导数在研究函数中的应用

04一月20241执教人：刘麦玲复习课:导数在研究函数中的应用04一月20242

要点复习1.函数的单调性与导数的关系:设函数y=f(x)在区间（a,b）内可导，⑴如果在区间（a,b）内,＞0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果在区间（a,b）内,＜0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.⑵如果在区间（a,b）内,函数y=f(x)单调递增，那么在这个区间内＞

0;如果在区间（a,b）内,函数y=f(x)单调递减，那么在这个区间内＜0。2.用导数法求可导函数单调性区间的步骤：⑴确定函数f(x)的定义域；⑵求函数f(x)的导数；⑶令＞0，解不等式得x的范围就是递增区间；令＜0，解不等式得x的范围就是递减区间.04一月20243

要点复习3.函数的极值⑴函数极值的定义：设函数f(x)在包含x0的一个区间（a,b）内定义，如果y=f(x)在区间（a,b）内任何一点的函数值都不大于x0点的函数值，就称点x0为函数f(x)的极大值点，其函数值为函数的极大值，记作:y极大值=；如果y=f(x)在区间（a,b）内任何一点的函数值都不小于x0点的函数值，就称点x0为函数f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值，记作:y极小值

=；极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值统称为极值点。⑵判断极值的方法：当函数f(x)在点x0处可导，判断f(x0)是极大（小）值的方法有：①定义法；②导数法：如果在x0的左侧＞0，右侧＜0，那么x0是极大值点，f(x0)是极大值；如果在x0的左侧＜0，右侧＞0，那么x0是极小值点，f(x0)是极小值。简记为：若在x0两侧异号，x0是极值点，f(x0)是极值；若f(x)在x0两侧同号，则x0不是极值点。04一月20244

要点复习若函数f(x)可导，则=0是x0为极值点的必要不充分条件。⑶用导数法求可导函数y=f(x)极值的步骤：

①确定函数f(x)的定义域；

②求函数f(x)的导数；

③解方程=0；用=0的每一个解x0顺次将函数的定义域分成若干个小区间，并列成表格，分析f(x)在x0两侧的符号（即f(x)的单调性），确定极值点。⒋函数的最值

⑴函数的最大与最小值:在闭区间[a,b]上可导的函数f(x)，在区间[a,b]上一定有最大值与最小值，但在开区间（a,b）内可导的函数f(x)不一定有最大值与最小值。

⑵用导数法求可导函数f(x)在闭区间[a,b]上最值的步骤：

①求函数f(x)在区间（a,b）内的极值；

②求函数f(x)在区间端点的函数值f(a),f(b);

③将函数f(x)在区间（a,b）内的每个极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。04一月20245问题提出:极值与最值的区别与联系是什么？X练习函数f(x)在区间[a,b]上的图像如下图:函数f(x)在区间[a,b]的极大值是

极小值是

，最小值是

，最大值是

0x5x1x4yabX33X2f(x1)f(x3)f(x5)f(x2)f(x4)f(a)f(a)04一月20246典例分类剖析题型1求函数的单调区间例1求下列函数的单调区间

⑴f(x)=2x3-3x2-36x+16⑵f(x)=x3-3bx+2(b≠0)解：（1）函数f(x)的定义域为R，=6x2-6x-36=6(x+2)(x-3)

令=6(x+2)(x-3)＞0，解得x＜-2或x＞3

令=6(x+2)(x-3)＜0，解之得-2＜x＜3

故f(x)的单调递增区间为（-∞，-2），(3，+∞)；单调递减区间为（-2，3）（2）函数f(x)的定义域为R，=3x2-3b

当b＜0时，＞0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为（-∞，+∞)；当b＞0时，解＞0即x2＞b得x＜-或x＞；解＜0得-＜x＜所以f(x)的单调递增区间为（-∞，-)，（，+∞）；单调递减区间为（-，）.04一月20247

题型2求函数的极值例2.求函数y=的极值。-+-

极小值

极大值

由表知函数f(x)的极大值为f(x)=-1，极小值为f(-1)=-3

解：

令=0，解得x=1或x=-1列表如下：f(x)00(1，+∞)1(-1，1)-1(-∞，-1）x)(xf¢04一月20248

题型3求函数的最值例3.求函数y=x3-12x2+45x-10在区间[0,10]上的最大值和最小值.解：函数=3x2-24x+45

令=0得3x2-24x+45=0即x2-8x+15=0

解得x1=3或x2=5列表如下：

极大值

极小值

(3，5)05f(x)010(5，10)3(0，3)0x+-+-10240由表知：极大值f(3)=62，极小值f(5)=40所以f(x)在[0，10]上的最大值为240，最小值为-10.04一月202491.f(x)=5x2-2x的单调递增区间是

2.f(x)=x3-3x2+1的单调递减区间是（）

A、（2，+∞）B、（-∞，2）C、（-∞，0）D、（0，2）3.（2009广东）函数f(x)=（x-3）ex的单调递增区间是（）

A、（-∞，2）B、（0，3）C、（1，4）D、（2,+∞）4.函数f(x)的定义域为（a，b），其导函数在（a，b）内的图像如下图所示，则函数f(x)在区间（a，b）内极小值点的个数是（）

5.（2009.辽宁）若函数f(x)=在x=1处取得极值，则a=

.6.(2007.江苏)已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3，3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m=

.7.（2008.安徽）设函数f(x)=(x