4.4.1对数函数的概念4.4.2对数函数的图象和性质教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版

+4.4.2对数函数的图象和性质（1）解读目标教材分析：本节课是人教A版数学必修第一册第四章第四节的内容，（结构）课程标准把对数函数安排在必修课程的函数主题下进行教学，是在学生已学习了函数的概念与性质，经历了幂函数与指数函数的学习方法与过程，掌握了对数的定义及运算的基础上引入的一类新的基本初等函数。（作用）是对函数的概念性质的再认识，是基本初等函数类型的再拓广；是对研究函数路径“背景概念图像与性质应用的再强化；是后续学习反函数的重要概念与必备知识，（地位）教材将本节课设立为一个独立的课时，更加强调了对数函数概念的建构与生成，指数函数的概念是通过具体实例观察抽象得到的，而本节课则强调对对数概念的挖掘，通过演绎推理，抽象概括得到对数函数的概念。学情分析：学生知识基础：学生已经学习了指数函数的相关知识，能进行指数与对数的运算，学生能力基础：学生经历了幂函数与指数函数的学习方法与过程，具备了一定类比和数形结合的数学思想，积累了从具体到抽象，从特殊到一般的数学活动经验学生认知困难：指数函数的概念是从具体实例观察抽象得到的，而对数函数的概念的构建则是需要利用函数的定义，演绎推理得出。学生会存在理解困难的现象教学目标：1.通过具体实例，感受对数函数的实际背景，感悟对数函数概念引入的一个必然性2.通过经历对数函数概念的构建过程，理解对数函数的概念与研究方法3.通过应用，掌握对数型函数定义域的求解。教学重点：对数函数的概念教学难点：利用函数定义演绎推理对数函数的概念教学过程设计一、引入对数函数阅读教材P130“思考和后面的第一段内容”，并回答下列问题：问题1.表达式是函数的判断根据是什么？提示函数的概念。问题2.结论“x是y的函数”，说明函数的自变量是，函数是.问题3.在指数函数中字母x的取值范围是（即指数函数的定义域），y的范围是（即指数函数的值域），“将字母x和y对调”得到新函数，那么在新函数中字母x的范围是什么？字母y的范围是什么？函数定义域是？提示字母x的范围是（指数函数y的范围）；字母y的范围是（指数函数x的范围）函数定义域是。二、对数函数概念1.学习对数函数概念我们从函数（x≥0）出发，利用对数与指数的相互关系，得出一个新的函数形式。推广到一般：问题3.①对数函数底数的取值范围是什么？你是怎么得到的？②对数函数的定义域、值域是什么？你是怎么得到的？提示字母x和y对调。对数函数与指数函数的定义域与值域互换。2.认识对数函数的结构问题4判断下列函数哪些是对数函数？【小组讨论互助，汇报点评】①，②，③，④提示④反思感悟对数函数是该结构的最简洁的形式，体现了数学的“简洁美”，其特点为：(1)底数为常数，大于0且不等于1；(2)真数位置是自变量x；(3)前的系数为1.阅读教材P130例1，并完成P131练习第1题。【小组讨论互助，汇报点评】反思感悟求对数型函数的定义域需注意：(1)真数大于0.(2)对数出现在分母上时，真数不能为1.(3)底数上含有自变量时，大于零且不等于1.三、对数函数的图象与性质阅读课本132页完成表格4.41，并思考下列问题问题1在上的任取一点A，其横坐标为，则点A的坐标为（,），若点B在，且其横坐标为，则点B的坐标（，），并思考A,B两点间坐标的关系。完成P132的思考。提示，，两者的横坐标相同；又可知A，B纵坐标互为相反数，即两点关于x轴对称问题2类比指数函数中，底数互为倒数的两个指数函数图象关于y轴对称，对数函数中，底数互为倒数的两个对数函数的图象是否有类似特征？提示底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。探究在同一坐标系内画出函数的图象，说说函数图象从左到右的变化趋势（上升、下降），并指出函数图象的共同特征。提示同一坐标系中函数的图象如图.(1)函数y＝log2x与y＝log3x的图象从左向右是的，底数都是大于1；函数y＝logeq\f(1,2)x和y＝logeq\f(1,3)x的图象从左到右是的，底数都是大于0小于1。(2)图象都过定点(，)，（由可知）函数的图象都在y轴的右侧，且向上向下无限延伸.问题3类比指数函数图象和性质的学习，结合对数函数的图象，总结对数函数的图象和特征，完成下表：a>10<a<1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0当0<x<1时，y>0，当x>1时，y<0单调性增函数减函数温馨提示类比指数函数在x＝1右侧的图象特征：底大图高，两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”（与幂函数的底大图高进行对比）。阅读教材P133例3，并完成P135练习第2题。【小组讨论互助，汇报点评】反思感悟在比较底数相同的两个对数大小时，先根据底数取值情况（）判断对数函数的单调性，再结合真数大小关系得到两个对数的大小。若底数取值情况不确定，就要分类讨论。拓展1.底数相同的指数函数与对数函数互为反函数，他们的图象是关于某条直线对称的，你能找到这条直线吗？（可在同一坐班系中观察的图象与的图象关系中寻找）提示关于直线对称拓展2.若对数底数不同，有时也可比较大小，试比较的大小，并说明理由。提示因为，，，所以拓展3.试用的图象作出、、等函数的图象。四、课堂练习【小组讨论互助，汇报点评】1.已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（

）A．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④⑥【答案】C【解析】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.2．下列选项正确的是（

）A． B．C． D．且【答案】C【解析】对于A，因为是单调递增函数，所以，故A错误；对于B，因为是单调递减函数，所以，故B错误；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，当时，是单调递减函数，当时，是单调递增函数，所以当时，，当时，，故D错误.3．在同一坐标系中，函数与的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由指数函数与对数函数的单调性知：在上单调递增，在上单调递增，只有B满足.4．函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由解得：．5．函数的定义域是___.【答案】【解析】因为函数，所以，即，解得，所以函数的定义域是，五、课堂小结【小组讨论互助，汇报点评】1.函数的一般学习过程是怎样的？具体实例——抽象出函数形式——函数定义——画出函数图象——根据图象总结性质——函数图象与性质应用。2.对数函数的图象与性质是怎样的？3.今天学到的几个典型的问题和解决思路是怎样的？学习单设计一、引入对数函数阅读教材P130“思考和后面的第一段内容”，并回答下列问题：问题1.表达式是函数的判断根据是什么？提示函数的概念。问题2.结论“x是y的函数”，说明函数的自变量是，函数是.问题3.在指数函数中字母x的取值范围是（即指数函数的定义域），y的范围是（即指数函数的值域），“将字母x和y对调”得到新函数，那么在新函数中字母x的范围是什么？字母y的范围是什么？函数定义域是？提示字母x的范围是（指数函数y的范围）；字母y的范围是（指数函数x的范围）函数定义域是。二、对数函数概念1.学习对数函数概念我们从函数（x≥0）出发，利用对数与指数的相互关系，得出一个新的函数形式。推广到一般：函数叫做对数函数，其中x为自变量，定义域是.问题3.①对数函数底数的取值范围是什么？你是怎么得到的？②对数函数的定义域、值域是什么？你是怎么得到的？提示字母x和y对调。对数函数与指数函数的定义域与值域互换。2.认识对数函数的结构问题4判断下列函数哪些是对数函数？①，②，③，④提示④反思感悟对数函数是该结构的最简洁的形式，体现了数学的“简洁美”，其特点为：(1)底数为常数，大于0且不等于1；(2)真数位置是自变量x；(3)前的系数为1.阅读教材P130例1，并完成P131练习第1题。反思感悟求对数型函数的定义域需注意：(1)真数大于0.(2)对数出现在分母上时，真数不能为1.(3)底数上含有自变量时，大于零且不等于1.三、对数函数的图象与性质阅读课本132页完成表格4.41，并思考下列问题问题1在上的任取一点A，其横坐标为，则点A的坐标为（,），若点B在，且其横坐标为，则点B的坐标（，），并思考A,B两点间坐标的关系。完成P132的思考。提示，，两者的横坐标相同；又可知A，B纵坐标互为相反数，即两点关于x轴对称问题2类比指数函数中，底数互为倒数的两个指数函数图象关于y轴对称，对数函数中，底数互为倒数的两个对数函数的图象是否有类似特征？提示底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。探究在同一坐标系内画出函数的图象，说说函数图象从左到右的变化趋势（上升、下降），并指出函数图象的共同特征。提示同一坐标系中函数的图象如图.(1)函数y＝log2x与y＝log3x的图象从左向右是的，底数都是大于1；函数y＝logeq\f(1,2)x和y＝logeq\f(1,3)x的图象从左到右是的，底数都是大于0小于1。(2)图象都过定点(，)，（由可知）函数的图象都在y轴的右侧，且向上向下无限延伸.问题3类比指数函数图象和性质的学习，结合对数函数的图象，总结对数函数的图象和特征，完成下表：性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0当0<x<1时，y>0，当x>1时，y<0单调性增函数减函数温馨提示类比指数函数在x＝1右侧的图象特征：底大图高，两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”（与幂函数的底大图高进行对比）。3.简单对数值比较大小阅读教材P133例3，并完成P135练习第2题。反思感悟在比较底数相同的两个对数大小时，先根据底数取值情况（）判断对数函数的单调性，再结合真数大小关系得到两个对数的大小。若底数取值情况不确定，就要分类讨论。拓展1.底数相同的指数函数与对数函数互为反函数，他们的图象是关于某条直线对称的，你能找到这条直线吗？（可在同一坐班系中观察的图象与的图象关系中寻找）提示关于直线对称拓展2.若对数底数不同，有时也可比较大小，试比较的大小，并说明理由。提示因为，，，所以拓展3.试用的图象作出、、等函数的图象。四、课堂