2022-2023学年湖南省株洲市统招专升本数学自考预测试题(含答案)

2022-2023学年湖南省株洲市统招专升本数

学自考预测试题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.

111

121=()

131

A.1B.2

C.3D.0

2.

已知[[/=「壮丁，7（/.》）打.若将积分次序改变,则|[/（八>）&=（>

D

A.[dyjB.Jd.y]/(M.y)ckr

J0J

,1ri.0rl

C.dy/(i.y)cLrD.dvz/(1,y)dr

J/,JoJ1JyZ

3.

.下列级数发散的是)

B-S(-lr^r

C.玄（-1）1

«=101

4.

当7fO时.极限存在的函数/(7)=)

'匕」，.T#0,.sin.r

B."1¥0,

A.«]

I0.

0,7=01=0

1

彳V0,

(JC2+2,m40,2+7

C.JD.,

r

(2,7>0I+)，M〉0

乙

5.

/(1)在点才=1处可导.且取得极小值,则lim/1+2a：)-八1)等于()

j-0X

A.OB.1C.2D.j

6.

«y=J心—1+lg(i+2)的定义域为()

A.(—2,+8)B.(1,+8)

C.(一2,-1]U[1，+8)D.(—2,一1)

7.

微分方程/+2/=x2的特解形式为()

A.y=ax2+bx+cB.y=x(ax2+bx+c)

C.y-ax~D.y=x2(ax2+bx+c)

下列关于极值的命题中，正确的是()

A.若/'(/)=0,则%一定是/(%)的极值点

B.极大值一定大于极小值

C.若/是/(幻的极值点，则为一定是/(x)的驻点

D.若在与处取得极值且/'(%)存在，则尸(玉))=0

9.

，.下列极限计算正确的是()

,1rf—R

A.lim/1H---\=eB.lim---------=22

l八1)zxz+/—6

c.lim山=1D.lim皿=1

JT-*ON’r-*0°X

10.

已知f(x)=1---.W0/£/(.r)]=()

X

A.x-1B.—!-；■

2--1

C.1—.rD.1

l-w

ll.

若lim—=f+l=-±.511]jS=()

j-sJC—916

A..»+1B.x+5C.Zr+13D.八十6

12.

.若]+C.则=()

1—|n丁1

A.--产+CB.—+C

JCx

C..rln.r-r+CD.--义丛+C

13.

.拉氏积分变换，r中、.是()

A.实数B.复数C.有理敷D.正整数

14.

设函数/(.r)满足f(.r)+2.r/，Cr)=3+c".若/(.r„)=0.则有()

A./(J;,)为/(.r)的极小值

B./(.r0)为/'(x)的极大值

C.<x„,/(京))是曲线y=/(.r)的拐点

D./(JTO)不是/(x)的极值.(孔./("))也不是曲线y=/(.r)的拐点

15.

A为”阶方阵.则13Al=()

A.3|A|B.|A|

C.3"|A|D.“3|A|

16.

T=0是函数/（Z）=［的()

e7

A.可取奇点B.本性奇点

C.简单极点I）.非孤立奇点

17.

在0.1,2,3,4五个数中任意取3个数，则这三个数中不含0的概率为（）

A"・4

B0.5

c.0.6

D0・8

下列定积分中，其值为。的是（)

1O.8

A.j^sinx4dxB.£(x3+3x+l)dx

"T

cflxcosx,

c.--——,—dxD.「e+efdx

JT2X+x2+1

19.

设z=/G,y)为由方程d—3K+3工=8所确定的函数，唬10=(>

A，*B4C.-2D.2

20.

设N，则()

y

A.在B.L

yy

c.--iD—

yv2

21.

定积分]；e、&r=()

A.1—e1B.1—eC.2—e1D.2-e

22.

下列函数在给定区间满足罗尔定理条件的有()

A.y=sin2xB.y=|«zJ.C-i.i]

C.y=COS3X,[0,KJD.y=、/x2—1，[-2,2]

23.

如果r(j)存在.则(|d(3/(z)))'=()

A.3/(.r)B.3/(x)C.3/,(x)+CD.3f(x)+C

24.

设曲线,y=-/(J)在[a,/门上连续，则由曲线,y:=—/(/)•直线x=U、JC=b及工轴

围成的图形的面积A=()

A.f/(x)d.rB.—f/(x)d»rC.[I/(.r)|d、rD.|J/(a)d.r|

JaJaJ«

25.

.设之=£?In(.r2+，)，则,=)

A2g2Q2

PD•冷

xc+yx£+V\r2+y2

26.

*2f*2

设/'(z)在［1,2］上可积,且/(I)=l,/(2)=1,f(工)dr=-1,则xf'(jc)dx—

JiJi

A.-1B.OC,1D,2

27.

(2z,z,1,

函数/(］)=，在点z=1处()

;J72,X<1

A.不可导B,连续

C,可导且/'(I)=2D.无法判断是否可导

28.

若级数»“Q-2尸在］=()处条件收敛,则级数.一2)"在＜=5处为()

“-UM—"

A.绝对收敛B.条件收敛

C.发放D.不能判定敛散性

的设歹=/(%)在/处有极大值，则()

A.r(x°)=oB.仆。)=0,/"(/)<0

C./'(%)=0或尸(%)不存在D.r(x0)<o

30.

极限lim1二.21二:大的值是()

A.0B.1

C.-1D.-2

二、填空题（20题）

31.

设曲线积分Jr/&十.用（工）dy与路径无关，其中牛（工）为具有连续导数,且9（0）=0,

r(i.n

则xy2dxI-y(p(x)dy等于

J(a.o)

tanx-sinx

设函数sin31'X>f在x=0处连续，则常数左=

e-jr+k,x<0

32.

33设3=6，则”"）=

设/（z）是可导函数，则（/（z）（Lr）'=

arcsinax

lim

,r—►0JC

35.

.2+COSJ7|_

不定积分.2%+sinxX

36.

x.-2x,=0,

线性方程组，£+屋产。只有零解’则％=

37.

38.

已知曲线y=/+z—2上点M处的切线平行于直线y=57一1,则点M的

坐标为

已知函数/（.r）=inx为可导函数.则/（.r）在点工=1.01处的近似值为

-8+1_|_—1

41设函数“X）满足等式［"Nck=gx2（x+i）,那么/⑴二

ex4-1.<0.

已知函数/(1)=<k,'一°'在/=0处连续,则常数£=

ln(1+2J)、八

---------------------------.T>()

43点M（3,2.-1）到平面”+），+z-1=0的距离为

极限lim

设L为逆时针方向的圆周必+歹2=9,

45则£（2个一2»）及+（X?-4x）dy=

46.设C=

r(.rr0J)则/(j)=

一]

47微分方程、y"-4,+4y=0的通解.y(.r)=

n

lim

”・oo//+]+x/n2—1

48.

49过点（3.2.-2）且与平面3.2・十2y—z—5=0垂直的直线方程为

(ear—a♦«r<0.

函数八%)=J是连续函数，则a=

acos2jr+eT・i>0

三、计算题（15题）

51求极限㈣（告"一告）•

设尸=0-'5也“，求y".

52.

2111

计算四阶行列式1之11的值.

1121

taru—sinw

求极限lim

/

LOe-1

54.

55.

已知函数，=2）由方程arctanf=In-7所确定，求亲

56.

设某产品每月产量为x吨时，总成本函数为C（X）=X2+20X+900（元），问当月

产量为多少时，平均成本最低？

函数y=y（jr）由方程y=工+arccos（xjf）确定，求y.

57.

58.

,设D为由曲线4=2,y=x,xy—1所围成的平面区域•试求Jp0"业山*.

n?

计算(i+l)lnjrcLr.

59.J

60.

计算曲线积分£(2.r-^+4)d.r+(5y+3x-6)dy,其中L为三顶点分别为(0,0).

(3,0)和(3,2)的三角形正向边界.

■

cosln^dT.

61.'

62.

$-x2-x}=0,

当a为何值时，方程组■x,-x2+x3=l,无解、有解，并用基础解系表示其通解.

%!-x2-2X3=a

63.

求函数之=在2,在点P(1,O)处沿从点PQ.O)到点Q(2.1)的方向的方向导数.

设3=户12)/",,其中/可微•求索

64.

再+/+&+&=2,

己知线性方程组4

X|+x2+2X3-x4=3,

2x+2X+%3+4JC=3,

65.t24

求:(1)方程组的通解和一个特解；

(2)对应齐次线性方程组的一个基础解系.

四、证明题(10题)

66.

设f(工)在［O,a］上连续，且/(z)+/(a—1)>0•试证明:

Io=f-

67证明：当时»xsinxI2cos#<2.

68.

设=(上)，其中/«)可微，ilS月：+J©=3〃

y公分

69证明：当x之0,n>1时，x"-n(x-1)>1.

70.

设函数/Cr)在闭区间［0，口上可导，且f(0)・f(DV0,证明在开区间(Q,D内至少存在

一点&使得2人甘+，/)=0.

证明：当oV2・<1时—①)>2x.

71.

证明：当0Vi<1时.(彳-2)ln(l—1)>2x.

72.

73.

证明：当i〉0，。VaV1时•/"—ai&1—a,

证明当z〉o时，，TF7v1+今

74.N

75.

证明不等式："In%〈”二二其中n<m为正整数.

m?in

五、应用题(10题)

76.

一个平顶器皿其侧面是铅直的，且侧面高度为力，现把它内部盛满了水放在水平面上,

一股水流从侧面的小孔水平射出，速度等于艰辰，x是小孔距离器皿顶部距离，求x为

何值时，水射出的距离最远.

77.

某工厂生产两种产品4和B，出售单价分别为10元与9元，生产x件产品月与生产y

件产品B的总成本是：C（x,y）=0.01（3x2+孙+3y2）+2x+3y+400（元）.求两种产

品的产量分别为多少时，获得的利润最大？

78.

将周长为"的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，矩形的边长各为多少时,才可

使圆柱体的体积最大？

79.

设以向量a和P为边做平行四边形•求平行四边形中垂直于a边的高线向量.

80.

某公司主营业务是生产自行车，而且产销平衡，公司的成本函数CQ）=40000.

20070.002/,收入函数R（_r）=35010.004/,则生产多少辆自行车时，公司的利润最大？

81.

设平面图形D由曲线=-和直线y=才­=2及/轴围成.求：

（1）平面图形D的面积；

（2）这图形绕T轴旋转一周所得旋转体的体积.

82.

已知曲线1y=aG（a>0）与曲线y=In/F在点（io,义）处有公切线.试求:

（1）常数a和切点Qo,加）；

（2）两曲线与①轴围成的平面图形的面积S.

83.

求「白口.。：/+y=i.，+y=2八),=0所围区域在第一象限部分且,二J.

-bG+VN

84.

要求设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m的圆柱体.上部的形状是母线长为3m

的圆锥(如图所示).试问当帐篷的顶点o到底面中心a的距离为多少时.帐篷的体积最大?

85.

求函数fl)=/在丁>0时的最大值.并从数列北'./T…中选出最大

的一项(已知

六、综合题(2题)

86.

设连续函数/《了)在［a，瓦)上单调增加,又G(x)=---f/(Z)dr.xG(a,b).

JCClJa

(1)试证:G'(z)在(a,〃)内非负；

(2)求limrG(jr).

87.

设/(T)在［a"］上连续且/(z)>0.f(z)=「/⑴dt+「%.

J0JbJ

证明>2；

(2)方程/(T)=0在(a")内有且仅有一个根.

参考答案

1.D

［答案1D

【精析】由行列式性质可知.行列式中两行(列)相等的行列式为0,故应选D.

由题,画出积分区域如图所示,交换积分次序•得

3.A

［答案1A

【精析】由于］im(一］)“二3二产，==lim(-1)"•(一4)#0,

LOO(〃十1)(〃十/)L8

故£一)“W3)发散，应选A.

4.D

【精析】D项中.lim/(r)=lim"―=(，lim/(z)=lim+y\=!，故

「0-2+r2z+L)2

lim/(z)=故选D.

x-*oL

5.A

【精析】lim-"I+2"')一人士=lim八1+2；)~~人D.2=2/(1),因为/(z)在.r=1

)・0Xz-0乙工

处可导，口取得极小值.所以/(I)=0.因此1呵八1+2•'一'1)=0•故应选A.

6.C

1-1^0,

【精析】由题有即一2VXW—1或、r，l，故选C.

|jr+2>0.

7.B

【评注】特征方程：/+2r=0/=0,々=一2,特解形式为式=Y(ax2+bx+c).

8.D

D

【评注】关于极值点，我们有如下结论：极值点只是局部范围内的最大值点或最小值

点；极值点可能在驻点或者不可导点处取得；如果函数可导，则极值点一定为驻点；

驻点、不可导点都不一定是极值点，我们需要根据驻点(或者是不可导点)左右两侧

导数的符号来进一步判断驻点(不可导点)是否是极值点，所以，只能选D.

9.B

【精析】A项中=1.A错：B项中,lim-8［而1+丫+4=

…\x/Tk+-6L2+3

i?

U.B正确；C项中极限不存在.D项中极限值为0.本题应选B.

10.D

【精析】/1/(・r)］=./71——=1-------=1------------=-----------—•故应选D.

\XIJ_X_1X—11-X

11.C

［答案］c

【精析】由题可知=0,故/(3)=4.因此排除B、D选项，再将

A、C项代入原极限等式,可知C项正确.

由于G为任意常数.故应选D.

13.B

【精析】由拉氏积分变换的过程可知s是复数，故应选B.

14.A

［答案1A

【精析】因为/(,r)+24'(.r)=3+e'.

所以/”(zo)+21rlJ'(z«)=3-+-e'".乂/'(4)=0,

从而/“&“)=3+e'">0.所以是/(了)的极小值,故应选A.

［答案］C

【精析】

15.CI3A|—3"|A|.

16.B

［答案］B

【精析】/(c)=eT.由9-=W1得”=V=V1(-1尸工

y〃！y〃！zy〃！~

故f（Z）的洛朗展开式含有无穷多个负嘉项.因此£=0为,/（2）的木性奇点.

17.A

=

【精析】P=77^=0.4,故应选A.

。51V

18.C

【评注】A选项中，被积函数为sin,x,在区间「_三巴］上恒大于等于零，所以

.22.

n

4

j2isinxdx>0,不可能为零；B选项中，被积函数/+3x+l在积分区间（0,1）上恒大

XCOSC

于零，所以£（r+3*+1）改必定大于零，不可能为零；c选项中，被积函数

2/+幺+1

为奇函数，且积分区间上川为对称区间，利用“奇函数在对称区间上的定积分为0”

这个性质，可判断出「一芈°&=0；D选项中，被积函数为e'+e"在积分区间

J-'Zx+xy+-1

上恒大于零，所以+e-*）dx>0所以选C.（该题部分选项是考查被积函数的奇

偶性，上下限互为相反数，被积函数为奇函数，其值为0,通过分析可迅速得到正确

19.B

［答案］B

【精析】方程十37=8两边分别对y求偏导数.

得3/学一3之一3）第=0.解得空二不。.

又工=o,『二o时,52.将其代人.得|||小=十•故选B.

20.D

【精析】宇=在，存=空,故应选D.

oxydjcdy'/y-

【精析】e-zdjr=—e-r=1—er,故应选A.

21.AJ。0

22.A

［答案］A

【精析】B选项中.函数在x=0处不可导；C选项中，y(0)#.y(a);D选项中.函数在

•r=±1处不可导；A选项中,函数在［0,会上连续.在(0后)内可导,.y(0)=)，(］)，

符合罗尔定理条件，故选A.

23.A

【精析】(d(3/(.r)))，=(3/'(.r)dw)'=3/'Q),故选A.

24c【精析】由定积分的几何意义知C正确•

［答案1D

【精析】个=x2•~7•2y=故应选D.

川f+y-

25.D

26.D

2

【精析】=j?d/(JT)=jcf(JC)I—I/(jr)dj?

1J111J1

=2/(2)-/(l)-「/(z)clz

Ji

=2-l-(-l)=2,

故应选D.

27.A

【精析】lim/(.r)Wlim/(x)=＞不连续=＞不可导.故应选A.

-_1一一1+

28.C

［答案1C

【精析】由已知条件知.收敛半径为R=2.所以级数在(0.4)内绝对收敛.在(一。6.0)和

(l.+co)内发散.由此可知在.r=5处发散.故应选C.

29.C

C【评注】当y=/(x)在X。处有极大值时，若/'(%)存在，则由可导函数极值存在

的必要条件可得/，(/)=0.又当广(X。)不存在时，函数也有可能取得极大值，如

/(x)=l-忖在x=0处取得极大值1,故选C.

30.C

1-A-1

lim1二2』二三z=Hm《_:_=。二?二［=一1,故应选c.也可直接对

J“8JT4,•£»11

分子分母的最高次项进行比较.

31.

1

2

【精析】因为与积分路径无关，所以可取折线为(0,0)■*

rco.Drti.Dri

(0.1)--(1・1),原式=xy2da,+w(a*)d>+2：y%lr+*(j：)d;y=3乎(Old)

J(0.0)J(O.DJo

-Ixir=jxdx-

JoJoN

32.

1

——1

2

--解析：考查某点连续的概念.由函数/(x)在x=0处连续得：

f(O)=l+"lim迫*=lim蚂迎/

10+sin3xxfsin3x2

33.

【精析】3=e",j/=5e5t=52e5,,•••，V，0=5HeSr.

34.

f(T)【精析】(/(工)dz)'=f(jr).

35.

a

arcsmtijccue

【精析】Hm=lim­=a.

j-*0xi'-*0x

36.

In|2z+sirir!+C

2+cos/,

-—：~：—d(2a-+sinx)=In2x+sinj?|十C.

ZJT-rsina

37.

H-4

【评注】方程组只有零解的充要条件为1—2工即2+4。0,%。-4.

2k

38.

(2,4)

39.

0.01

［答案］0.01

【精析】由fCro+a)*/Cro)+/&o)&r,故/(I+0.01)/(I)+/(1)•0.01=

lnl+什|J0.01=0.01.

40.

1

~2

［精析］Hm一〃'=lim—1~=y-

……二+.2

41.

2

2

【评注】因为1/3(©=2必a+])即/3(])=4.1•2故有/(I)=2.

33

42.2

r

【精析】lim/(jr)=lim(eI1)=2•lira/(.r)-lini"式[---=]jm—9./(0)

—'.—.△+'-+r,+r

、E-*。r••<>r-•<>r-»O•r•()*

一：■数八。在才0处连续•二,(0)lim/Cr)lim/(.r).故42.

c+c-

43.

［答案18

I3+2-1-1|

【精析】d==V3.

+r+r

44.

e4

o2io亍・4

【精析】+=limfl+-V=el

,r—>oc\JCj1―>8\JCj

45.

-1871

-18%

【评注】利用格林公式得

2

£(2xy-2y)ix+(x-4x)dy=JJ[(2x-4)-(2x-2)]irdiy=-18K»

46.

j*r

47.

2r2z

Cje+C2.re

【精析】微分方程对应的特征方程为r2-4r+4=。.得r=2为二重特征根,故通解

为为a=CB+CzzWC,C2为任意常数.

48.

1

2

lim,------，---=lim-,-------------,=『

…用+用

49.

2—3_y-2_H+2

―2--1

［答案］.r—3_._2_/+2

~T~-2-

【精析】由题可知直线的方向向量为s={3・2.一1匕乂直线过点(3・2・一2),故直线方

50.

~2

.［答案］J

【精析】lim/(X)=lim(片—a)=1—a<limf(x)=litn(acos2.r+.r)=a,由/(x)的

；，-u.«•一“

连续性,知1—a=a♦即a=-y.

51.

lim/31i------VT\=lim3—+/一1

,川+］x+1)a—I♦+1

一万+①+2

=lim

Jf.-I-x3+l-

—2i+1

=lim

37z

=1.

52.

【评注】解：y'-e-x(~x)rsinx+e-xcosx=e~x(cosx-sinx),

yn=—ey(cosx-sinx)+e-x(-sinx-cosx)

53.

解:原式=

54.

1

sin•-1

COSJ'

原式=limP-

sin>(1-COSJ)

lim

LOcos.r

1

lim2lim―--

1♦0.r3j-ocos.r

55.

【精析】方程arctan义=InZ7+7两边对V求导，得

X

1x—yxf_1.2m'+2y

]+/1r4+-2d£+-

即号匚=哈，父一）=

(m+y)x，

k+»d+旷

56.

解：由题意可知平均成本为口x)=x+20+缈

X

故^(x)=l-绊，令^(6=0,得再=30,乙=-30(舍去)

X

又^(x)=粤，且^(30)>0,所以x=30为2⑺的极小值点，也是最小值点,

x

即月产量为30吨时的平均成本最低.

57.

【精析】方程两边对e求导得3，，=1--=L=(^+xyz),

V1—jr-y2

Ji_w导_

解得

3/x-y-4-x

58.

【解析】

—x)(Lr

59.

【精析】方法—(I+DlnicLr=Inid":)

乙JL

(l+l)21j(l+l)2

•—dj

F7

(J-+1)2,+1+(卢

『2

(l+l)22

lnT-T一

F-I+C.

方法二(T+Dln.rdj'=iliudT+In^d^=—xlInj'——xdx+J'lnz-di

jJ乙乙J♦

=-yIna'--JT2+x\nx-i+C.

60.

【精析】因为

P=2#—y+4,Q=53丁3JT—6,

3QdP/

六一丁=3一(-1)=4*

dxdy

所以由格林公式得

原式=』(要一桨严心=山dgy

DXfP

=4>-*3*2=12.

乙

61.

【精析】eosin2dr=.rcosln^*-Jxdcosln.r=j'cosln.r—/(—sinln.r)•—d.r

=.rcosln.r+^sinln.rd.r=/coslnw+wsinlnw—[.rdsinlni

=acosln.r4-.rsinln.z—J.rcosln.r•—d.r

=jtcoslixrH-.rsinln.z—[coslrudr

所以Jcoslnwkr=迺但_产蚂+仁

62.

Ab二1'I'0

4,01

I

0

02I

-ICU

n一

~1

00

I。

00

①，W叶54-0畤Y/A）二z羊匕0）二3、九明

郎a}-2.4

@30十3二。a~nq,y/A）二M①二斗;

~1~1。

0I士0

、00000

S为二Xz•十。

匕二2’

金色二L，

卿螂力

63.

【精析】这里方向/即为西=（1,一1）,故工轴到方向，的转角9=…平.因为

4

2>

=尚|=1,"=2xe=29

drc,。）I<i,o）dy<uo）<i.c）

故所求方向导数为与=cos（一旬+2sin（一孑）=—察

64.

yr=•e1s+f(Inj)•

=ff(1n.z-)•—•e/<-r>+f(lna)•eJ<r>•/Z(J)

=*(hM)e，5+/(ln.r)/(T)e/(J).

65.

解：增广矩阵

"11112)fl11131

A=112-13f001-2-21

k2214000000

同解方程组为《对应的齐次线性方程组的一个基础解系为:

-3

10

41-.一个特解为（即22为

02

01

任意常数）.

66.

令£=a-JTL则1r=a—，,且dz=—dz,

干累1—fu______八7)______"-，).(一］)力

于是JofCr)+/(a-H)Lf(a-D+/3'

八/(a-x)

―a—"_ddz,

f(a-04-/(/)/(a—x)4-/(J?)

义工）

于是21=d.r十

of(jc)+f(a—x)o/（a—彳）十/（工）

f(H)a

故I=

cf(x)-r/(a2•

67.

【证明】令/(1)=zsinz+2cosz—2g

贝I]f?(Q=sinx+JCCOSJT—2sinz=HCOSK-siirr.

f(%)=cos#—zsirtz—cosx=-zsinz.

当0V立VTV时,/(R)<0,于是/(.r>单调递减，

且/'(7)在[0,<|上连续,所以7(x)</(0)=0,于是/(工)单调递减,

所以/(n)V./X0)=09即jrsinjr+2cos/—2<0.结论成立.

68.

证明：因为四=y2/(x)+町,2/,(与」

dxvvy

yy

皴=2专以£)+◎/「).1二、

dJvJvvI\v~_/J

=2R(。-"(')，

yV•V/

故木剪+J包=xy/(-)+xV(-)+2.rj'7(-)-xSr(-)

dxcvv'vvv

=3靖/£)=3".

69