【公开课】正弦函数、余弦函数的性质（第二课时单调性与最值）课件人教A版（2019）必修第一册

第五章5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第二课时

单调性与最值学习目标思维导图1.掌握y=sinx,y=cosx的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值.(数学运算)2.掌握y=sinx,y=cosx的单调性,并能利用单调性比较大小.(数学运算)3.会求函数y=Asinx(ωx+φ)及y=Acosx(ωx+φ)的单调区间.(逻辑推理)换元法复习回顾正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性探究新知

↗0↗↗↗-1↗0↗1↘0↘-1

正弦函数的最值

知识梳理正弦函数余弦函数图像单调性在

(k∈Z)上单调递增，在

(k∈Z)上单调递减在

(k∈Z)上单调递增，在

(k∈Z)上单调递减x＝

(k∈Z)时，ymax＝1；x＝

(k∈Z)时，ymin＝－1最值x＝

(k∈Z)时，ymax＝1；x＝

(k∈Z)时，ymin＝－1对称性对称中心为.对称轴为

.对称中心为.对称轴为.

请同学们课后类比正弦函数性质的探究过程，进行对余弦函数性质的探究并完成表格。知识梳理正弦函数余弦函数图像单调性在

(k∈Z)上单调递增，在

(k∈Z)上单调递减在

(k∈Z)上单调递增，在

(k∈Z)上单调递减x＝

(k∈Z)时，ymax＝1；x＝

(k∈Z)时，ymin＝－1最值x＝

(k∈Z)时，ymax＝1；x＝

(k∈Z)时，ymin＝－1对称性对称中心为.对称轴为

.对称中心为.对称轴为.

[2kπ－π，2kπ][2kπ，2kπ＋π]2kπ2kπ＋π

说明：对单调区间的理解(1)k取Z内的每一个值,都对应着一个单调递增区间及单调递减区间,这些区间是断开的.(2)正弦函数在每个闭区间

(k∈Z)上是增函数，并不是在整个定义域上是增函数，同样的，余弦函数在每个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数，并不是在整个定义域上是减函数.(3)正弦函数或余弦函数取最值时,对应着图象的最高点或最低点.学以致用题型一：求三角函数的单调区间分析(1)可采用整体换元法并结合正弦函数、余弦函数的单调区间求解;(2)可先将自变量x的系数转化为正数再求单调区间.

反思感悟求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间，要先把ω化为正数:①当A>0时，把ωx＋φ整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调递增区间内，求得的x的范围即函数的单调递增区间；放入y＝sinx或y＝cosx的单调递减区间内，可求得函数的单调递减区间．②当A<0时，把ωx＋φ整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调递增区间内，求得的x的范围即函数的单调递减区间；放入y＝sinx或y＝cosx的单调递减区间内，可求得函数的单调递增区间．单调区间的求解技巧反思感悟单调区间的求解技巧提醒：求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，把ωx＋φ看作一个整体，借助y＝sinx的单调区间来解决．当A<0或ω<0时，要注意原函数的单调性与y＝sinx的单调性的关系．学以致用题型二：单调性在三角函数中的应用角度1

利用单调性比较三角函数值的大小例2.比较下列各组数的大小:(1)sin220°与sin230°;学以致用角度2

已知三角函数的单调情况求参数问题

√反思感悟(1)通常利用诱导公式化为锐角三角函数值;(2)不同名的函数化为同名函数;(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间.比较三角函数值大小的方法学以致用题型三：函数的最大（小）值及值域问题例4.求下列函数的值域：(2)y＝cos2x－4cosx＋5.解(2)y＝cos2x－4cosx＋5，令t＝cosx，则－1≤t≤1.y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，当t＝－1，函数取得最大值10；t＝1时，函数取得最小值2，所以函数的值域为[2,10].反思感悟求三角函数值域的常用方法(1)求解形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1)求解.求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性.(2)求解形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sinx(或cosx)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t＝sinx(或cosx)的有界性.素养养成三

角

函

数

对

称

性

的

应

用答案

(1)B

(2)A方法技巧小试牛刀1.求下列函数的单调区间(1)y＝cos2x；2.比较下列各组数的大小(2)sin194°与cos160°.1.(1)由2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)，（2）sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°