结构可靠度讲座-荷载统计分析

2结构可靠度分析与估计2.1工程结构可靠度基本概念

2.2一次二阶矩方法2.1工程结构可靠度基本概念

结构设计的极限状态与极限状态方程

结构可靠度计算的多重积分法结构可靠指标2.1.1结构设计的极限状态与极限状态方程结构设计的极限状态结构的功能随着设计条件的不同而变化，为了判别结构的功能是否得到满足，必须建立一个判别基准，在可靠度设计中，这个判别基准就是极限状态。结构整体的或部分的功能变化若超越某一基准状态，致使其不能满足设计规定的功能要求，这一基准状态视为该功能的极限状态。结构的极限状态通常采用约束值来表示，如结构的应力或变形限值等。极限状态方程

结构设计借助功能函数实现极限状态的数学描述;

结构的功能函数由一组基本设计变量构成，并表示为式中称为结构设计的基本变量

结构功能的状态可分别表示为：

其中，结构功能的极限状态表示为

上式称为结构设计的极限状态方程；是结构可靠与失效边界的数学描述；

也是结构可靠度分析的基本出发点，可以是线性的或非线性的。

我国《工程结构可靠度设计统一标准》（GB50153-92）和《铁路工程结构可靠度设计统一标准》（GB50216-94）等，将结构的极限状态分为承载能力极限状态和正常使用极限状态两类。

1承载能力极限状态是指结构或结构构件达到最大承载能力或

达到不适于继续承载的较大变形的状态。

2正常使用极限状态

是指结构或结构构件达到使用功能上某一允许的限值状态。2.1.2结构可靠度计算的多重积分法基于结构可靠度的定义，可以建立结构可靠度的概率表达式，由（2-2）式可知，功能函数Z>0表示结构处于可靠状态，

该事件的概率就是结构可靠度可表示为结构失效概率表示为

如果功能函数的联合概率密度函数

可以确定，是相互独立的则

现在我们分析一个简单的例子。设功能函数Z有两个互相独立的随机变量R和S，其中R一般代表结构的抗力，S一般代表结构的荷载效应，其相应的概率分布函数为

概率密度函数为fR(r)和fS(s),

结构的功能函数为Z≡g(R,S)=R－S分析R＜S失效事件中的一个样本两个事件同时发生的概率为

结构可靠度研究及其工程实践经验表明，当失效概率

功能函数Z的概率分布FZ(z)的分布形式对于

有很敏感的影响，

采用不同的FZ(z)概率分布函数，会引起

值在几个数量级的范围内变化。

＜

10-5时

当失效概率

≥10-3

时，

计算值对于FZ(z)的分布形式是很不敏感的，

合理的假定功能函数Z的概率分布形式，

值的计算结果大致都在同一数量级的范围之内，

对于工程结构可靠度评估而言已足够精确。

2.1.3结构可靠指标

在一定的条件下，结构可靠度也可通过结构可靠指标来表达。

设结构的功能函数的概率密度为

则结构失效概率Pf可通过下式计算，功能函数Z=R－S遵从正态分布N

设结构抗力R，荷载S是相互独立的正态随机变量

N

N

z

作标准化变量置换，即

失效概率

可表示为

以左的阴影部分面积等于失效概率Pf。

可靠度Ps可表示为β的函数，两者之间存在一一对应的关系，

称为可靠指标或结构可靠指标。命则

例

计算基本变量为对数正态分布的可靠指标：设结构的抗力与荷载R，S遵从对数正态分布；

R的均值和标准差为μR,σR；

S的均值和标准差为μs,σs；结构可靠度的极限状态方程可表示为

lnR-lnS=0或

其可靠指标由下式计算

式中

其中

从而得到当满足；

或满足

且

2.2一次二阶矩方法

2.2.1概述计算结构可靠度或失效概率，

一般无法得到失效概率的解析结果

在工程设计中要求重复执行冗长繁复的运算是不可行的可通过基本变量的均值和标准差计算得出可靠指标，从而计算可靠指标和结构可靠度

其条件是功能函数的概率分布必须遵从正态分布。

设其线性极限状态方程为

；

式中

和是常数；

假定基本变量

是相互独立的，则功能函数

Z的均值

标准差为式中

为基本变量的均值及标准差；

结构可靠度指标为

如

遵从正态分布，其结构失效概率的计算式为对于非线性功能函数的可靠度指标计算，从工程实用的观点出发，一般是将非线性功能函数进行近似线性化处理。

具体的做法是将功能函数

展开成为Taylor级数并取其线性项作为的近似函数，从而按照线性功能函数条件来计算可靠度指标。

这种计算结构可靠度的方法称为一次二阶矩方法。其特点是，结构功能的函数是线性的，如果是非线性功能函数则近似的取其线性项；计算结构可靠指标则是采用基本变量的一阶矩和二阶矩信息。

早期的近似线性化方法是将非线性功能函数

在其均值点处展开为Taylor级数

工程实际应用和研究分析表明，对于同一命题，随着功能函数所取用的表达式不同，与之对应的可靠度指标计算结果可能出现显著的差异为了避免此类问题的发生，需要在“失效面”

上的某一点展开功能函数

点称为“设计验算点”，或“验算点”2.2.2一次二阶矩均值法早期的一次二阶矩方法，对于非线性功能函数的结构可靠度分析，是将其在均值点展开为Taylor级数，并取线性项作为近似函数来计算结构可靠指标。设极限状态方程

将功能函数

在其均值点展开为Taylor级数并取线性项，即

式中，

表示偏导数在各基本变量均值点取值；

由概率论知Z的均值为标准差为

是相互独立的基本变量

用一次二阶矩法计算，其可靠指标为例2-3圆形截面直杆的设计公式为

其功能函数为结构功能的极限状态方程为

已知设计变量的统计值：拉力荷载P100kN，为常量；

材料抗拉强度R的均值和标准差为杆的直径D的均值和标准差为

直杆的可靠指标

计算如下：在本例中P为常量无变异性，R和D是随机变量功能函数在R,D的均值点取线性化近似表达式，有

式中表示功能函数对D,R的偏导数在其均值点取值；

根据本例题的参数，其值为

功能函数线性近似的平均值为

Z的方差为结构可靠指标为如果变换极限状态方程为

计算得出的可靠指标

，与以上的有显著差别

随着极限状态方程形式的变化，其可靠指标的解答不是唯一的。2.2.3一次二阶矩验算点法

*将非线性功能函数在验算点展开为Taylor级数

并取其一次项作为近似表达式，按照线性功能函数进行可靠度估计设非线性功能函数为在展开为Taylor级数并取线性项

式中表示功能函数对的偏导数在取值在失效面上，即故而如基本变量相互独立，则功能函数的平均值为

功能函数的标准差差为结构可靠指标为为了实施结构可靠指标的迭代运算，需要将其表达式（2-33）进行变换设式中表示方向余弦，也称为灵敏系数；其值在并满足

将

式变换为可得到且上式可变换为

上式两边的右乘向量相等，可得出()

从而得到验算点坐标值,()通过迭代法可解出()和

2.3当量正态分布对于非正态分布基本变量（相互独立的）构成的线性功能函数，

一方面

，可以通过直接积分的方法来计算可靠度（有时需进行数字积分）；

另一方面，也可将非正态分布函数转换为当量正态分布函数，

在此基础上

计算可靠指标并借助可靠指标与可靠度的对应关系对结构可靠度进行估计。当量正态分布的概念由Paloheimo（1974）和Rackwitz(1976)等人提出，并得到JCSS的采纳和推荐（当量正态分布的方法又称为JC法）；应用于我国《建筑结构可靠度设计统一标准》；《铁路工程结构可靠度设计统一标准》；《公路工程结构可靠度设计统一标准》；《港口工程结构可靠度设计统一标准》等设计规范。一个统计独立的基本变量非正态分布函数变换为当量正态分布函数的准则是：在设计验算点处，基本变量的非正态分布函数

及概率密度函数当量正态分布函数及当量概率密度函数的纵坐标相等。的原始非正态分布函数为其当量正态分布函数在设计验算点