2024届广东省梅州市梅江实验中学九年级数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2024届广东省梅州市梅江实验中学九年级数学第一学期期末学业质量监测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，中，，，，则（）A． B． C． D．2．已知点P在线段AB上，且AP∶PB=2∶3，那么AB∶PB为（）A．3∶2 B．3∶5 C．5∶2 D．5∶33．如图，在圆O中，弦AB=4，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交圆O于点D，则CD的最大值为（）A． B．2 C． D．4．已知二次函数（为常数），当时，函数值的最小值为，则的值为（）A． B． C． D．5．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为（）A．105° B．115° C．125° D．135°6．随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后至少有一次正面朝上的概率是（）A． B． C． D．17．如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段AB，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（-4,1） B．（－1,2） C．（4,-1） D．（1,-2）8．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．109．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE＝AF，AC与EF相交于点G，下列结论：①AC垂直平分EF；②BE+DF＝EF；③当∠DAF＝15°时，△AEF为等边三角形；④当∠EAF＝60°时，S△ABE＝S△CEF，其中正确的是（）A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④10．已知关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠111．在一个不透明的盒子中装有个白球,若于个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同.若从中随机摸出一个球,它是白球的概率为,则黄球的个数为()A． B． C． D．12．如图，直线l和双曲线y=(k>0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3，则()A．S1＜S2＜S3 B．S1＞S2＞S3 C．S1＝S2＞S3 D．S1＝S2＜S3二、填空题（每题4分，共24分）13．点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则=________．14．将一副三角板按图所示的方式叠放在一起，使直角的顶点重合于点，并能使点自由旋转，设，，则与之间的数量关系是__________．15．《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n，在计算n+(n+1)+(n+2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，例如：32是“纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．那么，小于100的自然数中，“纯数”的个数为___________个．16．若3a=2b，则a:b=________．17．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2﹣1可取到的最大值为3，则m＝_____．18．请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达式_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，的顶点是双曲线与直线在第二象限的交点．轴于，且．（1）求反比例函数的解析式；（2）直线与双曲线交点为、，记的面积为，的面积为，求20．（8分）（1）已知：如图1，为等边三角形，点为边上的一动点（点不与、重合），以为边作等边，连接.求证：①，②；（2）如图2，在中，，，点为上的一动点（点不与、重合），以为边作等腰，（顶点、、按逆时针方向排列），连接，类比题（1），请你猜想：①的度数；②线段、、之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若点在的延长线上运动，以为边作等腰，（顶点、、按逆时针方向排列），连接.①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；②连结，若，，直接写出的长.21．（8分）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积．22．（10分）某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：（1）本次随机调查了多少名学生？（2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；（3）若该校共有名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或列表法求处恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字幕表示）23．（10分）如图，在中，，垂足为平分，交于点，交于点.(1)若，求的长；(2)过点作的垂线，垂足为，连接，试判断四边形的形状，并说明原因.24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，曲线经过点A．（1）求曲线的表达式；（2）直线y=ax+3(a≠0)与曲线围成的封闭区域为图象G．①当时，直接写出图象G上的整数点个数是；（注：横，纵坐标均为整数的点称为整点，图象G包含边界．）②当图象G内只有3个整数点时，直接写出a的取值范围．25．（12分）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）26．为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A处到E处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部D点测得条幅顶端A点的仰角∠ADF=45°，条幅底端E点的俯角为∠FDE=30°，DF⊥AB，若甲、乙两楼的水平距离BC为21米，求条幅的长AE约是多少米？（，结果精确到0.1米）

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】由题意根据勾股定理求出BC，进而利用三角函数进行分析即可求值.【详解】解：∵中，，，，∴，∴.故选：B.【点睛】本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义及运用，注意掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2、D【分析】根据比例的合比性质直接求解即可．【详解】解：由题意AP∶PB=2∶3，AB∶PB=（AP+PB）∶PB=（2+3）∶3=5∶3；故选择：D.【点睛】本题主要考查比例线段问题，关键是根据比例的合比性质解答．3、B【分析】连接OD，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据垂径定理计算即可．【详解】连接OD，如图，设圆O的半径为r，∵CD⊥OC，∴∠DCO=90°，∴CD=，∴当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B重合，则由垂径定理可得：CD=CB=AC=AB=1，∴CD的最大值为1.故答案为：1．【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理，作辅助线构造直角三角形应用勾股定理，并熟记垂径定理内容是解题的关键.4、B【分析】函数配方后得，抛物线开口向上，在时，取最小值为-3，列方程求解可得．【详解】∵，∴抛物线开口向上，且对称轴为，∴在时，有最小值-3，即：，解得，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及增减性是解题的关键．5、D【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出．【详解】∵△ABC∽△EDF，∴∠BAC＝∠DEF，又∵∠DEF＝90°+45°＝135°，∴∠BAC＝135°，故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是找到对应角6、C【解析】先求出两次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况，再根据概率公式求解．【详解】随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后情况如下：至少有一次正面朝上的概率是．故选C．【点睛】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．7、D【解析】在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度；图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．【详解】将线段AB先向右平移5个单位，点B（2，1），连接OB，顺时针旋转90°，则B'对应坐标为（1，-2），故选D．【点睛】本题考查了图形的平移与旋转，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键．8、B【解析】先通过解方程求出等腰三角形两边的长，然后利用三角形三边关系确定等腰三角形的腰和底的长，进而求出三角形的周长．本题解析：x²-4x+3=0(x−3)(x−1)=0，x−3=0或x−1=0，所以x₁=3,x₂=1，当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1=7，当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去，所以三角形的周长为7.故答案为7.考点：解一元二次方程-因式分解法,三角形三边关系,等腰三角形的性质9、C【解析】①通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，②设BC=a，CE=y，由勾股定理就可以得出EF与x、y的关系，表示出BE与EF，即可判断BE+DF与EF关系不确定；③当∠DAF=15°时，可计算出∠EAF=60°，即可判断△EAF为等边三角形，④当∠EAF=60°时，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．【详解】①四边形ABCD是正方形，∴AB═AD，∠B=∠D=90°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF∵BC=CD，∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，∵AE=AF，∴AC垂直平分EF．（故①正确）．②设BC=a，CE=y，∴BE+DF=2（a-y）EF=y，∴BE+DF与EF关系不确定，只有当y=（2−）a时成立，（故②错误）．③当∠DAF=15°时，∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠DAF=∠BAE=15°，∴∠EAF=90°-2×15°=60°，又∵AE=AF∴△AEF为等边三角形．（故③正确）．④当∠EAF=60°时，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出：(x+y)2+y2＝(x)2∴x2=2y（x+y）∵S△CEF=x2，S△ABE=y(x+y)，∴S△ABE=S△CEF．（故④正确）．综上所述，正确的有①③④，故选C．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．10、D【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到一元二次方程的二次项系数不为零、根的判别式的值大于零，从而列出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可得到的取值范围．【详解】根据题意得：，且，解得：，且．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，能够准确得到关于的不等式组是解决问题的关键．11、B【分析】根据题意可知摸出白球的概率=白球个数÷白球与黄球的和，代入求x即可.【详解】解：设黄球个数为x,∵在一个不透明的盒子中装有个白球,若干个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同.若从中随机摸出一个球,它是白球的概率为,∴=8÷(8+x)∴x=4，经检验x=4是分式方程的解，故选：B【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，正确理解题意是解题的关键.12、D【分析】根据双曲线的解析式可得所以在双曲线上的点和原点形成的三角形面积相等，因此可得S1＝S2，设OP与双曲线的交点为P1，过P1作x轴的垂线，垂足为M，则可得△OP1M的面积等于S1和S2，因此可比较的他们的面积大小.【详解】根据双曲线的解析式可得所以可得S1＝S2=设OP与双曲线的交点为P1，过P1作x轴的垂线，垂足为M因此而图象可得所以S1＝S2＜S3故选D【点睛】本题主要考查双曲线的意义，关键在于，它代表的就是双曲线下方的矩形的面积.二、填空题（每题4分，共24分）13、．【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），∴=．故答案为．点睛：本题考查了黄金分割的定义，牢记黄金分割比是解题的关键．14、【分析】分重叠和不重叠两种情况讨论，由旋转的性质，即可求解．【详解】如图，由题意得：，，，．如图，由题意得：，，，，．综上所述，，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．15、1【分析】根据题意，连续的三个自然数各位数字是0，1，2，其他位的数字为0，1，2，3时不会产生进位，然后根据这个数是几位数进行分类讨论，找到所有合适的数．【详解】解：当这个数是一位自然数时，只能是0，1，2，一共3个，当这个数是两位自然数时，十位数字是1，2，3，个位数是0，1，2，一共9个，∴小于100的自然数中，“纯数”共有1个．故答案是：1．【点睛】本题考查归纳总结，解题的关键是根据题意理解“纯数”的定义，总结方法找出所有小于100的“纯数”．16、2:3【解析】试题分析：根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，可知a:b=2:3考点：比例的意义和基本性质点评：比例的基本性质是解题的关键17、﹣1.5或1．【分析】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得m的值．【详解】∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝﹣(x﹣m)1+m1﹣1可取到的最大值为3，∴当m≤﹣1时，x＝﹣1时，函数取得最大值，即3＝﹣(﹣1﹣m)1+m1﹣1，得m＝﹣1.5；当﹣1＜m＜3时，x＝m时，函数取得最大值，即3＝m1﹣1，得m1＝1，m1＝﹣1（舍去）；当m≥3时，x＝3时，函数取得最大值，即3＝﹣(3﹣m)1+m1﹣1，得m＝（舍去）；由上可得，m的值为﹣1.5或1，故答案为：﹣1.5或1．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．18、y=﹣x2+4.【解析】试题解析：开口向下，则y轴的交点坐标为这个抛物线可以是故答案为三、解答题（共78分）19、（1）；（2）【分析】（1）由可得，再根据函数图像可得，即可得到函数解析式.（2）先求得一次函数解析式，再联立方程组求得点A和点C的坐标，记直线与轴的交点为，求得点坐标为，，即可求得.【详解】解：（1）∵，∴双曲线在二、四象限反比例函数的解析式为（2）由（1）可得，代入可得一次函数的解析式为，联立方程组，得，易求得点为，点为记直线与轴的交点为，在中，当y=0，则x=2，∴点坐标为，，．【点睛】此题首先利用待定系数法确定函数解析式，然后利用解方程组来确定图象的交点坐标，及利用坐标求出线段和图形的面积．20、（1）①见解析；②∠DCE＝110°；（1）∠DCE＝90°,BD1+CD1＝DE1．证明见解析；（3）①（1）中的结论还成立，②AE＝.【分析】（1）①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，即可得出结论；②由△ABD≌△ACE，以及等边三角形的性质，就可以得出∠DCE＝110°；

（1）先判定△ABD≌△ACE（SAS），得出∠B=∠ACE=45°，BD=CE，在Rt△DCE中，根据勾股定理得出CE1+CD1=DE1，即可得到BD1+CD1=DE1；

（3）①运用（1）中的方法得出BD1+CD1=DE1；②根据Rt△BCE中，BE=10，BC=6，求得进而得出CD=8-6=1，在Rt△DCE中，求得最后根据△ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的长．【详解】（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠ACB＝∠B＝60°，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；②∵△ABD≌△ACE,∠ACE＝∠B＝60°,∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝110°；（1）∠DCE＝90°,BD1+CD1＝DE1．证明：如图1，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∴Rt△DCE中，CE1+CD1＝DE1，∴BD1+CD1＝DE1；（3）①（1）中的结论还成立．

理由：如图3，∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，

即∠BAD=∠CAE，

在△ABD与△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABC=∠ACE=45°，BD=CE，

∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，

∴∠BCE=90°=∠ECD，

∴Rt△DCE中，CE1+CD1=DE1，

∴BD1+CD1=DE1；②∵Rt△BCE中，BE=10，BC=6，∴BD=CE=8，

∴CD=8-6=1，

∴Rt△DCE中，∵△ADE是等腰直角三角形，【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等．解题时注意：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．21、（1)证明见解析；（2）平行四边形OABC的面积S=1【解析】试题分析：（1）连接OD，求出∠EOC=∠DOC，根据SAS推出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据全等三角形的性质求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=3，根据平行四边形的面积公式求出即可．试题解析：（1）连接OD，∵OD=OA，∴∠ODA=∠A，∵四边形OABC是平行四边形，∴OC∥AB，∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，∴∠EOC=∠DOC，又∵OE=OD，OC=OC，∴△EOC≌△DOC（SAS），∴∠ODC=∠OEC=90°，即OD⊥DC，∴CD是⊙O的切线；（2）∵△EOC≌△DOC，∴CE=CD=4，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA=BC=3，∴平行四边形OABC的面积S=OA×CE=3×4=1．考点：1、全等三角形的性质和判定；2、切线的判定与性质；3、平行四边形的性质．22、（1）（人）；（2）详见解析；（3）【解析】（1）由器乐的人数及其所占百分比可得总人数；（2）总人数乘以书画对应百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得戏曲人数，从而补全图形；（3）利用样本估计总体思想求解可得；（4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．【详解】解：（1）本次随机调查的学生人数为（人）；（2）书画的人数为（人），戏曲的人数为（人），补全图形如下：（3）估计全校学生选择“戏曲”类的人数约为（人）；（4）列表得：∵共有种等可能的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的有2种结果，∴恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率为【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．解题关键在于注意概率＝所求情况数与总情况数之比．23、（1）CE＝2；（2）菱形，理由见解析.【分析】（1）根据题意易求得∠ACD＝∠CAF＝∠BAF＝30°，可得AE=CE，然后利用30°角的三角函数可求得CD的长、DE与AE的关系，进一步可得CE与CD的关系，进而可得结果；（2）根据角平分线的性质可得CF＝GF，根据HL可证Rt△ACF≌Rt△AGF，从而得∠AFC＝∠AFG，由平行线的性质和等量代换可得∠CEF＝∠CFE，可得CE＝CF，进而得CE＝FG，根据一组对边平行且相等可得四边形CEGF是平行四边形，进一步即得结论．【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝30°，∵AC＝6，∴，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝30°，∴∠ACD＝∠CAF，，∴CE＝AE＝2DE，∴CE＝2；（2）四边形CEGF是菱形．证明：∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，在Rt△ACF与Rt△AGF中，∵AF=AF，CF=GF，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴∠AFC＝∠AFG，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴CE＝FG，∵CE∥FG，∴四边形CEGF是平行四边形，∵CE＝CF，∴平行四边形CEGF是菱形．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的性质、锐角三角函数、菱形的判定和直角三角形全等的判定和性质等知识，属于常