高考数学二轮复习 第一篇 求准提速 基础小题不失分 第3练 复数练习 文试题

第3练复数[明考情]复数是高考必考题，以选择题形式出现，题目难度为低档，多数在第一题或第二题的位置.[知考向]1.复数的概念.2.复数的运算.3.复数的几何意义.考点一复数的概念要点重组(1)复数：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部，i为虚数单位.若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数.(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(4)复数的模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，r∈R).1.设复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数z＋eq\f(1,z)的虚部是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)iC.eq\f(3,2) D.eq\f(3,2)i答案A解析因为z＝1＋i，所以z＋eq\f(1,z)＝1＋i＋eq\f(1,1＋i)＝1＋i＋eq\f(1－i,2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(i,2)，所以虚部为eq\f(1,2)，故选A.2.(2017·全国Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D.2答案C解析方法一由(1＋i)z＝2i，得z＝eq\f(2i,1＋i)＝1＋i，∴|z|＝eq\r(2).故选C.方法二∵2i＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得z＝1＋i，∴|z|＝eq\r(2).故选C.3.设复数z满足eq\f(1＋z,1－z)＝i，则|z|等于()A.1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D.2答案A解析由eq\f(1＋z,1－z)＝i，得1＋z＝i－zi，∴z＝eq\f(－1＋i,1＋i)＝i，∴|z|＝|i|＝1.4.已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反过来(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，则a2－b2＝0，2ab＝2，解得a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1，故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件，故选A.5.(2016·江苏)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________.答案5解析z＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i.故z的实部为5.6.复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是虚数，则实数答案{m|m≠6且m≠－1}考点二复数的运算方法技巧复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.7.(2017·山东)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2等于()A.－2i B.2iC.－2 D.2答案A解析方法一∵z＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(1＋i－i,i－i)＝1－i，∴z2＝(1－i)2＝－2i.方法二∵(zi)2＝(1＋i)2，即－z2＝2i，∴z2＝－2i.故选A.8.已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z等于()A.3－4i B.3＋4iC.－3－4i D.－3＋4i答案A解析由题意得z＝eq\f(25,3＋4i)＝eq\f(253－4i,3＋4i3－4i)＝eq\f(253－4i,25)＝3－4i，故选A.9.设i是虚数单位，eq\x\to(z)表示复数z的共轭复数.若z＝1＋i，则eq\f(z,i)＋i·eq\x\to(z)等于()A.－2 B.－2iC.2 D.2i答案C解析由题意知，eq\f(z,i)＋i·eq\x\to(z)＝eq\f(1＋i,i)＋i(1－i)＝eq\f(1＋ii,i2)＋1＋i＝1－i＋1＋i＝2，故选C.10.复数eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2＝________.答案－1解析eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(1＋i2,1－i1＋i)＝eq\f(2i,2)＝i，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2＝i2＝－1.11.已知i为虚数单位，若复数z＝eq\f(1－ai,1＋i)(a∈R)的虚部为－3，则|z|＝________.答案eq\r(13)解析因为z＝eq\f(1－ai,1＋i)＝eq\f(1－ai1－i,2)＝eq\f(1－a－a＋1i,2)＝eq\f(1－a,2)－eq\f(a＋1,2)i，所以－eq\f(a＋1,2)＝－3，解得a＝5，所以z＝－2－3i，所以|z|＝eq\r(－22＋－32)＝eq\r(13).考点三复数的几何意义要点重组(1)复数z＝a＋bieq\o(,\s\up7(一一对应))复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(,\s\up7(一一对应))平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).12.复平面内表示复数i(1－2i)的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案A解析因为复数z＝i(1－2i)＝i－2i2＝2＋i，它在复平面内对应点的坐标为(2，1)，位于第一象限.13.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2等于()A.－5 B.5C.－4＋i D.－4－i答案A解析由题意知，z2＝－2＋i，所以z1z2＝－5，故选A.14.(2016·全国Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A.(－3，1) B.(－1，3)C.(1，＋∞) D.(－∞，－3)答案A解析由复数z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3>0，,m－1<0，))解得－3<m<1，故选A.15.已知复数z＝eq\f(i＋i2＋i3＋…＋i2017,1＋i)，则复数z在复平面内对应的点位于第_______象限.答案一解析因为i4n＋k＝ik(n∈Z)，且i＋i2＋i3＋i4＝0，所以i＋i2＋i3＋…＋i2017＝i，所以z＝eq\f(i,1＋i)＝eq\f(i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(1＋i,2)，对应的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，在第一象限.16.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，则|z1＋z2|＝_________.答案2解析由题意知，z1＝－2－i，z2＝i，∴z1＋z2＝－2，∴|z1＋z2|＝2.1.设z1，z2∈C，则“z1，z2中至少有一个数是虚数”是“z1－z2是虚数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案B解析若虚数z1，z2的虚部相等，则z1－z2是实数，故充分性不成立；又若z1，z2全是实数，则z1－z2不是虚数，故必要性成立.故选B.2.设x，y为实数，且eq\f(x,1－i)＋eq\f(y,1－2i)＝eq\f(5,1－3i)，则x＋y＝______.答案4解析由题意得eq\f(x,2)(1＋i)＋eq\f(y,5)(1＋2i)＝eq\f(5,10)(1＋3i)，∴(5x＋2y)＋(5x＋4y)i＝5＋15i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋2y＝5，,5x＋4y＝15，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝5，))∴x＋y＝4.解题秘籍(1)复数的概念是考查的重点，虚数及纯虚数的意义要把握准确.(2)复数的运算中除法运算是高考的热点，运算时要分母实数化(分子分母同乘以分母的共轭复数)，两个复数相等的条件在复数运算中经常用到.1.(2017·全国Ⅱ)eq\f(3＋i,1＋i)等于()A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i答案D解析eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(3－3i＋i＋1,2)＝2－i.2.复数z＝eq\f(1＋i,1－2i)的虚部为()A.－eq\f(1,5)B.eq\f(1,5)C.－eq\f(3,5)D.eq\f(3,5)答案D解析z＝eq\f(1＋i,1－2i)＝eq\f(1＋i1＋2i,1－2i1＋2i)＝－eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)i，所以其虚部为eq\f(3,5).3.若复数z满足eq\f(z,1－i)＝i，其中i为虚数单位，则eq\x\to(z)等于()A.1－i B.1＋iC.－1－i D.－1＋i答案A解析∵eq\f(z,1－i)＝i，∴z＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i，∴eq\x\to(z)＝1－i.4.设i是虚数单位，则复数eq\f(2i,1－i)在复平面内所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(2ii＋1,2)＝－1＋i，由复数的几何意义知，－1＋i在复平面内的对应点为(－1，1)，该点位于第二象限，故选B.5.eq\f(1＋i3,1－i2)等于()A.1＋i B.1－iC.－1＋i D.－1－i答案D解析由已知得eq\f(1＋i3,1－i2)＝eq\f(1＋i21＋i,1－i2)＝eq\f(2i1＋i,－2i)＝－1－i.6.若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a等于()A.－1B.0答案B解析因为a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得7.eq\x\to(z)是z的共轭复数，若z＋eq\x\to(z)＝2，(z－eq\x\to(z))i＝2(i为虚数单位)，则z等于()A.1＋i B.－1－iC.－1＋i D.1－i答案D解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\x\to(z)＝a－bi.由z＋eq\x\to(z)＝2，得a＝1，由(z－eq\x\to(z))i＝2，得b＝－1，所以z＝1－i，故选D.8.“复数z＝eq\f(3＋ai,i)在复平面内对应的点在第三象限”是“a≥0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案D解析由题意得z＝a－3i，若z在复平面内对应的点在第三象限，则a＜0，故选D.9.已知a＞0，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋i,i)))＝2，则a等于()A.2 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D.1答案B解析eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋i,i)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－ai＋1,1)))＝eq\r(－a2＋1)＝2，即a2＝3.又∵a＞0，∴a＝eq\r(3).10.已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则复数z的实部是____________.答案21解析由题意知z＝(5＋2i)2＝25＋2×5×2i＋(2i)2＝21＋20i，其实部为21.11.(2016·天津)已知a，b∈R，i是虚数单位，若