自主招生数学解读(二)

高校自主招生试题热点解读但通过对各高校的自主招生试题的分析来看，自主招生试题的命题热点，除了集中于高考所要求的热点问题以外，还集中在以下几个方面：一.方程论的相关知识二.函数的性质三.函数与方程四.不等式的扩充五.数列的递推六.复数的扩充*七.简单的整数理论*八.组合数学*（带有*号的主要是清华、中科大、浙大等名校考查）第一页第二页，共46页。1.方程论的相关知识方程论的问题在自主招生考试中占有相当大的比例.所关心话题的主要有四个方面：方程有没有根？何时有根？如果有根有多少个根？方程的根是什么？第二页第三页，共46页。1.方程论的相关知识第三页第四页，共46页。1.方程论的相关知识第四页第五页，共46页。1.方程论的相关知识第五页第六页，共46页。1.方程论的相关知识第六页第七页，共46页。1.方程论的相关知识其实本题，我们可以非常容易地利用观察法发现x=5是原方程的一个根，但利用观察法的缺点是会减根，不能找到全体的根.确定唯一性的方法是多种多样的，构造函数证明该函数的单调性来进行说明唯一性是我们最常用的一种方法.但对本题而言，直接证明单调性却很难做出，应该首先对根所在的区间进行缩小范围，再来证明其单调性.类似的题目在2009年的南京大学的自主招生试题中也有所体现，例如：第七页第八页，共46页。1.方程论的相关知识第八页第九页，共46页。1.方程论的相关知识第九页第十页，共46页。1.方程论的相关知识第十页第十一页，共46页。1.方程论的相关知识第十一页第十二页，共46页。2.函数的性质函数的特征是通过其性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性等）反映出来的，有关概念在高中数学讲述得较为明白，在此不再赘述，这里只补充一些在自主招生中常用的知识：第十二页第十三页，共46页。2.函数的性质第十三页第十四页，共46页。2.函数的性质第十四页第十五页，共46页。2.函数的性质第十五页第十六页，共46页。2.函数的性质第十六页第十七页，共46页。2.函数的性质当然，本题的证法不止是一种，但这种证法是最简单的.其余的证法见《决胜自主招生》一书的第87页.第十七页第十八页，共46页。2.函数的性质第十八页第十九页，共46页。2.函数的性质第十九页第二十页，共46页。2.函数的性质第二十页第二十一页，共46页。2.函数的性质其余的证明方法见《决胜自主招生》第88页.第二十一页第二十二页，共46页。3.函数与方程函数与方程主要有两方面的内容：用函数思想解决方程有关的问题，这一点在前我的例题中我们已多次用到；解函数方程.含有未知函数的等式叫做函数方程，能使函数方程成立的函数，叫做函数方程的解.求解函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫做解函数方程.第二十二页第二十三页，共46页。3.函数与方程这里我们主要讨论解函数方程的办法.解函数方程的主要方法有以下几种：1.换元法2.赋值法3.迭代法4.柯西法5.待定系数法6.不动点法第二十三页第二十四页，共46页。3.函数与方程第二十四页第二十五页，共46页。3.函数与方程第二十五页第二十六页，共46页。3.函数与方程第二十六页第二十七页，共46页。4.不等式的扩充第二十七页第二十八页，共46页。4.不等式的扩充第二十八页第二十九页，共46页。4.不等式的扩充第二十九页第三十页，共46页。4.不等式的扩充第三十页第三十一页，共46页。4.不等式的扩充第三十一页第三十二页，共46页。4.不等式的扩充第三十二页第三十三页，共46页。4.不等式的扩充第三十三页第三十四页，共46页。4.不等式的扩充第三十四页第三十五页，共46页。4.不等式的扩充第三十五页第三十六页，共46页。4.不等式的扩充第三十六页第三十七页，共46页。4.不等式的扩充第三十七页第三十八页，共46页。5.数列的递推递推数列常用的问题主要集中在两个方面：求通项问题；求计数问题.求通项问题主要有以下几种方法：1.转化法；2.累加法；3.待定系数法；4.特征根法；5.不动点法；6.代换法.第三十八页第三十九页，共46页。5.数列的递推第三十九页第四十页，共46页。5.数列的递推第四十页第四十一页，共46页。5.数列的递推第四十一页第四十二页，共