐标系中的旋度表示式为(1.104)为了便于记忆，下面给出广义正交坐标系中旋度的表示式(1.105)一个矢量场的旋度的物理意义为：它描述了涡旋源的强度，表示该矢量场每单位面积上的最大环量。在不存在涡旋源的无源区，旋度必然为零。1.7.3斯托克斯定理设闭合曲线为曲面的轮廓线，将曲面分成个微小面元，为第个面元，根据旋度的定义(1.106)如图1.26所示，对整个曲面的积分等于所有小面元的积分之和，即(1.107)由于相邻面元的轮廓线的公共部分对二者的围线来说，方向正好相反，因此所有内部曲线积分累加相互抵消，结果沿所有微小面积的围线的线积分累加后，仅剩下矢量沿曲面的轮廓线的积分，于是(1.108)由式(1.107)和式(1.108)得(1.109)图1.26积分曲面的细分图1.27例图1.26积分曲面的细分图1.27例1-7图【例1-6】如图1.27所示，部分球面由，及确定，相应的轮廓线为三个圆弧，第一个圆弧段由，及确定；第二个圆弧段由，及确定；第三个圆弧段由，及确定，设矢量场，试验证斯托克斯定理。解先求曲线积分在球坐标系中于是按题意所以式中、和分别代表第一、二和三圆弧段，又根据题意所以再求曲面积分利用球坐标公式(1.103)及条件又因为所以曲面积分和曲线积分的值相同，证实了斯托克斯定理。§1.8重要矢量恒等式除了上述已经证明和给出的梯度、散度和旋度的公式外，还有一些重要的矢量恒等式，在电磁理论研究中要经常用到。1.8.1两个零恒等式有关“”的重复运算有两个恒等式非常重要。一个恒等式为(1.110)该式表示：任何标量场梯度的旋度恒为零。式中为标量函数，在空间连续可微。在直角坐标系中，式(1.110)的证明比较简单，只要以代入运算即可。对于一般情况，若考虑在任一曲面上的面积分，由斯托克斯定理可知(1.111)根据梯度定义于是上式表明在任何曲面上的积分均为零。因此被积函数本身必然为零，即式(1.110)成立。反之，若一个矢量的旋度为零，则该矢量可以表示为某一个标量函数的梯度。另一恒等式为(1.112)式(1.112)表明，任何矢量场的旋度的散度恒为零。在直角坐标系中，将“”视为矢量算子，式(1.112)相当于是显而易见的。1.8.2拉普拉斯算子一个二阶微分算子经常出现在场论研究中，这就是所谓拉普拉斯算子（Laplacianoperator），表示符号为。它可用标量函数梯度的散度来定义，即(1.113)在直角坐标系中，可视为一矢量算子，如式(1.71)所示，则从而得(1.114)拉普拉斯算子表示为(1.115)在圆柱坐标系中，标量函数的拉普拉斯表达式为(1.116)拉普拉斯算子表示为(1.117)在球坐标系中，标量函数的拉普拉斯表达式为(1.118)拉普拉斯算子表示为(1.119)在广义正交曲线坐标系中，标量函数的拉普拉斯表达式为(1.120)拉普拉斯算子表示为(1.121)在电磁场的讨论中，我们经常会遇到矢量函数的拉普拉斯。其定义为(1.122)在直角坐标系中，式(1.122)表示为即(1.123)其中(1.124)和具有类似的表达式1.8.3常用的矢量恒等式下面再给出几个常用的矢量恒等式。对于矢量的积分定理，除了式(1.92)表示的散度定理和式(1.109)表示的斯托克斯定理之外，常用的还有积分定理的证明，要借助于散度定理，以上恒等式读者可自行证明，或参阅有关参考书。【例1-7】设矢量函数为无旋的，求：（1）、和的值；（2）求一标量函数，使它满足。解（1）按题意为无旋场，即于是由此求得，和。因而有（2）设于是=1*GB3①=2*GB3②=3*GB3③式=1*GB3①中和保持不变，对积分得=4*GB3④其中是和的任意函数。同理由=2*GB3②和=3*GB3③得=5*GB3⑤=6*GB3⑥比较=4*GB3④，=5*GB3⑤和=6*GB3⑥可取得公共值=7*GB3⑦在式=7*GB3⑦中加上任意常数仍符合题意，对梯度也无影响。第二章电磁学基本理论在电磁学发展史上，J.C.麦克斯韦（1831~1879）建立了不朽的功绩。他提出的麦克斯韦方程组是电磁理论的核心。麦克斯韦方程组包括了有关电磁学实验和理论方面的一切成果，它揭示了电场和磁场之间，以及电磁场和电荷、电流之间的互相联系的规律。这些规律是对宏观电磁现象的一个全面总结，是一切宏观电磁现象都遵循的普遍规律。我们研究电磁场问题，都是以麦克斯韦方程组为出发点。本章先研究真空中的电磁场。§2.1电场的基本物理量2.1.1电场强度人们最早认识电是从摩擦起电这一自然现象开始的。现在我们熟知，当两种不同性质的物体相互摩擦后，两种物体分别带有等量异号的电荷；我们还知道，带有相同性质电荷的物体相互排斥，带有不同性质电荷的物体相互吸引，即所谓的同性相斥，异性相吸。这些事实说明，电荷与电荷之间存在着相互作用力。1785年，法国科学家库仑从实验出发，给出了第一个电学定律——库仑定律。该定律对两点电荷之间的作用力作了定量的描述，其数学表达式为：（2.1）式中表示点电荷对点电荷的作用力，单位为牛顿（N）；和分别表示点电荷1和2所带的电荷量，单位为库仑（C）；表示两点电荷间的距离，单位为米（m）；为从点电荷指向点电荷的单位矢量；为真空介电常数，法拉/米（F/m）。库仑定律说明，在带电体周围空间，确实存在着一种特殊形式的物质，当电荷或带电体进入这个空间时，将受到力的作用。我们把存在于电荷周围的能对其他带电体产生作用力的特殊物质称为电场。电场对电荷的作用力称为电场力。要研究电场存在的规律，需要一个能定量描述电场基本特征的物理量——电场强度。电场强度定义为：单位正试验电荷在电场中某点处受到的作用力，即为该点的电场强度，用表示。（2.2）式中为正试验电荷的电量，试验电荷的电量和尺寸都应足够小，这样试验电荷的引入不会使原有的电场分布发生畸变。电场强度是一个矢量，其单位为牛顿/库仑（N/C），通常也用伏特/米（V/m）表示。根据库仑定律，点电荷对试验电荷的作用力为（2.3）由电场强度的定义，点电荷周围任意一点的电场强度为（2.4）图2.1点电荷系的电场式中为源电荷到场中某点的距离，是源点指向场点的单位矢量，该式为点电荷周围电场强度的大小和方向的表达式。图2.1点电荷系的电场在物理学中已知，力是服从叠加原理的。电场强度表征的是电荷在电场中的受力情况，显然，电场强度也服从叠加原理。若空间有n个点电荷，，则点电荷系在空间点的电场强度，等于点电荷，分别在该点产生的电场强度的矢量和，如图2.1所示。即（2.5）式中为点电荷所在位置到P的距离，为从点电荷所在位置指向P点方向上的单位矢量。上式为个离散的点电荷源产生的电场强度的计算公式。在直角坐标系中，若点电荷所在处的坐标为（），P点的坐标为（x,y,z），则有于是（2.6）如果电荷源是连续分布的，从理论上讲，也可以用叠加原理加以解决。线电荷分布若电荷沿某一曲线连续分布时，我们可以将连续分布的电荷进行无限分割，分割后的每一无限小电荷元均可视为点电荷，这无限多个点电荷所产生的电场叠加起来，就是该连续分布的线电荷的电场。为了分析的方便，我们引入线电荷密度的概念。线电荷密度定义为单位长度上的电荷量，即（2.7）式中为线元上所具有的电荷量。当电荷沿线均匀分布时，为常数；当电荷沿线分布不均匀时，是空间坐标的函数。由式（2.7）有，由于为无限小量，因而可视为点电荷，在其空间所产生的电场强度的表达式为（2.8）式中为带电线元到场点的距离，为线元指向场点方向上的单位矢量。若计算整个线电荷在空间产生的电场强度，需将式（2.8）沿曲线进行积分，即（2.9）该式为线电荷分布所产生的电场强度的表达式。一般情况下为了避免混淆，我们用撇号表示源点，不加撇号表示场点。在直角坐标系中，用（）表示源点坐标，用（x,y,z）表示场点坐标，式（2.9）中的线积分是对源点坐标进行的，其中以及这样，式（2.9）可写成（2.10）图2.2例2-1图【例2-1】图2.2为一有限长均匀带电直线段，线电荷密度为，求距离直线段中点为处的电场强度。图2.2例2-1图解：坐标原点取在直线段的中点，按题意，因具备对称性，故电场的水平分量互相抵消，合成电场在方向上。式中于是故讨论：（1）若，即带电线段尺寸远小于场点距离，这样可以简化为点电荷问题，即 （2）若带电线是无限长的，即则得面电荷分布当电荷沿空间曲面连续分布时，可引入面电荷密度，定义为单位面积上的电荷量，即 （2.11）式中为面元上的所具有的电荷量。由上式得，因为一无限小量，可将视为点电荷，类似线电荷分布情况，该面分布电荷在空间一点所产生的电场强度为 （2.12）式中为面元到场点的距离，为面元指向场点方向的单位矢量。图2.3a带电圆盘的电场【例2-2】一个均匀带电的环形薄圆盘，内半径为，外半径为，面电荷密度为，求轴上任一点的电场强度。图2.3a带电圆盘的电场解如图2.3a所示，圆盘上微分面元所带电荷为，从该电荷到轴上点的距离矢量为，其大小为。由式(2.12)得点的电场强度为由电荷分布的对称性和圆柱坐标的特性可以证明另外，我们可以这样认为，由于电荷分布的对称性，对每一个面元，将有一个对称点上的面元与之对应，这两个面元上的电荷在点产生的电场强度的径向分量相互抵消，因此点的电场强度的径向分量为零。于是①对于外半径的圆盘，如图2.3b所示，电场强度为②对于一个半径为的实心圆盘，如图2.3c所示，令从式①得电场强度③最后，对式①，令（见图2.3d），便得到无限大带电平面外任一点的电场强度④图2.3c图图2.3c图2.3d图2.3b体电荷分布当电荷在某空间体积内连续分布时，引入体电荷密度，定义为单位体积内的电荷量，即（2.13）式中为体积元中的电荷量。由式（2.13）得，同理，该体分布电荷在空间任一点的电场强度为（2.14）式中为体积元到场点的距离，为体积元指向场点方向的单位矢量。2.1.2电位静电场和重力场问题很相似。我们知道力是矢量，但力做的功是标量。我们也可以用功的概念来引出电场中的电位。电位和重力位能相对应，电位和电场力做功有关。已知试验电荷在电场中受力为欲使试验电荷处于平衡状态，应有一外力和该电场力大小相等，方向相反，即（2.15）如此，试验电荷在静电场中由点移动到点，外力所做的功为由此得（2.16）式（2.16）代表静电场内单位正电荷由点移到点外力所做的功，它称为点和之间的电位差，用表示（2.17a）或（2.17b）图2.4电场力对试验电荷做功对真空中点电荷位于原点的情况（如图图2.4电场力对试验电荷做功式中。结果表明，空间两点和之间的电位差只和场点所在的位置有关，而和积分路径无关，因而，在静电场中，电场强度沿闭合回路积分恒为零，即若单位正电荷是由无穷远处出发（）移到点，则电位差为或写成（2.18）式中为点电荷在点的电位，电位的单位为伏特（V）或焦耳/库仑（J/C）。当电荷有限分布时，可取无穷远处为零电位参考点（如式（2.18）），从实际考虑，人们常取大地的电位为零。但如果电荷无限分布（例如无限长线电荷等），则不能取无穷远处为零电位（具体可见【例2-4】）。当点电荷不在原点时，电位表达式可写成（2.19）式中为坐标原点指向场点的矢量，为坐标原点指向电荷的矢量。个点电荷在自由空间中一点的电位可表示为（2.20）式中。如以直角坐标系表示，则类似于电场强度的讨论，连续分布电荷源的电位表达式为线电荷分布（2.21）面电荷分布（2.22）体电荷分布（2.23）表达式中代表源点坐标，代表场点坐标，积分对源点坐标进行。电位和电场强度之间的积分关系式为同样，我们可以得到电位和电场强度的微分关系，空间一段线元上两端点间的电位差，即电位增量为（2.24）根据梯度的定义，又有（2.25）比较式（2.24）和式（2.25）得（2.26）式（2.26）提供了求解电场强度的又一种方法，这样，可以把求解电场强度矢量的问题，变为先求标量电位函数，进而通过微分关系再求。一般来说，求标量图2.5电偶极子图2.6电偶极子的等位线和电力线比直接求解矢量要简便。图2.5电偶极子图2.6电偶极子的等位线和电力线【例2-3】如图2.5所示，有一对等量异号相距很近的电荷构成电偶极子，，求点的电位和电场强度。解采用球坐标系其中因为，可以近似展开所以及得（2.27）由于，利用球坐标公式，电场强度为（2.28）通常定义为电偶极矩，的方向由指向，则式（2.27）可改写成（2.29）本题也可以用直角坐标系，请读者自行求解。如果利用式（2.5）直接求解电场强度，显然要复杂得多。根据式（2.27）和式（2.28）可以画出电偶极子的等位线（虚线）和电力线（实线）图，如图2.6所示。【例2-4】二无限长平行带电线距离为，远大于导线的半径，设线上电荷沿轴线均匀分布，线电荷密度分别为和，如图2.7（a）所示，求空间电位分布。解如每一根导线单独存在时，由例2-1可知，在空间任一点的电场强度分别为点的电位可由电场强度矢量的积分求得对于(常数)对于(常数)故点电位为(常数)①式中常数由电位参考点来确定，选取包括轴且和带电线平行的平面为零电位参考平面，即当时，，则式①中的常数为零，故得②在垂直于带电线的平面中，等位线的方程为（常数）即③式中是常数。上式可改写为④由几何知识知，上式的轨迹为圆，可见圆心的坐标是，圆的半径是，当取不同的数值时，代表不同的等位线，因此式④描写的等位线是一族圆。如图2.7（b）所示，虚线表示等位线，实线表示电力线。§2.2磁场的基本物理量2.2.1磁感应强度人们发现，当运动电荷经过载流回路或永久磁铁周围空间时，将受到力的作用。把存在于载流回路或永久磁铁周围空间，且能对运动电荷施力的特殊物质，称为磁场。磁场的特征是能对运动电荷施力。描述磁场特征的物理量称为磁感应强度，用表示。它可以由运动的试验电荷在磁场中受到的磁场力的大小和方向来定义。正如定义电场强度的情况一样，运动试验电荷应足够小，不至于扰动原来空间磁场的分布。磁感应强度的数学表达式为（2.30）式中为运动试验电荷受到的最大的磁场力，是试验电荷的运动速度的大小，为运动速度的单位矢量，可见，和三者相互垂直，且满足右手螺旋法则。如果电荷在磁场中以速度运动，则磁场对它的作用力可表示为（2.31）该磁场力与电荷的运动速度互相垂直，它只改变速度的方向，不改变速度的大小。由于导线中的电流是运动电荷形成的，所以载流导体在磁场中亦受到磁场力的作用。考虑磁场中的载流线元的受力情况，由于，故有图2.8两电流回路间的作用力（2.32图2.8两电流回路间的作用力根据安培力实验定律，若真空中有两个电流回路，如图2.8所示，分别用和表示两回路的电流元，则电流元和之间的作用力为（2.33）式中为电流元产生的磁场对电流元的作用力；为真空中的磁导率，；为线元到的距离；为线元指向线元方向上的单位矢量。式（2.33）可改写为（2.34）上式与式（2.32）相比，可得到电流元在空间所产生的磁感应强度为（2.35）该式称为毕奥—沙伐定律。运用叠加原理，可得到闭合回路1在空间所产生的磁感应强度（2.36）式（2.36）是线电流周围磁感应强度的计算公式。磁感应强度的单位为特斯拉（T），和它等价的单位是韦伯/（）。其中指产生磁场的电流所在的曲线上的线元。如果电流是分布在某一曲面上或某体积内的，则不能运用式（2.36）来进行计算。需引入电流密度的概念。面电流分布若电流分布在某一曲面上，面电流密度为，定义为在与电流线垂直的方向上单位长度流过的电流，如图2.9(a)所示，即，为电流方向上的单位矢量。由，面分布的电流产生的磁感应强度为（2.37）式中为面元到场点的距离；为面元指向场点方向的单位矢量。体电流分布对于电流分布在某体积内的情况，若体电流密度为，定义为在垂直于电流线的平面内单位面积上流过的电流，如图2.9(b)所示，即，类似地有，故体分布的电流产生的磁感应强度为（2.38）式中为体元到场点的距离；为体元指向场点方向上的单位矢量。图2.9电流密度的图示(a)面电流密度(b)体电流密度【例2-5】如图2.10所示，求长为，载有电流I图2.9电流密度的图示(a)面电流密度(b)体电流密度解选用圆柱坐标系（图2.10），直接用毕奥—沙伐定律，式中所以故（2.39a）式中；若，则式（2.39a）中，，于是得（2.39b）式（2.39b）是无限长载流直导线周围磁感应强度的计算公式。利用式（2.39a）还可以求解相当一部分磁场问题，例如求矩形电流线圈平面上任意一点P的磁感应强度,如图2.11所示。实际上这是四根载流导线在P点的磁感应强度的矢量和，其计算式为（2.39c）对多边形问题，式（2.39c）亦适用，只需将符号改写成即可，圆是正多边形的极限，因此式（2.39c）亦可推广应用到载流圆环等问题中去。图2.10例2-5图 图2.11矩形电流环的磁场图2.10例2-5图 图2.11矩形电流环的磁场2.2.2矢量磁位描述磁场基本性质的物理量——磁感应强度为一矢量，因而磁场是一矢量场。根据通量的概念，我们将穿过某一曲面的磁感应强度的通量，称之为穿过该曲面的磁通量。其数学表达式为（2.40）当S为空间闭合曲面时，则穿过此曲面的磁通量为（2.41a）由毕奥—沙伐定律，将式（2.36）代入式（2.41a）中得到（2.41b）根据梯度规则于是式（2.41b）中被积函数变为又根据高斯定理于是式（2.41b）可改写为由于算子是对场点（x,y,z）的微分，而线积分是对源点，因而可移入积分号内，即利用矢量恒等式可得到根据矢量运算又为源点的函数，而是对场点坐标（x,y,z）的微分，因而这表明式（2.41c）中积分为零，即（2.42）可见，穿过空间任意闭合曲面S的磁通量恒为零。这就是磁通连续性原理。它说明磁场线是连续的闭合矢线，磁场是无散场。由于磁体的南北极不能分开，因此由北极出发的磁力线数应正好等于进入南极的磁力线数。我们已经证明，无限长载流导线周围的磁力线为围绕它的同心圆。所有以上这一切都说明，磁力线永远是连续的。换句话说，穿入一个闭合曲面的磁通等于穿出该闭合曲面的磁通。由散度定理得式（2.42）可写为从而得。由矢量运算可知，一个矢量旋度的散度恒为零，于是可引入一个矢量，令（2.43）则这个从数学关系中引入的辅助矢量，称为矢量磁位，它没有明确的物理意义。矢量磁位的单位为韦伯/米（Wb/m）。由式（2.43）还不能完全确定矢量磁位，对于恒定磁场问题，我们可以选择约束条件 （2.44）从磁感应强度的计算公式，可得到矢量磁位与电流之间的关系，由式（2.36）已知则利用矢量恒等式则如前所述于是这样磁感应强度的表达式可写为由于积分和微分是对两组不同的变量，因而可改变次序，上式改写为该式与式（2.43）比较，可得（2.45）对于体电流分布和面电流分布情况，同理，可写出矢量磁位与电流密度的关系式（2.46）和（2.47）从式（2.45），式（2.46）和式（2.47）中可以看出，矢量磁位的方向与电流元的方向相同，大小与电流元到场点的距离成反比。矢量磁位的引入，又提供了一种求解磁感应强度的方法。在多数情况下，矢量磁位的计算比直接计算磁感应强度要容易一些。【例2-6】试求电流为I,半径为a的小圆环在远离圆环处的磁感应强度。解选用球坐标系，如图2.12（a）所示。先求由圆环在坐标系中的位置，判定因为不是常矢量，所以