八年级数学下册《菱形的性质与判定》单元测试卷及答案

八年级数学下册《菱形的性质与判定》单元测试卷及答案

选择题（共10小题，满分40分）

1.如图，在菱形A8C。中，对角线AC与8。相交于点O,且AC=12,80=16,则菱形的高4后为（）

A.9.6B.4.8C.10D.5

2.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得

=60°,对角线AC=10C7〃，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线4c的长为（）

C.30cmD.10A/2C/M

3.如图，在菱形A8C。中，ZBAD=60°,连接AC,BD,若80=8,则AC的长为（

A.4>/3B.8C.873D.16

4.如图，菱形OA8C的边OA在平面直角坐标系中的x轴上，NAOC=60°,04=4,则点C的坐标为（)

(2«,2)C.(2泥，273)D.(2,2)

5.如图，菱形ABC。的边长为3,过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和A。的延长线于点E,F,

AE=4,则四边形AECF的周长为（)

C.18D.16

6.如图，四边形A8CD是麦形，对角线AC,8。交于点O,E是边A。的中点，过点E作£尸，8。，EGL

AC,点、F,G为垂足，若AC=10,50=24,则FG的长为（）

A.5B.6.5C.10D.12

7.如图，在菱形ABC。中，尸是对角线AC上一动点，过点P作PEJ_8c于点E.PFLAB于点F.若菱形

ABC。的周长为24,面积为24,：）

>Dn.-4--8-

5

8.如图，在正五边形月BCDE■的内部作菱形ABCF,则/次E的度数为（）

36°D.40°

CE//BD,则△BDE'的面积为（）

3D.遮

10.如图，在菱形ABCD和菱形8EFG中，点4、B、£在同一直线上，P是线段。尸的中点，连接PG,PC.若

NABC=NBEF=60°,则型=（）

C.孚。・孚

二.填空题（共8小题，满分40分）

11.如图，四边形ABC。中，AD//BC,NC=90°,AB=AD,连接BD,作NBA。角平分线AE交B。、

BC于点F、E.若EC=3,C£）=4,那么AE长为

12.有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6,按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形周长

13.如图，在菱形ABC。中，点E是AB上的一点，连接OE交AC于点O,连接80,且乙4EO=50°,

则NCBO=度.

14.如图在RtAuABC中，NAC8=90°,AC=4,BC=3,。为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四

边形CDEB,当AO=,平行四边形CDE8为菱形.

15.如图，在菱形ABCQ中，ZB=45°,BC=2英,E,尸分别是边C£>,BC上的动点，连接AE,EF,

G,H分别为AE,EF的中点，连接GH,则G4的最小值为.

16.如图，在平面直角坐标系中，是以菱形ABCC的对角线AC为边的等边三角形，AC=2,点C

与点E关于x轴对称，则点D的坐标是

17.如图，菱形ABCO和菱形BEFG的边长分别是5和2,乙4=60°,连接。尸，则力尸的长为

18.如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=BC=6cm,点尸从点A出发，沿A8方向以每秒圾的

速度向终点8运动；同时，动点。从点B出发沿BC方向以每秒1C7”的速度向终点C运动，将△PQC

沿8c翻折，点尸的对应点为点P',设。点运动的时间为，秒，若四边形QPCP为菱形，则r的值

为.

三.解答题（共6小题，满分40分）

19.在RtZ\A8C中，NACB=90°,斜边AB=4,过点C作CF〃AB,以AB为边作菱形A8EF,若NBEF

20.如图，在菱形4BCD中，点E、尸分别为OC延长线、BC延长线上两点，AE,4尸分别与BC、CD交

于G,H两点，若NE=NF,求证：Z\ABG丝△ADH.

21.在菱形ABCQ中，NC=60°,E为CD边上的点，连接BE.

(1)如图1,若E为CO的中点且B£=3,求菱形ABC。的面积.

(2)如图2,点尸在BC边上，且DE=CF,连接DF交BE于点M,连接EB并延长至点N,使得BN

=DM,求证：AN=DM+BM.

22.在菱形ABC。中，ZABC=60°,E是对角线AC上任意一点，尸是线段BC延长线上一点，且CF=

AE,连接BE、EF.

(1)如图1,当E是线段AC的中点时，求证：BE=EF.

(2)如图2,当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断(1)中的结论是否成立？若成

立，请证明；若不成立，说明理由.

图1图2

23.菱形ABC。中，/A8C=60°,点E在AD上，连接BE,点尸、”在BE上，为等边三角形.

(1)如图1,若CELAQ,BE=V63，求菱形ABC。的面积；

(2)如图2,点G在AC上，连接FG,HC,若FG〃AH,HC=2AH,求证：AG=GC.

24.在菱形ABCZ)中，NABC=60°,E是对角线AC上任意一点，P是线段BC延长线上一点，且CF=

AE,连接BE、EF.

(1)如图1,当E是线段AC的中点时;求证：BE=EF.

（2）如图2,当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：.

（填“成立”或“不成立”）

（3）如图3,当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成

图1图2图3

参考答案

一.选择题（共10小题，满分40分）

1.解：在菱形A3CD中，AC=12,BD=16,

：.BO=—BD^S,OC=^AC=6,ACA.BD,

22

,,,BC=>/BO2+OC2=VS2+62=1。’

"：AE1BC,

：.S^ABCD=^AC*BD=^BC-AE,

22

.4C.AC-BD12X16CA

BC10

故选：A.

图1图2

图1中，•••四边形A8C。是菱形，

：.AB=BC,

VZB=60°,

•**/\ABC是等边三角形，

•*»AB=B（J=AC=1Oct?i,

在图2中，•.•四边形ABC。是正方形，

：.AB=BC,/B=90°,

...△ABC是等腰直角三角形，

.,.AC=&A8=10圾Cem）；

故选：D.

3.解：如图，设AC,BD交于O,

•••四边形4BC。是菱形，

：.AC1BD,AC=2AO,OD=—BD=4,ZDAO=—/DAB=?>0a,

22

：.AD=2OD=S,

♦,・40="口2_002=亚昼=4«'

；.AC=2AO=8五,

故选：C.

4.解：过C作CQ_LOA于O,如图:

则NODC=90°,

•.•四边形0ABe是菱形，

OC=OA=4,

；NAOC=60°,

：.ZCDO=90Q-NAOC=30°,

：.DD^—OC^2,

2

CZ)"VOC2-OD2：=V42-22=

...点C的坐标为(2,2«),

故选：A.

5.解：在菱形ABC。中，ZBAC=ZBCA9

9：AE±AC,

：.ZBAC+ZBAE=ZBCA+ZE=90°,

：.ZBAE=ZE,

：.BE=AB=3f

:・EC=BE+BC=3+3=6,

同理可得4尸=6,

•:AD〃BC,

・•・四边形AECF是平行四边形，

J四边形AEC/7的周长=2(AE+EC)=2(4+6)=20.

故选：B.

6.解：连接OE,

・・•四边形A3CQ是菱形,

：.0A=0C=5,03=。。=12,AC±BD,

在RtAWO中，3在2+口02:13,

又是边A。的中点，

0E-yAD=yX13=6.5-

'：EF±BD,EG1AC,AC1BD,

：.ZEFO=90Q,ZEGO=90°,NGOF=90°,

四边形E『OG为矩形，

：.FG=OE=6.5.

故选：B.

7.解：连接BP,如图，

•.•四边形ABC。为菱形，菱形ABC。的周长为24,面积为24,

BA—BC=6<S/\ABC=——S$)fiABCD=12,

2

•[S>ABC=SAPAB+S〉PBC,

.,.JLX6XPE+AX6XPF=12,

22

：.PE+PF=4,

故选：A.

8.解：・・•五边形A5CQE是正五边形,

：.ZBAE=ZABC=\OS0,

・・•四边形A8CF是菱形，

J.AF//BC,

：.ZABC+ZBAF=\SO°,

/.ZBAF=180°-108°=72°

AZFAE=ZBAE-ZBAF=108°-72°=36°.

故选：C.

•：CE//BD,

...点E到BD的距离等于点C到BD的距离，

/.4BDE边的高=CF,

:四边形A8C。是菱形，ZABC=60a,

：.BC=CD=2,Z£）BC=yz/ABC=30°，2BF=BD,

ACF=^BC=1，BF=M，

:.BD=2M，

△BOE的面积=/1X2«

故选：D.

10.解：如图，

延长GP交。C于点H,

•••尸是线段。F的中点，

:.FP=DP,

由题意可知DC//GF,

:.NGFP=NHDP,

'：ZGPF=ZHPD,

:.丛GFPq4HDP,

:.GP=HP,GF=HD,

••,四边形A8CZ）是菱形，

：.CD=CB,

：.CG=CH,

...△CHG是等腰三角形，

：.PGLPC,（三线合一）

又；NABC=NBE/;'=60°,

/.ZGCP=60°,

二.填空题（共8小题，满分40分）

11.解：连接

在直角三角形COE中，EC=3,。。=4,根据勾股定理，得DE=5.

'：AB=AD,AE上BD,

・・・AE垂直平分8DZBAE=ZDAE.

：.DE=BE=5.

U：AD//BC,

：.ZDAE=NAEB,

：.ZBAE=ZAEB,

：.AB=BE=5,

:・BC=BE+EC=8,

・•・四边形A8EO是菱形，

由勾股定理得出BD=JcD2+BC2=«42+82=幺后,

O£^VBE2-B02=752-(2V5)2=V5,

:.AE=2OE=2娓,

故答案为：2，"^.

12.解:如图所示：

由题意得：矩形ABCZ)也矩形BEDF,

AZA=90°,AB=BE=6,AD//BC,HF//DE,AD=S,

...四边形BGDH是平行四边形，

，平行四边形BG。”的面积=BGXAB=8HXBE,

：.BG=BH,

四边形BGOH是菱形，

：.BH=DH=DG=BG,

设BH=DH=x,则AH=8-x,

在RtZXABH中，由勾股定理得：62+(8-%)?=/,

解得：尸至，

4

：.BG=^~,

4

二四边形BGDH的周长=48G=25；

故答案为：25.

13.解：在菱形ABCD中，

AB//CD,：.ZCDO=ZAED=50°,

CD=CB,NBCO=NDCO,

...在△BC。和△DC。中，

'CD=CB

<ZBCO=ZDCO-

co=co

:.△BCg/\DCO(SAS),

：.ZCBO=ZCDO=50°.

故答案为50.

14.解：如图，连接CE交4B于点O.

：RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,

.,MB=^AC2+BC2=5(勾股定理).

若平行四边形CZJEB为菱形时，CELBD,且。。=08,CD=CB.

'：^AB-OC=^AC-BC,

22

•♦.T

.•.在RLdBOC中，根据勾股定理得，08=在12_“2=，_侍)2=_|

：.AD=AB-2OB=—.

5

故答案是：Z

5

15.解：连接A凡如图所示：

•.•四边形ABC。是菱形，

:.AB=BC=2M，

,：G,”分别为AE,E尸的中点,

；.GH是△4£'/的中位线，

：.GH=^AF,

2

当AF_LBC时，AF最小，GH得到最小值,

则NA尸B=90°,

VZB=45°,

...△ABF是等腰直角三角形，

...AF=*4B=^X2«=遍，

:.GH=®,

2

即GH的最小值为逅，

2

故答案为：逅.

16.解：如图，

「△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC=2,

：.CH=1,

・・・AH=夷，

VZABO=ZDCH=3O0,

：.DH=AO=^~,

3

，。。=逐-返-返=返,

333

点力的坐标是（返，0）.

3

故答案为：（返，0）.

延长尸G交AO于点M,过点。作。交AB于点，，交GF的延长线于点N,

；四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形，

C.GF//BE,EF//AM,

：.四边形AMFE是平行四边形，

：.AM=EF=2,MF=AE=AB+BE=5+2=7,

：.DM=AD-AM=5-2=3,

VZA=60°,

：.ZADH=30°,

:.MN=LDM=3,

22

"『MD?』产挈'NF=MF-MN=净,

在中，

RtaONF£>F=^DN2+NF2=V37,

故答案为：V37.

18.解：作PQ_LBC于。，PELACE,如图，AP=^^f,BQ=tcm,(0Wf<6)

VZC=90°,AC=8C=6c〃?，

...△ABC为直角三角形，

ZA—ZB=45°,

，/\APE和△PBO为等腰直角三角形，

J2

；・PE=AE=*~AP=tcm,BD=PD,

2

.\CE=AC-/4E=(6-Z)cm,

•・,四边形PECO为矩形，

APD=EC=(6-r)cm,

:・BD=(6-r)cm,

：.QD=BD-BQ=(6-21)cm,

在RtZXPCE中，PC2=PE2+CE2=t2+(6-/)2,

在RtZ\PDQ中，PQ1=PD2+DQ1=(6-t)2+(6-2t)2

•••四边形QPCP'为菱形，

：.PQ=PC,

：.P+(6-r)2=(6-z)2+(6-2t)2,

n=2,〃=6(舍去)，

的值为2.

解法二：由题意PE=§&=f,

V2

:四边形QPCP'为菱形，PDLCD,

：.QD=CD=t,

:.BD=BQ+QD=2t,

'：PD=EC=6-t,△PB。为等腰直角三角形，

：.BD=PD,即2f=6-r,

解得t=2.

故答案为：2.

B

三.解答题（共6小题，满分40分）

19.解：如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB,垂足为点〃、G,

:四边形A8EF为菱形，

：.AB^BE=4,

又；NBEF=150°,

：.ZABE=30°,

在RtZXBHE中，EH=2,

,JAB//CF,

根据平行线间的距离处处相等，

：.HE=CG=2,

：.RlAABC的面积为』X4X2=4.

2

20.证明：：四边形A8CO是菱形，

：.AB=AD,NB=ND,AB//CD,AD//BC,

：.4E=4BAG,NF=NDAH,

；NE=N尸，

：.4BAG=4DAH,

在△ABG和△AO”中，

，ZB=ZD

,AB=AD，

ZBAG=ZDAH

.,.△A8G丝△AOH(ASA).

21.解:(1)如图1中,

B

图1

・・•四边形A8CO是菱形，

；・AB=BC=CD=AD,

VZC=60°,

**•△BCD是等边三角形,

♦：DE=EC,

：.BE±CDf

:.EC=M，

:・CD=2EC=2g

・•・菱形ABC。的面积=CD・8E=6退.

(2)如图2中，连接AM,在MA上截取连接。H.

:.ABDE妾4DCF,

:"DBE=ZCDF,

：.NBMF=ZDBM+ZBDM=NCDF+NBDM=60°,

：.ZDMB=120°,

VZDAB+ZDMB=180°,

/.ZADM+ZABM=180°,

VZABN+ZABM=ISO°,

・・・/ABN=/ADM,

•・・AB=AO,BN=DM,

：.△ABN经△ADM,

：・/DAM=NBAN,AM=AN,

；・NMAN=/DAB=60°,

J△AMN是等边三角形，

/.ZAMB=ZAMD=60°,

":MH=MD,

是等边三角形，

:・DH=DM,ZADB=ZHDM=60°,

I./ADH=/BDM,

,:AD=DB,DH=DM.

：.△AD*△BOM,

•・・AM=A”+HM,

：.AN=AM=DM+BM.

22.(1)证明：•・,四边形ABC。是菱形，

：・AB=BC,

VZABC=60°,

.**/\ABC是等边三角形，

：.ZBCA=60°,

YE是线段AC的中点，

：.ZCBE=ZABE=30°,AE=CE,

■:CF=AE,

：・CE=CF,

：.ZF=ZCEF=^ZBCA=30°,

2

；.NCBE=NF=30°,

:.BE=EF；

(2)解：结论成立；理由如下：

过点E作EG〃8c交A8于点G,如图2所示:

•.•四边形4BCD为菱形，

：.AB=BC,ZBCD=120°,AB//CD,

：.ZACD=60°,ZDCF=ZABC=60°,

AZECF=120°,

又,.•/A8C=60°,

/.△ABC是等边三角形，

：.AB=AC,ZACB=60°,

又,：EG//BC,

：.^AGE=ZABC=60°,

又：/BAC=60°,

AAGE是等边三角形，

：.AG=AE=GE,N4GE=60°,

：.BG=CE,NBGE=120°=/ECF,

又；b=AE,

：.GE=CF,

在△BGE和尸中，

'BG=CE

<ZBGE=ZECF-

GE=CF

:.4BGE必ECF(SAS),

图2

23.(1)解：如图1中,

图1

•.•四边形4BCD是菱形，

：.AB=BC=CD=AD,ZABC=ZD=60°,AD//BC

.♦.△ABC,△ADC都是等边三角形，

'：CELAD,

：.AE=DE,BC±CE,设AE=OE=w,则AO=BC=2m,CE=^n,

在RtABCE中，•:8产=Cfi^+BC2,

.•.4,/+3%2=63,

.•・加=±3,

.••他=3,

：.BC=6,EC=3册,

菱形4BCO=3C・CE=18y.

(2)作CK〃AH交BE于点、K.

图2

・「△AF"是等边三角形，

AZAHF=ZAFH=60°,

■:AH//CK,

：.ZAHF=ZCKE=60°,

・"AFB=NBKC=120°,

VZABF+ZCBK=60°,ZCBK+ZBCK=60°,

・•・/ABF=/BCK,

•:AB=BC,

：.^ABF^/\B