2023年重庆市江津区实验中学数学九上期末经典试题含解析

2023年重庆市江津区实验中学数学九上期末经典试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．用配方法解方程x2+2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x﹣1）2=6 B．（x+1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=92．如图，在▱APBC中，∠C＝40°，若⊙O与PA、PB相切于点A、B，则∠CAB＝（）A．40° B．50° C．60° D．70°3．若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A︰∠B︰∠C=1︰3︰8，则∠D的度数是A．10° B．30° C．80° D．120°4．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上两点，则，其中说法正确的是（

）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④5．函数y=ax2+1与（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．6．一件衣服225元，连续两次降价x%后售价为144元，则x＝（）A．0.2 B．2 C．8 D．207．二次函数图象的顶点坐标是（）A． B． C． D．8．数据3、4、6、7、x的平均数是5，这组数据的中位数是（）A．4 B．4.5 C．5 D．69．如图，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（）A． B．C． D．10．下面四个图案分别是步行标志、禁止行人通行标志、禁止驶入标志和直行标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为_______.12．将抛物线向左平移5个单位，再向上平移2个单位后得到的抛物线的解析式为_______________________．13．已知二次函数的图象经过点，的横坐标分别为，点的位置随的变化而变化，若运动的路线与轴分别相交于点,且（为常数），则线段的长度为_________.14．已知中，，，，则的长为__________．15．如图，在正方形中，，将绕点顺时针旋转得到，此时与交于点，则的长度为___________.16．如图，在中，是斜边的垂直平分线，分别交于点，若，则______．17．两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们对应中线的比为______．18．在一个布袋中装有四个完全相同的小球，它们分别写有“美”、“丽”、“罗”、“山”的文字．先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球，求两次摸出的球上是含有“美”“丽”二字的概率为_____．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在□ABCD中，AD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B．（1）求证：；（2）若AB＝5，AD＝8，求⊙O的半径．20．（6分）一次知识竞赛中，有甲、乙、丙三名同学名次并列，但奖品只有两份，谁应该得到奖品呢？他们决定用抽签的方式来决定：取张大小、质地相同，分别标有数字的卡片，充分混匀后倒扣在桌子上，按甲、乙、丙的顺序，每人从中任意抽取一张，取后不放回.规定抽到号或号卡片的人得到奖品.求甲、乙两人同时得到奖品的概率.21．（6分）解方程：2x2+x﹣6＝1．22．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+2nx+c的图象过坐标原点.(1)若a=-1.①当函数自变量的取值范围是-1≤x≤2，且n≥2时，该函数的最大值是8，求n的值;②当函数自变量的取值范围是时，设函数图象在变化过程中最高点的纵坐标为m，求m与n的函数关系式，并写出n的取值范围;（2）若二次函数的图象还过点A（-2，0），横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点，二次函数图象与直线AB围城的区域（不含边界）为T，若区域T内恰有两个整点，直接写出a的取值范围.23．（8分）如图，双曲线与直线相交于点（点在第一象限），其横坐标为2.（1）求的值；（2）若两个图像在第三象限的交点为，则点的坐标为；（3）点为此反比例函数图像上一点，其纵坐标为3，过点作，交轴于点，直接写出线段的长．24．（8分）如图，港口位于港口的南偏西方向，灯塔恰好在的中点处，一艘海轮位于港口的正南方向，港口的正东方向处，它沿正北方向航行到达处，侧得灯塔在北偏西方向上.求此时海轮距离港口有多远？25．（10分）如图，在▱ABCD中过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．（1）求证：△ABF∽△BEC；（2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长．26．（10分）如图，已知：抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，且OB=2CO.(1)求二次函数解析式；(2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【解析】x2+2x﹣5=0，x2+2x=5，x2+2x+1=5+1，（x+1）2=6，故选B.2、D【分析】根据切线长定理得出四边形APBC是菱形，再根据菱形的性质即可求解.【详解】解：∵⊙O与PA、PB相切于点A、B，∴PA＝PB∵四边形APBC是平行四边形，∴四边形APBC是菱形，∴∠P＝∠C＝40°，∠PAC＝140°∴∠CAB＝∠PAC＝70°故选D．【点睛】此题主要考查圆的切线长定理，解题的关键是熟知菱形的判定与性质.3、D【解析】试题分析：设∠A=x，则∠B=3x，∠C=8x，因为四边形ABCD为圆内接四边形，所以∠A+∠C=180°，即：x+8x=180，∴x=20°，则∠A=20°，∠B=60°，∠C=160°，所以∠D=120°，故选D考点:圆内接四边形的性质4、A【分析】根据二次函数的图像和性质逐个分析即可．【详解】解：对于①：∵抛物线开口向上，∴a>0，∵对称轴，即，说明分子分母a,b同号，故b>0，∵抛物线与y轴相交，∴c<0，故，故①正确；对于②：对称轴，∴，故②正确；对于③：抛物线与x轴的一个交点为(-3,0)，其对称轴为直线x=-1，根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为,1,0)，故当自变量x=2时，对应的函数值y=，故③错误；对于④：∵x=-5时离对称轴x=-1有4个单位长度，x=时离对称轴x=-1有个单位长度，由于＜4，且开口向上，故有，故④错误，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的图像与其系数的符号之间的关系，熟练掌握二次函数的图形性质是解决此类题的关键．5、B【解析】试题分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论：当a＞0时，y=ax2+1开口向上，顶点坐标为（0，1）；位于第一、三象限，没有选项图象符合；当a＜0时，y=ax2+1开口向下，顶点坐标为（0，1）；位于第二、四象限，B选项图象符合．故选B．考点：1.二次函数和反比例函数的图象和性质；2.分类思想的应用．6、D【分析】根据该衣服的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：依题意，得：225（1﹣x%）2＝144，解得：x1＝20，x2＝180（不合题意，舍去）．故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意得出关于x的一元二次方程是解题关键.7、A【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.【详解】∵，∴二次函数图像顶点坐标为：.故答案为A.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．8、C【分析】首先根据3、4、6、7、x这组数据的平均数求得x值，再根据中位数的定义找到中位数即可．【详解】由3、4、6、7、x的平均数是1，即得这组数据按照从小到大排列为3、4、1、6、7，则中位数为1．故选C【点睛】此题考查了平均数计算及中位数的定义，熟练运算平均数及掌握中位数的定义是解题关键．9、D【分析】根据旋转的定义进行分析即可解答【详解】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，分析选项，可得正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是D．故选D．【点睛】本题考查了图纸旋转的性质,熟练掌握是解题的关键.10、C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可得出答案．【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形；C．是轴对称图形，也是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：C．【点睛】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DEAF是矩形，可得EF=AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．【详解】解：∵∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，

∴在Rt△ABC中，利用勾股定理得：BC===15，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠BAC=90°

∴∠DEA=∠DFA=∠BAC=90°，

∴四边形DEAF是矩形，

∴EF=AD，GF=EF

∴当AD⊥BC时，AD的值最小，

此时，△ABC的面积=AB×AC=BC×AD，

∴AD===，

∴EF=AD=,因此EF的最小值为；又∵GF=EF∴GF=×=

故线段GF的最小值为：．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12、y=-x2+5【分析】根据二次函数的图像平移方法“左加右减，上加下减”可直接进行求解．【详解】由将抛物线向左平移5个单位，再向上平移2个单位后得到的抛物线的解析式为；故答案为．【点睛】本题主要考查二次函数的图像平移，熟练掌握二次函数的图像平移方法是解题的关键．13、27【分析】先求得点M和点N的纵坐标，于是得到点M和点N运动的路线与字母b的函数关系式，则点A的坐标为(0，)，点B的坐标为(0，)，于是可得到的长度．【详解】∵过点M、N，且即，∴，∴，，∵点A在y轴上，即，把代入，得：，∴点A的坐标为(0，)，∵点B在y轴上，即，∴，把代入，得：，∴点B的坐标为(0，)，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，正确理解题意、求得点A和点B的坐标是解题的关键．14、5或1【分析】作交BC于D，分两种情况：①D在线段BC上；②D在线段BC的延长线上，根据锐角三角函数值和勾股定理求解即可．【详解】作交BC于D①D在线段BC上，如图∵∴∴，在Rt△ACD中，由勾股定理得∴②D在线段BC的延长线上，如图∵∴∴，在Rt△ACD中，由勾股定理得∴故答案为：5或1．【点睛】本题考查了解三角形的问题，掌握锐角的三角函数以及勾股定理是解题的关键．15、【分析】利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E，进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可．【详解】解：由题意可得出：∠BDC=45°，∠DA′E=90°，

∴∠DEA′=45°，

∴A′D=A′E，

∵在正方形ABCD中，AD=1，

∴AB=A′B=1，

∴BD=，

∴A′D=，

∴在Rt△DA′E中，DE=．故答案为：.【点睛】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，得出A′D的长是解题关键．16、2【分析】连接BF，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF，再根据等边对等角的性质求出∠ABF=∠A，然后根据三角形的内角和定理求出∠CBF，再根据三角函数的定义即可求出CF．【详解】如图，连接BF，

∵EF是AB的垂直平分线，

∴AF=BF，

∴，，在△BCF中，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角函数的定义，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．17、2：1．【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可；【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为4：9，∴它们对应中线的比．故答案为：2：1．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.18、【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球上是写有“美丽”二字的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）用1、2、3、4别表示美、丽、罗、山，画树形图如下：

由树形图可知，所有等可能的情况有16种，其中“1，2”出现的情况有2种，

∴P（美丽）．故答案为：．【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．三、解答题(共66分)19、（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为【分析】(1)连接OB，根据题意求证OB⊥AD，利用垂径定理求证；(2)根据垂径定理和勾股定理求解.【详解】解：（1）连接OB,交AD于点E.∵BC是⊙O的切线，切点为B，∴OB⊥BC．∴∠OBC＝90°∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BC∴∠OED＝∠OBC=90°∴OE⊥AD又∵OE过圆心O∴（2）∵OE⊥AD,OE过圆心O∴AE=AD=4在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，BE＝＝3，设⊙O的半径为r，则OE=r－3在Rt△ABE中，∠OEA＝90°，OE2+AE2=OA2即(r－3)2+42=r2∴r=∴⊙O的半径为【点睛】掌握垂径定理和勾股定理是本题的解题关键.20、【分析】根据题意画树状图求概率.【详解】解：根据题意，画树状图为：三人抽签共有种结果，且得到每种结果的可能性相同，其中甲和乙都抽到号或号卡片的结果有两种。甲、乙两人同时得到奖品的概率为【点睛】本题考查画树状图求概率，正确理解题意取后不放回并正确画出树状图是本题的解题关键.21、x1＝1.5，x2＝﹣2．【分析】利用因式分解法进行解方程即可.【详解】解：因式分解得：，可得或，解得：，【点睛】本题主要考察因式分解法解方程，熟练运用因式分解是关键.22、(1)①n=1;②（2）【分析】（1）①根据已知条件可确定抛物线图象的基本特征，从而列出关于的方程，即可得解；②根据二次函数图象的性质分三种情况进行分类讨论，从而得到与的分段函数关系；（2）由得正负进行分类讨论，结合已知条件求得的取值范围．【详解】解：(1)∵抛物线过坐标原点∴c=0，a=-1∴y=-x2+2nx∴抛物线的对称轴为直线x=n，且n≥2，抛物线开口向下∴当-1≤x≤2时，y随x的增大而增大∴当x=2时，函数的最大值为8∴-4+4n=8∴n=1．②若则∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小∴当时，函数值最大，；若则∴此时，抛物线的顶点为最高点∴；若则∴抛物线开口向下，在对称轴左侧，随的增大而增大∴当时，函数值最大，∴综上所述：（2）结论：或证明：∵过∴∴①∵若，直线的解析式为，抛物线的对称轴为直线∴顶点为，对称轴与直线交点坐标为∴两个整点为，∵不含边界∴∴②∵若，区域内已经确定有两个整点，∴在第三项象限和第一象限的区域内都要确保没有整点∴∴∵当时，直线上的点的纵坐标为，抛物线上的点的纵坐标为∴∴∴故答案为：（1）①；②（2）或【点睛】本题属于二次函数的综合创新题目，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，注意分类讨论思想方法的应用．23、（1）k=12；（2）；（3）3【分析】(1)将横坐标为2代入y=3x解出纵坐标,再将坐标点代入反比例函数求出k即可.(2)根据反比例函数的图象性质即可写出.(3)先算出B的坐标,再算出BC的表达式即可算出C的坐标点,则OC即可得出.【详解】（1）把代入中，得把代入中，得，.（2）∵A(2,6)∴根据反比例函数的图象M.（3）将y=3代入,解得x=4,则B(4,3),∵BC∥OA,∴设BC:y=3x+b,将B(4,3)代入解得:b=-9,BC:y=3x-9.令y=0,则3x-9=0,x=3,∴C(3,0)即OC=3.【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图象性质,关键在于熟悉基础知识.24、海轮距离港口的距离为【分析】过点C作CF⊥AD于点F，设CF=x，根据正切的定义用x表示出AF，根据等腰直角三角形的性质用x表示出EF，根据三角形中位线定理列出方程，解方程得到答案．【详解】解:如图，过点作于点．设，表示出利用，求出列方程：求出求出答：海轮距离港口的距离为．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．25、（1）证明见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，证出∠C=∠AFB，即可得出结论；（2）由勾股定理求出BE，由三角函数求出AE，再由相似三角形的性质求出AF的长．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，∵∠AFB+∠AFE=180°，∴∠C=∠AFB，∴△ABF∽△BEC；（2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED=∠BAE=90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE=,在Rt△ADE中，AE=AD•sinD=5×=4，∵BC=AD=5，由（1）得：△ABF∽△BEC，∴，即，解得：AF=2．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；解直角三角形．26、（1）y；（2）；（3）（1，-3）或（1，）或（1，1+）或（1，1-）【分析】（1）利用待定系数法求出A、B、C的坐标，然后把B点坐标代入，求出a的值，并化简二次函数式即可；（2）设点M的坐标为（m，），则点N的坐标为（2