8.1 二分法与求方程近似解（十二大题型）

8．1二分法与求方程近似解课程标准学习目标（1）通过本节内容的学习，让学生结合实例，运用图形判定零点，提升直观想象和逻辑推理素养.（2）运用零点判定定理确定零点范围，提升逻辑推理素养.（3）运用二分法求具体方程的近似解，提升直观想象和数学抽象素养.（1）了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系.（2）会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.（3）了解二分法的原理及其适用条件.（4）掌握二分法的实施步骤.知识点01函数的零点1、函数的零点（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.知识点诠释：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；③函数的零点就是方程的实数根．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．（2）二次函数的零点二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点（3）二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.2、函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.知识点诠释：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有．③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的．（2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点．（3）利用数形结合法函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．【即学即练1】（2023·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数的零点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】函数的零点，即方程的实数根.由解得，或.故函数函数的零点个数是.故选：D.知识点02二分法1、二分法对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法．2、用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中．第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为．计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为．计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令；……继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度．知识点诠释：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且．（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根．3、关于精确度（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位．（2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值．【即学即练2】（2023·全国·高一课堂例题）在在上恰有一个零点．试用二分法来计算这个零点的更精确的近似值（误差不超过）．【解析】已经知道，，这是出发点；然后一次次缩小零点所在区间：第一次，取]的中点，用计算器或计算机求出，由于，可知零点在上；第二次，取的中点，求出，由于，可知零点在上；第三次，取的中点，求出，由于，可知零点在上．为了表述清楚，记零点所在区间为，其中点．继续计算列出表格：次数，+，的近似值区间长101121345678910从表中计算数据看出，计算到第10次，包含零点的区间长度小于．取此区间中点与零点的距离不超过区间长度之半即．于是可取作为零点的近似值．题型一：求函数的零点例1．（2023·安徽·高一校联考阶段练习）函数的零点是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解方程，即，解得或，因此，函数的零点为.故选：.例2．（2023·江苏南京·高一南京市第一中学校考阶段练习）设是函数的两个零点，则的值为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】因为是函数的根，由题意，，，故选：D.例3．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）函数的零点为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】令，得，则．故选：A变式1．（2023·江苏南京·高一校考期末）函数的零点为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】在上单调递增，又，故函数的零点为.故选：A变式2．（2023·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）函数的零点是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解方程，即，解得或，因此，函数的零点为、.故选：C.【方法技巧与总结】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.题型二：根据零点求函数解析式的参数例4．（2023·江苏·高一假期作业）关于的函数的两个零点为，且，则＝（）A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意得是方程的两不等实根，所以，，，所以，即，又，所以.故选：A例5．（2023·江苏宿迁·高一统考期中）函数有且只有一个零点，则实数m的值为（

）A．9 B．12 C．0或9 D．0或12【答案】C【解析】因为，令，得到，当时，，得到，满足题意，当时，因为函数有且只有一个零点，故，得到，综上，或.故选：C.例6．（2023·湖北荆州·高一校联考期末）已知函数只有一个零点，不等式的解集为，则的值为（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】函数只有一个零点，则，不等式的解集为，即的解集为.设方程的两根为，则，且，∴，则，整理得，.故选：C.变式3．（2023·高一课时练习）若函数的零点为2，则函数的零点是（

）A．0， B．0， C．0，2 D．2，【答案】A【解析】因为函数的零点为2，所以，∵，，∴，∴．令，得或．故选：A.变式4．（2023·四川达州·高一统考期末）已知2是函数（为常数）的零点，且，则的值为（

）A． B． C．4 D．3【答案】C【解析】因为2是函数（为常数）的零点，所以，得，所以，因为，所以，得，故选：C变式5．（2023·高一单元测试）已知函数有唯一的零点，则实数a的值为（

）A．1 B．－1 C．0 D．－2【答案】B【解析】函数定义域为R，函数，即函数为偶函数，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，则当时，，因函数有唯一的零点，于是得，解得，所以实数a的值为.故选：B题型三：零点存在性定理的应用例7．（2023·甘肃定西·高一统考期末）已知是函数的一个零点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递减，故函数在区间上单调递减，又，.故选：B例8．（2023·甘肃·高一统考期中）的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为在上单调递增，且，所以函数零点所在区间为.故选：C例9．（2023·高一单元测试）在区间上有零点的一个函数为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A中，由函数，可得，则；对于B中，由函数，可得，则；对于C中，由函数，可得则；对于D中，由函数，可得则，所以只有C项，符合函数零点的存在性定理，所以在内存在零点.故选：C.变式6．（2023·全国·高一课堂例题）方程的根所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】构造函数，因为和在上单调递减，所以函数在上单调递减，且函数的图象是一条连续不断的曲线，因为，，，由的单调性可知，，则，故函数的零点所在的区间为，即方程的根属于区间．故选：C变式7．（2023·高一课时练习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的对应值表，那么函数在区间上的零点至少有（

）x1234567－－－－A．2个 B．3个C．4个 D．5个【答案】B【解析】由数表可知，.则，，，又函数的图象是连续不断的，由零点存在性定理可知，函数分别在上至少各一个零点，因此在区间上的零点至少有3个．故选：B.变式8．（2023·湖南·高一南县第一中学校联考阶段练习）函数的零点所在的区间为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在上单调递增，在上单调递增，函数在上单调递增，∵，，，函数的零点所在的区间为.故选：C变式9．（2023·海南省直辖县级单位·高一校考期中）若是函数的零点，则属于区间（

）.A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，根据指数函数和幂函数的性质，可得，所以，即.又为上的减函数，由零点存在定理，可得函数有且只有一个零点且零点.故选：B．【方法技巧与总结】解决这类判断函数零点的大致区间的题目，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，即可得到答案．题型四：根据零点所在区间求参数范围例10．（2023·江苏南京·高一南京市第九中学校考阶段练习）函数只有一个零点，则的取值集合为【答案】【解析】（1）若，即时，①当时，此时，此时没有零点，②当时，此时，令，解得，符合题意，（2）当时，令，则，解得或1（舍去），综上或，则的取值集合为.故答案为：.例11．（2023·高一课时练习）若函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】若函数在区间内恰有一个零点，则方程在区间内恰有一个根，若，则方程可化为：，得，不成立；若时，设方程的两根为，且，得，且，当时，有故，，不符合题意；若时，则函数图象开口向上，又，若函数在上恰有一个零点，则，所以.综上：.故答案为：例12．（2023·河南南阳·高一统考期末）已知函数，若函数有7个零点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】函数的图象如下图所示：令，函数可化为，函数有7个零点，等价于方程有7个不相等的实根，当时，可有三个不相等的实根，当时，可有四个不相等的实根，当时，可有三个不相等的实根，设的两根为，且，若，方程无零根，不符合题意，若，，由题意可知：，若，则有，此时，这时，显然不满足，综上所述：实数的取值范围是，故答案为：变式10．（2023·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）函数有零点时，的范围是.【答案】【解析】有零点，等价于有解，令，得，；当，即时，；当，即时，；若，则，当且仅当时取等号，所以；若，则，当且仅当时取等号，所以，即；综上可得.所以的范围是.故答案为：题型五：根据零点的个数求参数范围例13．（2023·高一课时练习）函数有两个不同零点，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】由题意可知，方程有两个不同解，故，即.故答案为：.例14．（2023·全国·高一课堂例题）已知函数，，若存在3个零点，则实数的取值范围为．【答案】.【解析】由存在3个零点，即方程有3个实数根，即函数与的图象有3个不同的交点，因为函数，画出函数和的图象，如图所示，结合图象，将点代入，可得，此时，要使得函数和的图象有3个不同的交点，则满足，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.例15．（2023·河南新乡·高一校联考期末）已知函数在上恰有2个零点，则的取值范围为．【答案】【解析】由且，得，若在上无零点，则在上恰有2个零点，则，无解；若在上恰有1个零点，则在上恰有1个零点，则，解得；若在上恰有2个零点，则在上无零点，则，无解，所以的取值范围为.故答案为：变式11．（2023·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为【答案】【解析】方程化为：，则或，由，得或，解得或，由方程有五个不同的实数根，得方程有三个不同的实数根，因此直线与函数的图象有3个交点，在直角坐标系中作出的图象，如图，观察图象知，当时，直线与函数的图象有3个交点，所以实数的取值范围为.故答案为：变式12．（2023·宁夏银川·高三校考阶段练习）设，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是.【答案】【解析】作出函数的图象，如图所示，因为由三个不同的实数根，即函数与的图象有三个不同的交点，结合图象，可得，即实数的取值范围为.故答案为：.【方法技巧与总结】体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径．题型六：一次函数零点分布求参数范围例16．（2023·高一课时练习）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（

）A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪【答案】D【解析】当a＝0时，f（x）＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数，所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，解得a＜－1或a＞.故选：D.例17．（2023·高一单元测试）已知且在内存在零点，则实数的取值范围是()A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，故即.而且在内存在零点，故即，解得，故选：C.例18．（2023·河南新乡·高二校考阶段练习）当时，函数的值有正也有负，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据题意，结合函数零点存在定理进行求解即可..当时，，函数值恒为正，不符合题意；当时，要想函数的值有正也有负，只需，即.综上所述：.故选：C变式13．（2023·全国·高三专题练习）“a>3”是“函数f(x)=ax+3在[1,2]上存在零点”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由于“函数f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零点”⇔f(－1)f(2)<0⇔(－a＋3)(2a＋3)<0⇔a<－或a>3，则“a>3”是“函数f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零点”的充分不必要条件．变式14．（2023·海南省直辖县级单位·高一统考期中）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数是分段函数，它有个零点，则函数必有一个零点，所以，函数必有个零点，即方程有两个不等的负根（显然不是它的根），因此，解得．综上可得的范围是．故选：B．题型七：二次函数零点分布求参数范围例19．（2023·浙江台州·高一台州一中校考开学考试）已知点的坐标分别为，，若二次函数的图像与线段有且只有一个公共点，则实数的取值范围是.【答案】或【解析】①当二次函数与轴有两个交点时，如图1，因为二次函数的图像与线段有且只有一个公共点，的坐标分别为，，所以，解得.由，得，此时，符合题意.由，得，此时，不符合题意.所以.②当二次函数与轴仅有一个交点时，如图2，令，由得，当时，，不合题意；当时，，符合题意.综上，的取值范围是或.故答案为：或.例20．（2023·江苏·高一假期作业）函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，则m的取值范围为．【答案】【解析】因为函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，所以可转化为的两个根均为负数，则，解得m的取值范围为，故答案为：例21．（2023·山西大同·高一统考期末）若函数在内有且只有一个零点，则的取值集合是.【答案】【解析】由已知得，，.由二次函数图象及函数零点存在定理可知，该函数在内只有一个零点，只需，解得.故答案为：.变式15．（2023·高一课时练习）若方程的两根分别在区间和内，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】令，因为方程的两根分别在区间和内，所以，解得，故答案为：变式16．（2023·高一课时练习）已知函数有两个零点，一个大于1，一个小于1，那么实数k的取值范围是．【答案】【解析】由题意可知函数有两个零点，所以，若，则为开口向上的二次函数，要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故；若，则为开口向下的二次函数，要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故；综上可知：或，故答案为：变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的两个零点一个大于2，一个小于2，且，则的取值范围为【答案】【解析】由的两个零点一个大于2，一个小于2可得，即，又，设，则，解得，即，且，故3b－8a的取值范围为.故答案为：.变式18．（2023·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期末）命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充要条件是.【答案】【解析】由得：；当时，，则，解得：,∵，，满足题意；当时，；若存在唯一的，使得成立，则与有且仅有一个交点，在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所示，由图象可知：当时，与有且仅有一个交点，∴，解得：，则；当时，,结合图象可得：，解得：，则；综上所述：原命题成立的充要条件为，故答案为：1<a<1.变式19．（2023·北京·高一校考开学考试）若方程的一个根小于1，另一个根大于1，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】∵方程的一个根小于1，另一个根大于1，令，则，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：.题型八：指对幂函数零点分布求参数范围例22．（2023·山东威海·高一统考期末）已知函数若关于x的方程有六个不等的实数根，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】画出函数的图象如下图所示，令，则方程可化为.由图可知：当时，与有个交点，要使关于的方程恰好有六个不同的实数解，则方程在内有两个不同实数根，所以，，解得，因此，实数的取值范围为.故答案为：.例23．（2023·湖北襄阳·高一统考期末）若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由题意得：为连续函数，且在上单调递减，在上单调递增，故，，，所以只需或，解得：，故实数的取值范围是.故答案为：例24．（2023·广西南宁·高一校联考开学考试）已知函数，方程有四个不同的解，，，，且，则的最大值是.【答案】4【解析】画出的图象：因为方程有四个不同的解，，，，故的图象与有四个不同的交点，由图，，，故的取值范围是.由图可知，，，故，故.故.又当时，.当时，，故.又在时为减函数，故当时，取最大值.故答案为：4.变式20．（2023·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知，函数．若关于的方程恰有四个不同的实数根，则的取值范围是．【答案】【解析】由可得，可得，若，当时，由，可得，当时，由，可得，该方程至多两个根，不合乎题意.所以，，当时，由可得或，即方程在有两个不等的实根，当时，由可得，对于二次函数，该函数的图象开口向上，对称轴为直线，，设函数的两个零点分别为、，则，若使得关于的方程恰有四个不同的实数根，则方程在上只有两个不等的实根，所以，或（无解），解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.变式21．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）已知，若存在三个不同实数使得，则的取值范围是．【答案】【解析】作出函数的图像如下图所示：设，由图像可知，则，解得，由可得，即，可得..故答案为：.变式22．（2023·新疆·高一乌鲁木齐市第70中校考期中）已知函数，若存在实数，，，，有，则的范围是．【答案】【解析】作出函数的大致图象如图：当时，，解得，令.由图象可知，当时，满足题意.且，.又由知，，所以，即.所以.由，可得，所以.故答案为：．变式23．（2023·四川宜宾·高一统考期末）若函数恰有四个零点，则的取值范围是.【答案】【解析】因为函数在上最多有个零点，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，函数在上至多有两个零点，因为函数恰有四个零点，所以，函数在上有两个零点，则，解得；函数在上有两个零点，由可得，作出函数、在上的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，综上所述，.故答案为：.变式24．（2023·江西上饶·高一统考期末）设函数，若关于的方程恰好有六个不同的实数解，则实数的取值范围为.【答案】【解析】画出函数的图象如下图所示，令，则方程可化为.由图可知：当时，与有个交点，要使关于的方程恰好有六个不同的实数解，则方程在内有两个不同实数根，所以，，解得，因此，实数的取值范围为.故答案为：.变式25．（2023·广东广州·高一校考期末）已知函数有两个零点分别为，则的取值范围是.【答案】【解析】由题意，有两个不等实根，即有2个实根，即图象有2个交点，如图，不妨设，则，即，解得，，（）在上为增函数，故答案为：变式26．（2023·四川凉山·高一宁南中学校考阶段练习）已知函数，若存在（），使，则的取值范围是.【答案】.【解析】的图象如图所示，当时，，由，得，因为存在（），使，所以由图可得关于点，，所以，所以，即的取值范围是，故答案为：.题型九：函数与方程的综合应用例25．（2023·吉林长春·高一东北师大附中校考期中）已知二次函数.(1)令，若函数的图象与轴无交点，求实数的取值范围；(2)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.【解析】（1）因为，所以，又函数的图像与轴无交点，则一元二次方程无实根，所以，解得，所以实数的取值范围是.（2）因为“对任意的，总存在，使得”等价于“在上的值域是在值域的子集”，因为，开口向上，对称轴为，所以在上单调递增，故，，所以在上的值域为，而对于，不妨取，则，因为，所以，所以，即，所以在上单调递减，又，，则在上的值域为，所以，则有，解得，所以实数的取值范围为.例26．（2023·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校联考期中）已知函数．(1)若，求函数的定义域，并指出其单调区间（不需要证明）：(2)若在区间单调递减，求实数k的取值范围；(3)若方程在上有两个不相等的实根，求k的取值范围．【解析】（1）若，则，令，解得或，所以的定义域为，单调递增区间为，单调递减区间为.（2）因为在上单调递减，所以，解得，所以的取值范围为.（3）因为，所以方程可变形为，即，令，则，，令，，函数在上单调递增，上单调递减，又，，，所以方程在上有两个不相等的实根，的取值范围为.例27．（2023·贵州·高一统考期中）已知函数.(1)当时，求的零点；(2)若只有一个零点在内，求的取值范围.【解析】（1）因为，当时，，令可得或，所以，当时，函数的零点为、.（2）由可得或，因为只有一个零点在内，则或，解得或，因此，实数的取值范围是.变式27．（2023·北京·高一校考期中）已知二次函数.(1)若函数满足，求的解析式和零点；(2)若一元二次方程有两个实数根为，，且满足，求实数的取值范围.【解析】（1）若函数满足，则直线是图象的对称轴，所以，所以，由解得或，所以的零点为和.（2）若一元二次方程有两个实数根为，，，，且，由两边平方得，则，，解得.变式28．（2023·浙江嘉兴·高一校联考期中）已知函数，在时最大值为1，最小值为0.设.(1)求实数，的值；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；(3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围.【解析】（1）∵函数，在时最大值为1和最小值为0.当时，由题意得对称轴为，在单调增，∴，∴；（2）当，令，∴在上恒成立，∴在上恒成立，即在上恒成立，又当时，最小值为，∴；（3）令，∴当时，方程有两个根；当时，方程没有根.∵关于的方程有四个不同的实数解，∴关于的方程在有两个不同的实数解，∴在有两个不同的实数解，∴，∴.综上：关于的方程有四个不同的实数解时，.变式29．（2023·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考期中）对于定义域为的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数的值域是，则称区间是函数的一个“保值区间”．(1)判断函数和函数是否存在“保值区间”，如果存在，写出符合条件的一个“保值区间”（直接写出结论，不要求证明）；(2)如果是函数的一个“保值区间”，求的最大值．【解析】（1）假设函数存在“保值区间”为，易知在上单调递增，则有，得或或，又即，但，不符合题意，舍去，故不存在保值区间；而是增函数，假设其存在“保值区间”为，则有，故存在保值区间；（2）易知在和上都是增函数，因此保值区间或，由题意，所以有两个同号的不等实根，由，所以，解得或，且同号，，满足题意，所以，因为或，所以当，即时．．故的最大值是变式30．（2023·北京·高一北大附中校考期中）二次函数满足，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，完成下面问题．条件①：；条件②：不等式的解集为．(1)求函数的解析式；(2)在区间上，函数有零点，试确定实数m的取值范围；(3)设当（）时，函数的最小值为，求函数的解析式．【解析】（1）若选①：由已知可设.则，所以，又，.所以，解得，所以；若选②：由已知可设.则，所以，，由，可得，即的解集为.所以和是方程的两个根且，由韦达定理可得，解得，所以.（2）由（1）可知，则函数在上单调递减，又，，所以在上的值域为，因为在区间上，函数有零点，即在区间上有解，所以与在区间上有交点，则，即实数m的取值范围.（3）函数对称轴为，当，即时，在上单调递减，所以；当，即时，；当时，在上单调递增，.综上所述，.题型十：用二分法求近似解的条件例28．（2023·福建福州·高一福建省福州格致中学校考期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】易知函数的零点为，而在零点左右两侧的函数值符号都为正，不是异号的，故不能用二分法求函数的零点；而选项A、B、D中的函数，它们在各自的零点左右两侧的函数值符号相反，可以用二分法求函数的零点；故选：C例29．（2023·高一课时练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】根据二分法的思想，函数在区间上的图象连续不断，且，即函数的零点是变号零点，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值．对各选项的函数图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点．故选：C.例30．（2023·陕西延安·高一校考期末）用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，且在定义域上递增，所以区间、、对应函数都为正，只有区间中函数值有正有负.故选：A变式31．（2023·高一单元测试）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号.在B中，不满足，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点.故选：B.变式32．（2023·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，显然函数图象是连续的，则有，，，，，所以，，，，故区间可以作为初始区间，故A，C，D错误.故选：B.变式33．（2023·全国·高一校联考开学考试）下列函数中，不能用二分法求零点的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点；对于B，有唯一零点，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点；对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，则可用二分法求零点；对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点.故选：B.变式34．（2023·湖北荆州·高一校联考期末）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由二分法的定义知，若函数在区间上连续，且满足，则可以利用二分法求函数的零点的近似值，故选项A不能用二分法求图中函数零点，故选：A.【方法技巧与总结】判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．题型十一：用二分法求方程近似解的过程例31．（2023·高一课时练习）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点.【答案】【解析】设，则，，∴第一次取区间的中点，，∴，∴的零点所在的区间为，∴第二次取区间的中点，，∴，∴的零点所在的区间为，∴第三次取区间的中点.故答案为：.例32．（2023·上海宝山·高一校考阶段练习）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则．【答案】【解析】依题意，因为，所以，，所以，所以零点所在的区间为；故第二次计算的值时，，所以，所以，所以零点所在的区间为；故第三次计算的值时，.故答案为：.例33．（2023·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是．【答案】【解析】设函数，易得函数为严格增函数，因为，，所以下一个有根区间是，那么下一个取的点是．故答案为：变式35．（2023·云南昆明·高一统考期末）小明在学习在二分法后，利用二分法研究方程在（1，3）上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为.【答案】【解析】设，则，，，；，，故近似解所在的区间为.故答案为：变式36．（2023·全国·高一随堂练习）根据图象是连续曲线的函数的性质以及函数增长快慢的差异，判断方程至少有两个实数根．用二分法求方程的一个近似解．（精确度为）【解析】指数函数和幂函数的图象是连续曲线，当时，，当时，，在区间内方程有实数解，由于当充分大以后，指数函数比幂函数的增长速度快很多，所以对于很大的，总有，于是在区间内方程有实数解，由二分法得到方程的实数解所在区间如下：区间左端点区间右端点第1次12第2次1第3次第4次第5次第6次第7次第8次至此，可以看出区间的端点不是方程的解，而区间的长度小于，所以可任取其中一个数，如，作为方程的一个近似解.【方法技巧与总结】（1）依据图象估计零点所在的初始区间（这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能的小，区间的端点尽量为整数）．（2）取区间端点的平均数，计算，确定有解区间是还是，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的长度符合精确度要求（这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度），才终止计算，得到函数零点的近似值（为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采用列表法）．题型十二：用二分法求函数零点的过程例34．（2023·上海松江·高一校考期末）函数的零点，对区间利用一次“二分法”，可确定所在的区间为.【答案】【解析】设，则，取区间的中点为，，所以可确定所在的区间为，故答案为:.例35．（2023·四川成都·高一成都实外校考期末）用二分法求函数在区间上近似解，要求精确度为时，所需二分区间次数最少为次．【答案】7【解析】开区间的长度为1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过次操作后，区间长度为，因为二分法求在区间上近似解，要求精确度为，所以，解得：，所以所需二分区间次数最少为7次.故答案为：7例36．（2023·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考开学考试）利用二分法计算函数在区间的零点，第一次操作后确认在内有零点，那么第二次操作后确认在区间内有零点.【答案】【解析】由题意可知，取区间的中点，，，所以，所以第二次操作后确认在区间内有零点.故答案为：.变式37．（2023·云南·高一云南师大附中校考期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值，其参考数据（函数值均保留四位小数）如下：则这个零点的近似值为．（保留两位小数）【答案】【解析】由表可知，，所以函数在区间内存在零点，这个零点保留两位小数后的近似值为．故答案为：变式38．（2023·上海闵行·高一统考期末）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则．【答案】/【解析】因为，，根据二分法可得，，且，所以零点所在的区间为.所以.故答案为：.【方法技巧与总结】利用二分法求函数近似零点的流程图：变式39．（2023·全国·高一随堂练习）已知函数在区间内有零点，求方程在区间内的一个近似解．（精确度为）【解析】根据题意，函数在区间上的零点就是方程在区间内的解，由于函数和均为单调递增函数，所以在区间上递增，，，，则的零点在上，又由，而，则的零点在上，又由，而，则的零点在上，又由，而，则的零点在上，此时满足精确度为，则函数在区间上的零点近似为，故方程在区间内的近似解为．变式40．（2023·全国·高一课堂例题）求曲线和直线的交点的横坐标（误差不超过）．【解析】直线方程可改写为函数形式，于是交点的横坐标应满足等式，即，即交点的横坐标是函数的零点，由和可知在区间内有一个零点；由单调递增可知它只有这一个零点．用二分法计算，列表如下：次数，，+的近似值区间长11212234567得出零点的近似值为，误差不超过．因此曲线和直线的交点的横坐标约为．变式41．（2023·全国·高一随堂练习）借助计算器或计算机，用二分法求函数在区间内的零点的近似值（误差不超）．【解析】在上单调递增，，所以在区间内有唯一零点，，所以在区间内有唯一零点，，所以在区间内有唯一零点，，所以在区间内有唯一零点，，所以在区间内有唯一零点，，所以在区间内的零点的近似值为（或）.一、单选题1．（2023·北京西城·高一北师大实验中学校考期中）已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表x1234y以下说法中错误的是（

）A． B．当时，C．函数有且仅有一个零点 D．函数可能无零点【答案】D【解析】对于A，因为函数是上的增函数，所以，正确；对于B，因为函数是上的增函数，所以当时，，正确；对于C，因为函数是上的增函数，且，即，所以函数有且仅有一个在区间的零点，正确；对于D，因为函数连续，且，即，所以函数在区间上一定存在零点，错误，故选：D.2．（2023·北京·高一汇文中学校考期中）设是定义在R上的奇函数，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（

）A．在上单调递减B．的图象与x轴只有2个公共点C．D．不等式的解集为【答案】B【解析】由题设，奇函数在上单调递减，且，A对，B错，由在上单调递减，则，C对，由上分析知：上，上，所以的解集为，D对.故选：B3．（2023·福建南平·高一武夷山一中校考期中）函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在上单调递增，，，故零点所在的区间为.故选：D4．（2023·广西玉林·高一统考期中）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，开口向上，由题意知，即，解得，所以．故选：B．5．（2023·辽宁沈阳·高一辽宁实验中学校考期中）函数有零点，用二分法求零点的近似值（精确度）时，至少需要进行（

）次函数值的计算．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】至少需要进行3次函数值的计算，理由如下：，，取区间的中点，且，所以.，取区间的中点，且，所以.，取区间的中点，且，所以.因为，所以区间的中点，即为零点的近似值，即函数的零点，所以至少需进行3次函数值的计算.故选：B.6．（2023·安徽·高一统考强基计划）已知是方程的两根，且，，实数的大小关系可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函数的图象为开口向上的抛物线，如图，由已知可得与轴交点的横坐标为，在抛物线的对称轴的左侧，在抛物线的对称轴的右侧，可化为，可得是函数的图象与直线的两个交点的横坐标，由可得函数在抛物线的对称轴的左侧，在抛物线的对称轴的右侧，结合图象可得.故选：A.7．（2023·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）函数，，的零点分别为a，b，c，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，可得，因为，所以，，可得，所以；令，可得，因为，所以，，可得，所以；令，可得，因为，所以，，可得，所以；综上，.故选：A.8．（2023·山西晋城·高一晋城市第一中学校校考期中）已知函数，若方程有3个不同的实根，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，，当时，或，故当时，，当时，，当时，，当时，.因为方程有3个不同的实根，所以有3个不同的交点，如图，由可得，又，解得，所以.故选：A二、多选题9．（2023·广东佛山·高一佛山市顺德区乐从中学校考阶段练习）已知函数，则（

）A．B．不等式解集为C．方程有两个解D．若且，则【答案】CD【解析】对于A：，∴，故A错误；对于B、C、D：作的图象如下，不等式解集为，故B错误；，由图知，的图象与的图象有且仅有2个交点，∴方程有两个解，故C正确；令，图象与的图象相交于如图所示3点，∵，解得，∴，易知的对称轴为，∴，∴，故D正确.故选：CD.10．（2023·重庆·高一统考期末）已知函数的零点所在的区间可能是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】，，故函数有两个零点，，，故上有零点；，，故上有零点；故零点所在的区间为，.故选：AD11．（2023·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考期中）已知函数．若存在，使得，则下列结论正确的有（

）A． B．的最大值为9C．的取值范围是 D．的取值范围是【答案】ACD【解析】作出图象如图所示，易知，结合二次函数对称性可知，故A正确；由，又，所以等号不成立，故B错误；由图象及函数的值域可知，，且，则，故C正确；因为，由，故，故．故D正确．故选：ACD12．（2023·河南郑州·高一统考期中）若二次函数的一个零点恰落在内，则实数的值可以是（

）A． B． C． D．1【答案】BC【解析】，则，函数在上单调递增，当，，BC满足.故选：BC.三、填空题13．（2023·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校联考期中）写出一个同时具有下列性质①②③的函数，则．①定义域为，值域为②在定义域内是偶函数③的图象与x轴有三个公共点【答案】（答案不唯一）【解析】根据题意可取，函数的定义域为，值域为，故①符合，因为，所以函数为偶函数，故②符合，令，解得或，所以的图象与x轴有三个公共点，故③符合，所以函数符合题意.故答案为：.14．（2023·浙江湖州·高一吴兴高级中学校考阶段练习）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为．【答案】4【解析】时，有，所以，令