2024届北京理工大附中分校数学九上期末预测试题含解析

2024届北京理工大附中分校数学九上期末预测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．二次三项式配方的结果是（）A． B．C． D．2．二次函数化为的形式，结果正确的是（）A． B．C． D．3．方程x2﹣4x+5＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．有一个实数根 D．没有实数根4．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为()A．m＞1 B．m＞0 C．m＞－1 D．－1＜m＜05．下列数是无理数的是（）A． B． C． D．6．如图，菱形ABCD中，EF⊥AC，垂足为点H，分别交AD、AB及CB的延长线交于点E、M、F，且AE：FB＝1：2，则AH：AC的值为（）A． B． C． D．7．据有关部门统计，2019年“五一小长假”期间，广东各大景点共接待游客约14400000人次，将数14400000用科学记数法表示为（）A． B． C． D．8．中，，若，，则的长为（）A． B． C． D．59．如图，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在BC边上.若，则CD的长为（）A．1 B． C． D．210．正六边形的周长为12，则它的面积为（）A． B． C． D．11．不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（）A． B． C． D．12．如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（）A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在□ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动．当点P运动_____秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．14．如图，在平行四边形ABCD中，AE：BE＝2：1，F是AD的中点，射线EF与AC交于点G，与CD的延长线交于点P，则的值为_____．15．如图，AB是⊙O的直径，且AB=4，点C是半圆AB上一动点（不与A，B重合），CD平分∠ACB交⊙O于点D，点I是△ABC的内心，连接BD．下列结论：①点D的位置随着动点C位置的变化而变化；②ID=BD；③OI的最小值为；④ACBC=CD．其中正确的是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）16．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是______．17．若关于的方程和的解完全相同，则的值为________．18．在中，，，则______________.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，四边形是正方形，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，为的中点，连接，.（1）如图1，当时，求证：；（2）如图2，当时，（1）还成立吗？请说明理由.20．（8分）如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且点B的坐标为（4，2）．（1）画出关于点O成中心对称的，并写出点B1的坐标；（2）求出以点B1为顶点，并经过点B的二次函数关系式.21．（8分）前苏联教育家苏霍姆林斯曾说过：“让学生变聪明的方法，不是补课，不是増加作业量，而是阅读，阅读，再阅读”.课外阅读也可以促进我们养成终身学习的习惯.云南某学校组织学生利用课余时间多读书，读好书，一段时间后，学校对部分学生每周阅读时间进行调查，并绘制了不完整的频数分布表和频数分布直方图，如图所示：时间（时）频数百分比1010%25mn30%a20%1515%根据图表提供的信息，回答下列问题：（1）填空：______，________；（2）请补全频数分布直方图；（3）该校共有3600名学生，估计学生每周阅读时间x（时）在范围内的人数有多少人？22．（10分）（1）x2+2x﹣3＝0（2）（x﹣1）2＝3（x﹣1）23．（10分）如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是1．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（1）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．24．（10分）某小型工厂9月份生产的、两种产品数量分别为200件和100件，、两种产品出厂单价之比为2:1，由于订单的增加，工厂提高了、两种产品的生产数量和出厂单价，10月份产品生产数量的增长率和产品出厂单价的增长率相等，产品生产数量的增长率是产品生产数量的增长率的一半，产品出厂单价的增长率是产品出厂单价的增长率的2倍，设产品生产数量的增长率为（），若10月份该工厂的总收入增加了，求的值.25．（12分）某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：（1）每千克涨价x元，那么销售量表示为千克，涨价后每千克利润为元（用含x的代数式表示．）（2）要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应定为多少？这时应进货多少千克？26．为进一步深化基教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了A书法、B阅读，C足球，D器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．（1）学生小红计划选修两门课程，请写出所有可能的选法；（2）若学生小明和小刚各计划送修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【解析】试题分析：在本题中，若所给的式子要配成完全平方式，常数项应该是一次项系数-4的一半的平方；可将常数项3拆分为4和-1，然后再按完全平方公式进行计算．解：x2-4x+3=x2-4x+4-1=（x-2）2-1．故选B．考点：配方法的应用．2、A【分析】将选项展开后与原式对比即可；【详解】A：，故正确；B：，故错误；C：，故错误；D：，故错误；故选A.【点睛】本题主要考查了二次函数的三种形式，掌握二次函数的三种形式是解题的关键.3、D【详解】解：∵a=1，b=﹣4，c=5，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，所以原方程没有实数根．4、B【分析】利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组．【详解】顶点坐标（m,m+1）在第一象限，则有解得：m>0,故选B.考点：二次函数的性质．5、C【分析】根据无理数的定义进行判断即可．【详解】A.，有理数；B.，有理数；C.，无理数；D.，有理数；故答案为：C．【点睛】本题考查了无理数的问题，掌握无理数的定义是解题的关键．6、B【分析】连接BD，如图，利用菱形的性质得AC⊥BD，AD＝BC，AD∥BC，再证明EF∥BD，接着判断四边形BDEF为平行四边形得到DE＝BF，设AE＝x，FB＝DE＝2x，BC＝3x，所以AE：CF＝1：5，然后证明△AEH∽△CFH得到AH：HC＝AE：CF＝1：5，最后利用比例的性质得到AH：AC的值．【详解】解：连接BD，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AD＝BC，AD∥BC，∵EF⊥AC，∴EF∥BD，而DE∥BF，∴四边形BDEF为平行四边形，∴DE＝BF，由AE：FB＝1：2，设AE＝x，FB＝DE＝2x，BC＝3x，∴AE：CF＝x：5x＝1：5，∵AE∥CF，∴△AEH∽△CFH，∴AH：HC＝AE：CF＝1：5，∴AH：AC＝1：1．故选：B．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知菱形的性质及相似三角形的性质.7、A【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】14400000=1.44×1．故选：A．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8、B【分析】根据题意，可得=，又由AB=4，代入即可得AC的值.【详解】解：∵中，，，∴=.∴AC=AB==.故选B.【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和勾股定理解答．9、D【分析】由直角三角形的性质可得AB=2，BC=2AB=4，由旋转的性质可得AD=AB，可证△ADB是等边三角形，可得BD=AB=2，即可求解．【详解】解：∵AC=，∠B=60°，∠BAC=90°

∴AB=2，BC=2AB=4，

∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，

∴AD=AB，且∠B=60°

∴△ADB是等边三角形

∴BD=AB=2，

∴CD=BC-BD=4-2=2

故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．10、D【分析】首先根据题意画出图形，即可得△OBC是等边三角形，又由正六边形ABCDEF的周长为12，即可求得BC的长，继而求得△OBC的面积，则可求得该六边形的面积．【详解】解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，

∴∠BOC=×360°=60°，

∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，

∵正六边形ABCDEF的周长为12，

∴BC=12÷6=2，

∴OB=BC=2，∴BM=BC=1，

∴OM==，

∴S△OBC=×BC×OM=×2×=，

∴该六边形的面积为：×6=6．

故选：D．【点睛】此题考查了圆的内接六边形的性质与等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．11、D【分析】用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可．【详解】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：第一次第二次开始∴两次都是红球．故选D．【点睛】考查用树状图或列表法，求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现的结果数，然后用分数表示，同时注意“放回”与“不放回”的区别．12、D【分析】先求出∠DAE＝∠BAC，再根据相似三角形的判定方法分析判断即可．【详解】∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC，A、添加∠B＝∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；B、添加∠C＝∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；C、添加可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不合题意；D、添加不能证明△ABC∽△ADE，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定方法：两角法、两边及其夹角法、三边法、平行线法．二、填空题（每题4分，共24分）13、3或1【分析】由四边形ABCD是平行四边形得出：AD∥BC，AD=BC，∠ADB=∠CBD，又由∠FBM=∠CBM，即可证得FB=FD，求出AD的长，得出CE的长，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意列出方程并解方程即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADB=∠CBD，∵∠FBM=∠CBM，∴∠FBD=∠FDB，∴FB=FD=12cm，∵AF=6cm，∴AD=18cm，∵点E是BC的中点，∴CE=BC=AD=9cm，要使点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则PF=EQ即可，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意得：6-t=9-2t或6-t=2t-9，解得：t=3或t=1．故答案为3或1．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．14、【分析】设则，根据是平行四边形，可得，即，和，可得，由于是的中点，可得，因此，，，再通过便可得出．【详解】解：∵∴设，，则∵是平行四边形∴，∴，，∴∴又∵是的中点∴∴∴∴∴故答案为：【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求证两个三角形相似，再通过比值等量代换表示出边的数量关系是解题的关键．15、②④【分析】①在同圆或等圆中，根据圆周角相等，则弧相等可作判断；②连接IB，根据点I是△ABC的内心，得到，可以证得，即有，可以判断②正确；③当OI最小时，经过圆心O，作，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，可求出，可判断③错误；④用反证法证明即可．【详解】解：平分，AB是⊙O的直径，，，是的直径，是半圆的中点，即点是定点；故①错误；如图示，连接IB，∵点I是△ABC的内心，∴又∵，∴即有∴，故②正确；如图示，当OI最小时，经过圆心O，过I点，作，交于点∵点I是△ABC的内心，经过圆心O，∴，∵∴是等腰直角三角形，又∵，∴，设，则，，∴，解之得：，即：，故③错误；假设，∵点C是半圆AB上一动点，则点C在半圆AB上对于任意位置上都满足，如图示，当经过圆心O时，，，∴与假设矛盾，故假设不成立，∴故④正确；综上所述，正确的是②④，故答案是：②④【点睛】此题考查了三角形的内心的定义和性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形外接圆有关的性质，角平分线的定义等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．16、或【分析】先求出点A（-4,0），B（0，-3），利用勾股定理得到AB=5，过点P作PC⊥AB于点C，则PC=1，证明△PAC∽△BAO，得到，求出PA=，再分点P在点A的左侧和右侧两种情况分别求出OP，即可得到点P的坐标.【详解】令中x=0，得y=-3；令y=0，得x=-4，∴A（-4,0），B（0，-3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，过点P作PC⊥AB于点C，则PC=1，∴∠PCA=∠AOB=90°，∵∠PAC=∠BAO，∴△PAC∽△BAO，∴,∴，∴PA=，当点P在点A左侧时，PO=PA+OA=+4=，∴点P的坐标为（-，0）；当点P在点A的右侧时，PO=OA-PA=4-=，∴点P的坐标为（-，0），故答案为：或.【点睛】此题考查一次函数与x轴、y轴的交点坐标，勾股定理，圆的切线的性质定理,相似三角形的判定及性质，解题中注意运用分类讨论的思想.17、1【分析】先分解因式，根据两方程的解相同即可得出答案．【详解】解：，，∵关于x的方程和的解完全相同，∴a=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能正确用因式分解法解方程是解此题的关键．18、【分析】根据sinA=，可得出的度数，并得出的度数，继而可得的值．【详解】在Rt△ABC中，，∵，∴∴∴=.故答案为：.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.三、解答题（共78分）19、（1）详见解析；（2）当时，成立，理由详见解析.【分析】（1）由旋转的性质得：，根据直角三角形斜边中线的性质可得OD=CF，OE=CF，进而可得OD=OE；（2）连接CE、DF，根据等腰三角形的性质可得，利用角的和差关系可得，利用SAS可证明△ACE≌△AFD，可得CE=DF，∠ECA=∠DFA，利用角的和差关系可得，利用SAS可证明△EOC≌△DOF，即可证明OD=OE，可得（1）结论成立.【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴∠BAC=45°，∵将绕点逆时针旋转得，=45°，∴点E在AC上，∴，为的中点，∴同理：∴.（2）当时，成立，理由如下：连接，如图所示：∵在正方形中，，AB=AE，∴，∵为的中点，∴，∵，∴，∵=45°，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴.【点睛】本题考查正方形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定与性质，正确得出对应边和对应角，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.20、（1）图见解析，点；（2）.【分析】(1)先由条件求出A点的坐标,再根据中心对称的性质求出、的坐标,最后顺次连接、,△OAB关于点O成中心对称的△就画好了,可求出B1点坐标.(2)根据(1)的结论设出抛物线的顶点式,利用待定系数法就可以直接求出其抛物线的解析式.【详解】（1）如图，点.（2）设二次函数的关系式是，

把（4，2）代入上式得，，即二次函数关系式是.【点睛】本题主要考查中心对称的性质，及用待定系数法求二次函数的解析式，难度不大.21、（1）25%，30；（2）见解析；（3）1800人【分析】（1）根据百分比之和等于1求出m的值，由0≤x＜3的频数及频率求出总人数，总人数乘以对应的百分比求出n的值；（2）总人数乘以对应的百分比求出a的值，从而补全直方图；（3）总人数乘以对应的百分比可得答案．【详解】（1）抽取的学生人数为：（人）；∴，.故答案为：25%，30；（2），补全频数分布直方图如解图所示；（3）（人），答：估计学生每周阅读时间x（时）在范围内的人数有1800人.【点睛】错因分析：第（1）问，①未搞清楚各组百分比之和等于1；②各组频数之和等于抽取的样本总数；第（2）问，不会利用各组的频数等于样本总数乘各组所占的百分比来计算，第（3）问，样本估计总体时，忽略了要用总人数乘时间段“6～9和9～12”这两个时间段所占的百分比之和.22、（1）x＝﹣3或x＝1;（2）x＝1或x＝4.【分析】（1）用因式分解法求解即可；（2）先移项，再用因式分解法求解即可.【详解】解：（1）∵x2+2x﹣3＝0，∴(x+3)(x﹣1)＝0，∴x＝﹣3或x＝1；（2）∵(x﹣1)2＝3(x﹣1)，∴(x﹣1)[(x﹣1)﹣3]＝0，∴(x﹣1)(x﹣4)＝0，∴x＝1或x＝4；【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.23、（1），顶点D（1，）；（1）C（，0）或（，0）或（，0）；（2）【解析】（1）抛物线的顶点D的横坐标是1，则x1，抛物线过A（0，﹣2），则：函数的表达式为：y=ax1+bx﹣2，把B点坐标代入函数表达式，即可求解；（1）分AB=AC、AB=BC、AC=BC，三种情况求解即可；（2）由S△PAB•PH•xB，即可求解．【详解】（1）抛物线的顶点D的横坐标是1，则x1①，抛物线过A（0，﹣2），则：函数的表达式为：y=ax1+bx﹣2，把B点坐标代入上式得：9=15a+5b﹣2②，联立①、②解得：a，b，c=﹣2，∴抛物线的解析式为：yx1x﹣2．当x=1时，y，即顶点D的坐标为（1，）；（1）A（0，﹣2），B（5，9），则AB=12，设点C坐标（m，0），分三种情况讨论：①当AB=AC时，则：（m）1+（﹣2）1=121，解得：m=±4，即点C坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；②当AB=BC时，则：（5﹣m）1+91=121，解得：m=5，即：点C坐标为（5，0）或（5﹣1，0）；③当AC=BC时，则：5﹣m）1+91=（m）1+（﹣2）1，解得：m=，则点C坐标为（，0）．综上所述：存在，点C的坐标为：（±4，0）或（5，0）或（，0）；（2）过点P作y轴的平行线交AB于点H．设直线AB的表达式为y=kx﹣2，把点B坐标代入上式，9=5k﹣2，则k，故函数的表达式为：yx﹣2，设点P坐标为（m，m1m﹣2），则点H坐标为（m，m﹣2），S△