导数的几何意义

导数的几何意义教学设计【教材分析】本节课选自北师大版高中数学选修1-1第三章第二节第二课时，导数是微积分的核心概念之一，它为研究函数提供了有效的方法。教材从形和数的角度即割线入手，用形象直观的“逼近〞方法定义了切线，获得导数的几何意义，学生通过观察、思考、发现、归纳、运用形成完整概念，有利于学生对知识的理解和掌握。通过本节的学习，可以帮助学生进一步理解导数的定义，并更好的体会导数是研究函数的单调性、求解函数的极值和最值，探讨函数值变化快慢等性质最有效的工具.【学情分析】选修1是文科学生学习的内容，学生学习兴趣较高，但独立探索，解决问题的能力稍差，数学语言的表达及数形结合的能力、对知识灵活运用的能力仍有缺乏.通过前两节对函数平均变化率和导数定义的学习，学生对有关导数的问题已经有了初步的认识，但是由于导数定义的抽象性，学生理解起来仍具有一定的困难。【教学目标】通过实验探求导数的几何意义，理解曲线在一点的切线的概念，会求简单函数在某点的切线方程。1〕经历切线定义的形成过程，培养学生分析、抽象、概括等思维能力；体会导数的思想及其含义，完善对切线的认识和理解。2〕通过逼近、数形结合思想的具体运用，使学生到达思维方式的迁移，了解科学的思维方法。3.情感、态度与价值观渗透逼近、数形结合、以直代曲等数学思想，激发学生学习兴趣，引导学生特殊到一般、有限与无限、量变与质变的辩证关系，感受数学的统一美，意识到数学的应用价值【重点和难点】教学重点：导数的几何意义、切线方程的求法以及“逼近、数形结合〞的思想方法教学难点：了解导数的几何意义的本质内涵〔1〕从割线到切线的过程中采用的逼近方法〔2〕理解导数的概念，将多方面的意义联系起来，例如，导数反映了函数在点附近的变化快慢，导数是曲线上某点切线的斜率等【教法与学法】教法：从圆的切线的定义引入本节课，再引导学生讨论一般曲线的切线的定义，通过几何画板的动画演示，得出曲线的切线的定义。同样通过几何画板的实验观察得到导数的几何意义和直观感知“趋近〞的数学思想学法：采用自主、合作、探究的学习方法【教学过程】直线的斜率：1.创设情境学生活动——问题系列问题1平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的割线或切线呢？〔如图〕问题2画图，判断直线是曲线的切线吗？〔如图〕〔1〕与；〔2〕与问题3那么对于一般的曲线，切线该如何让定义呢？学生活动——复习回忆〔1〕导数的定义〔3〕直线上点的坐标为，并且斜率为，那么直线的方程为2.探索求知学生活动——实验探究问一：求导数的步骤是怎样的？第一步：求平均变化率；第二步：当趋于0时，平均变化率无限趋近于的常数就是问二：你能借助图像说说平均变化率表示什么吗？请在图像中画出来问三：在的过程中，你能描述一下割线的变化情况吗？请在图中画出来探究一：学生通过几何画板的演示观察割线的变化趋势，教师引导给出一般曲线的切线定义。问四：你能从上述过程中概括出函数在处的导数的几何意义吗？的斜率→切线的斜率，因此是切线的斜率。探究二：解决“问题2〞结论：圆是一种特殊的曲线，圆的切线的定义并不能适用于一般曲线的切线，有的直线虽然与曲线有唯一的公共点，但我们不能认为它与曲线相切，而有的直线虽然与曲线有且不止有一个公共点，我们还是认为它是曲线的切线，通过逼近的方法将割线趋于确实定位置的直线定义为切线，适用于各种曲线，所以这种定义才是真正反映了切线的直观本质。问五：研究导数的几何意义有什么作用？观察三个图，直观的放大函数曲线在一点附近发热图像，直观观察到图像放的越大，这一段曲线越像直线结论：以直代曲是微积分中重要的数学思想方法，即以简单的对象〔切线〕刻画复杂的对象〔曲线〕3知识运用【例题讲解】例求函数在处切线方程。解先求在处的导数令趋于零，可知在处的导数为这样，函数在点处的切线斜率为6。即该切线经过点，斜率为6.因此切线方程为即切线如下图。小结：函数在处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。函数在处的切线的斜率反映了导数的几何意义。课堂小结本节课你学到了什么？本节课你理解