4-3 角（单元教学设计）七年级数学上册（人教版）

4.3角(单元教学设计)通过一些实物图，抽象出其中的角，并学会归纳总结出角的概念与意义，并学会角的计算；掌握角的概念及表示方法，学会比较角的大小，理解角的和、差、倍、分的意义，同时也理解余角和补角的概念与(1)构造生活中的具体情境，让学生通过实例归纳总结出角的概念和性质，角的表示方法，并学会比(3)通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑推理素养；(4)在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转化的数学思想，(5)通过观察图片，提高学生的观察事物的能力，同时激发学生的学习兴趣，提升学生的人文素养；(2)和为180°的两个角互补.8.方位角本节内容主要是角的计算与应用，掌握角的两种定义及表示方法，并在图形中认识角、熟悉角的表示方法；会比较角的大小，理解两个角的和、差、倍、分的意义；在具体情境中认识余角和补角，掌握余角理解度分秒的换算，会进行简单的计算；掌握角平分线的概念，能够利用角平分线的定义解决相关计算问题，会用量角器画角的平分线；经历比较角的大小、用量角器画角平分线、用折纸法确定角平分线的理解两个角的和、差、倍、分的意义；在具体情境中认识余角和补角，解决相关计算问题，会用量角器画角的平分线；经历比较角的大小、用量角器画角平分线、用折纸法确定角平分线的过程，积累活动经验，培养动手操作能力；能利用余角和补角的性质进行计算和简单有一天聪聪和明明各带了一把折扇(状态如下).聪聪：“我的折扇张开大一些，所以我的折扇的角也大一些”.让学生观察意大利著名建筑比萨斜塔.比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次很长的时间，历经约二百年才完工.设计为垂直建造，但是问题1:(角的定义)下列关于角的说法正确的个数是()③在角一边延长线上取一点D;④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.【破解方法】本题主要是对角的定义的考查，正确理解角的定义是解题的关键：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，需要熟练掌握.【解析】①角是由有公共端点的两条射线组成的图形，错误；②角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，错误；③角的边是射线，不能延长，错误；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，说法正确.所以只有④正确.故选A.ACBD【破解方法】角的两个基本元素中，边是两条射线，顶点是这两条射线的公共端点.解题时要善于排除一些似是而非的说法的干扰，选出能准确描述“角”的说法.用三个大写字母表示角，表示角顶点的字母在中间.【解析】在角的顶点处有多个角时，用一个字母表示这个角，这种方法是错误的.所以A、C、D错误，问题3:(判断角的数量)如图所示，在∠AOB的内部有3条射线，则图中角的个数为()【解析】可以根据图形依次数出组成角的个数；或者根据公式求图中角的个数是：问题4:(角的度量)(1)用度、分、秒表示48.26°;(2)用度表示37°24′36”.【破解方法】用度、分、秒表示的角度和用度表示的角度的相互转化的过程正好相反：大单位化小单位，乘以进率；而小单位化大单位要除以进率.【解析】(1)度、分、秒是常用的角的度量单位.根据1度=60分，即1°=60′,1分=60秒，即1'=60”把大单位化成小单位乘以60即可；(2)根据度分秒之间60进制的关系计算.解：(1)48.26°=48°+0.26×60′=48°15′+0.6×60"=48°15'36";(2)根据1°=60',1′=60”得36"÷60=0.6',24.6'÷60=0.41°,所以37°24′36”用度来表示为37.41°,4.3.2角的比较与运算问题5:(角的比较)如图，射线OC,OD分别在∠AOB的内部，外部，下列各式错误的是()【破解方法】此题主要考查了角的比较大小，解题的关键是掌握角比较大小的方法.问题6:(利用角平分线进行角度的计算)如图，∠AOB=120°,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.【破解方法】能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的概念是解题的关键.问题7:(利用三角板叠合进行角度的计算)如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点0,则∠AOC+∠DOB=()【破解方法】此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通几个角之间的关系.A.58°B.45°C.60°【破解方法】掌握折叠的性质，要善于发现题中的隐含条件：折叠前后两图形是完全重合的，其角不【解析】∵将矩形ABCD沿EF折叠，C点落在C',D点落在D'处，∠EFC=119°=119°,∠EFB=180°-∠EFC=61°,∴∠BFC¹=∠EFC'-∠EFB=119°-61°=58°,问题9:(角度的换算)计算：【破解方法】角度的运算规律为：(1)加减法时将同一单位进行加减，加法够60进1,减法不够减要借1当60;(2)乘法时将数与度、分、秒分别相乘，然后从小到大逢60进1;(3)除法时用度先除，把余数化为分，再加上原来的分，用这个数除以除数，把余数化成秒，再加上原来的秒，再用这个数除以除数，如果除不尽，就按题意要求，进行四舍五入.【解析】(1)相同单位相加，超过60向上一位进1即可；(2)先借1°化为分和秒，然后同一单位分别相减即可得解；(3)每一个单位分别乘以4,分、秒超出60的部分向上一个单位进1即可；(4)从度开始计算，余数乘以60继续除以3进行计算即可得解.解：(1)153°29′42”+26°40′32"=179°69’74"=180°10'14";4.3.3余角和补角=15°.问题10:(余角和补角的概念)如果a与β互为余角，则()【破解方法】正确记忆互为余角的定义是解决问题的关键.【解析】如果a与β互为余角，则a+β=90°问题11:(利用余角和补角计算求值)已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°,求∠B的度数.【破解方法】此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方【解析】根据∠A与∠B互余，得出∠A+∠B=90°,再由∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°,从而得到∠A=3∠B+30°,再把两个算式联立即可求出∠2的值.解：∵∠A与∠B互余，∴∠A+∠B=90°,又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°,∴∠A=3∠B+30°,∴3∠B+30°+∠B=90°,解得∠B=15°.故∠B的度数为15°.问题12:(余角、补角和角平分线的综合计算)如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC=90°,OM、【破解方法】本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的和差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合.【解析】根据补角的性质，可得∠AOB+∠COM=180°,根据角的和差，可得∠AOB+∠BOM=90°,根据角平分线的性质，可{.根据解方程，可得∠400的度数，根据角的和差，可得答案.问题13:(利用方位角确定方向)M地是海上观测站，从M地发现两艘船A、B的方位如图所示，下A.船A在M的南偏东30°方向B.船A在M的南偏西30°方向C.船B在M的北偏东40°方向D.船B在M的北偏东50°方向【破解方法】用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，【解析】船A在M的南偏西90°-30°=60°方向，故A、B选项错误；船B在M的北偏东90°-50°=40°方向，故C正确，D错误.故选C.问题14:(方位角的有关计算)如图所示，甲、乙、丙三艘轮船从港口O出发，当分别行驶到A、B、C处时，经测量得甲船位于港口的北偏东44°方向，乙船位于港口的北偏东76°方向，丙船位于港口的北偏西45°方向.【破解方法】解决本题主要是理解方向角的表示方法，结合图形找到相应的角，然后进行计算.(2)由甲船位于港口的北偏东44°方向，乙船位于港口的北偏东76°方向，得∠EOB=76°,∠EOA=1.课前预习设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.1.(2023上·全国·七年级专题练习)把7.26°用度、分、秒表示正确的是()A.7°2'12”B.7°2'6"C.7°15'36”D.7°15'6”【答案】【答案】C【分析】本题考查度、分、秒的换算.运用度、分、秒的换算方法运算即可.【详解】解：∵1⁰=60',2.(2023上·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中)如图，OB平分∠AOC,则∠AOD-∠BOC等【分析】本题主要考查了角的和差关系和角平分线的定义.解题的关键是找准角与角之间的位置和数量关系，用和差的形式表示出来.【详解】解：∵OB平分∠AOC,3.(2022上·云南红河·七年级统考期末)学校操场上，你站在李老师北偏东45°28'36”的方向，那么李老师站在你的()A.北偏西45°28'36”B.北偏西4431'24”C.南偏西45°2836”D.南偏西4471'64”【分析】根据方位角的定义，进行计算即可解答.【点睛】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键.4.(2023上·河北石家庄·七年级校考期中)103°2428”+30°54”=.5.(2023上湖北武汉·九年级统考期中)钟表的指针在不停地转动，从3时到5时，时针转动了_度.【答案】【答案】603时到5时，转动两个刻度，角度为30°×2=60°.故答案为：60.【答案】20【分析】角在放大镜下大小不变，据此解答.故答案为：20.【点睛】本题考查了角的概念，熟知角的特性是关键.7.(2023上·河北承德·七年级统考期中)如图，∠AOC=90°,OC平分∠DOB,且∠DOC=2535',求【答案】∠【答案】∠BOA=64°25’【详解】∵OC平分∠DOB,且∠DOC=25°35’8.(2023下·广东河源·七年级校考开学考试)如图，已知∠AOC=BOD=70°,∠BOC=31°,求∠AOD的度数.则∠DOC+∠BOC=∠AOB+∠BOC,即可.根据【点睛】本题考查角的度量，解题的关键是掌握各角之间的等量关系，进行角的计算.9.(2023上·河北唐山·七年级统考期中)如图，在同一平面内有任意四个点A、B、C、D·DA℃B*(2)若小明在(1)的基础上测量∠ABD=6142'15”,∠CBD=15°30',求∠ABC的度数；(3)若(1)(2)基础上，小亮又测量∠BDC=15.5°,比较∠BDC与∠CBD的大小关系.(2)根据∠ABC=∠ABD+∠CBD即可求解；(3)将角度的单位统一，即可比较.(2)解：∵∠ABD=61°4215”,∠CBD=1530',∴∠ABC=6142'15"+15°30=77°12'15"(3)解：∵∠CBD=15°30'=15.5°又∵∠BDC=15.5°【点睛】本题考查了几何图中角度的简单求解.注意计算的准确性.1.(2023上·陕西西安·七年级高新一中校考期中)36.33°用度、分、秒表示正确的是()【分析】考查了度分秒的换算，根据1度等于60分，1分等于60秒，36.33°由大单位转换成小单位乘以60,按此转化即可.分秒化为度时用除法，而度化为分秒时用乘法.2.(2023上·甘肃武威·六年级校考期中)如图，一艘轮船向正北方向航行，下面说法正确的是().A.灯塔1在轮船的北偏西50°方向50千米处.B.灯塔2在轮船的北偏东40°方向30千米处.C.灯塔1在轮船的北偏西40°方向50千米处.D.灯塔2在轮船的北偏东40°方向40千米处.【分析】本题重点考查以方向和距离确定物体位置的方法，解答时关键在于读懂图中方向和比例尺.【详解】解：A、灯塔1在轮船的北偏西5B、灯塔2在轮船的北偏东40°方向30千米处，故原说法正确，符合题意；C、灯塔1在轮船的北偏西50°方向40千米处，故原说法错误，不符合题意；D、灯塔2在轮船的北偏东40°方向30千米处，故原说法错误，不符合题意；3.(2023上·河北沧州·七年级校考期中)把一副三角尺按如图所示拼在一起，其中B、C、D三点在同一直线上，CM平分∠ACB,CN平分∠DCE.则∠MCN的度数为()【答案】150A.127.5°B.128°C.130.5°【答案】【答案】A【分析】本题主要考查了角平分线的性质；利用角平分线的基本性质来计算角度即可.【详解】解：由一副三角尺按如图所示拼在一起且B、C、D三点在同一直线上∵CM平分∠ACB,CN平分∠DCE,4.(2023上·辽宁沈阳·七年级校考期中)亲爱的同学，按正常做题速度，北京时间上午8:10,你应该做到此题了，8;10这个时刻钟表上的时针和分针的夹角度数是(要求：夹角度数小于180°).【分析】本题主要考查时钟的时针和分针的夹角，表盘平均分成12等份，每份为30°,且分钟每走动1°时针走动,结合起点相同和走动偏离角即可解得答案.【详解】解：上午8:10时针和分针在8和2的位置，夹角为30°×(8-2)=180°,但时针偏离到9的度数为,夹角度数为180°+5°=185°,故时刻钟表上的时针和分针的夹角度数360故答案为：175°.5.(2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考期中)如图，OB⊥OD,OC⊥OA,【分析】本题主要考查了角的和差关系，根据题意解题即可.【分析】本题主要考查了角的和差关系，根据题意解题即可.故答案为：150.6.(2023上·广东惠州·八年级统考期中)一束光在空气与某透明物质的界面处发生了反射和折射现象，其光路如图所示.入射光线AO与界面的入射角为50°,折射角为70°,则反射光线与折射光线形成的【分析】本题主要考查了利用光的反射定律和折射定律求角的度数，掌握光的反射键.过点O作法线MN,由MN⊥界面、入射角等于反射角即可求解.【详解】解：过点O作法线MN,得到MN⊥界面，7.(2023上·河北唐山·七年级统考期中)如图，已8.(2022上·广东惠州·七年级惠州一中校考期末)如图，0为直线AB上一点，∠AOC=40°,OD平分∠AOC,∠DOE=90°.(2)请判断OE是否平分∠BOC,并说明理由.【答案】【答案】(1)∠BOD=160°,分∠BOC【详解】(1)解：∵∠AOC=40°,OD即可得到OE平(2)OE平分∠BOC;【点睛】本题考查了角平分线定义，角的和差计算，准确识别各角之间的关系是解题的关键.9.(2023上·陕西西安·七年级高新一中校考期中)将一副直角三角板ABC和BDE的一个顶点B重合在一起，按如图所示方式摆放，其中∠ACB=∠DBE=90°,∠ABC=30°,三角板ABC在∠DBE内可任意转动(2)求以点B为顶点的所有锐角的度数和.(1)根据锐角的概念求解即可；(2)根据∠DBA+∠ABC+∠EBC=∠DBE即可求解.,,∴以点B为顶点的所有锐角有∠DBA,∠EBC,∠ABC,共3个；解题的关键是熟练掌握直角三角板中角度的性质，锐角的概念.小于90°的角是锐角.3.课后作业设计意图：巩固提升.1.(2022上·湖北宜昌·七年级统考期末)如图，A、O、B在一条直线上，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，则∠DOE的度数是()A.80°B.90°C.100°D.不确定【答案】B【分析】根据角平分线的性质可得,再结合∠AOC+∠BOC=180°,即可获得答案.【详解】解：∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，,,【点睛】本题主要考查了补角、角平分线等知识，熟练掌握相关知识是解题关键.2.(2023上·江苏常州·七年级统考期末)若∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系是()由②-①得：∠3-∠1=90°,【点睛】本题考查了余角和补角，解决本题的关键是要记住互为余角的两个角的和为903.(2023下·山东菏泽·七年级统考期末)如图，OEA.25°A.25°B.30°C.40°【分析】根据角平分线的定义和角的运算求解即可.【详解】解：∵OE平分∠AOC,OD平分∠BOC,∠1=15°,,【点睛】本题主要考查角平分线的定义和角度的运算，熟练掌握与角平分线的有关键.,,,4.(2023上·江苏南通·七年级校考阶段练习)如图，直线AB,CD交于点O.射线OM平分∠AOC,,【分析】根据对顶角相等得到∠AOC=∠BOD=48°,利用角平分线的性质求出角求出∠BOC,利用角的和，即可解答.故答案为：156°.【点睛】本题考查对顶角和邻补角，角平分线的定义，解决本题的关键是熟记对顶角和邻补角的定义.5.(2023上·广西防城港·八年级统考期中)如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O,【答案】【答案】65【分析】此题考查了角的计算，根据角度和差即可求解，解题的关键是熟练掌握角度和差计算.故答案为：65.则∠AOD=【答案】80°/80度【答案】80°/80度【分析】本题先由平角的定义得出∠AOC=100°,【详解】解：∵∠AOB+∠AOC=180°,∠AOB=80°,,且∠AOC=∠COD+∠AOD,故答案为：80°.【点睛】本题主要考查了平角的定义和角的计算，解答本题的关键是理解平角的概念.即可求出结果.再由已和条件7.(2023上·江西抚州·七年级校联考期中)如图，0是直线AB上一点，OD平分∠BOC,∠COE=90°.(2)若∠AOC=α,则∠DOE=