福建省南安市本真高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2023年本真高级中学高一数学期中试题一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，再由交集的定义求解即可.【详解】解：由，又，所以.故选：D2.命题“，，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定的知识求得正确答案.【详解】原命题的全称量词命题，其否定是存在量词命题,注意到要否定结论而不是否定条件，所以B选项符合.故选：B3.使得不等式“成立的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求解出不等式解集，根据题意可知所选取的条件为不等式解集的真子集，由此作出选择即可.更多课件教案视频等优质滋源请家威杏MXSJ663【详解】由题意可得，又因为，所以的一个充分不必要条件可以是D选项，故选：D.4.下列命题正确的是（）.A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则最小值为【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用作差比较法，可判定A、B不正确；根据不等式的性质，可判定C正确；根据基本不等式，可判定D不正确.【详解】对于A中，由，其中的符号不确定，所以A不正确；对于B中，因为，可得，所以，即，所以B不正确；对于C中，由，可得，所以，所以C正确；对于D中，由，可得，则，当且仅当时，即时等号成立，所以D不正确.故选：C.5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．6.已知函数，则函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得的定义域，由此求得的定义域.【详解】，解得，所以的定义域是，对于有，所以函数的定义域为.故选：D7.若，使的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，分离参数，求出二次函数在上最大值即得结果.【详解】不等式，等价于，依题意，，恒成立，而函数在上单调递增，当时，，因此，所以的取值范围为.故选：C8.已知函数满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.【详解】由于函数满足对任意，都有成立，所以在上单调递增，所以，解得，所以的取值范围是.故选：A二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知集合、、的关系如图所示，则下列选项正确的是（）A.B.C.D.若为自然数集，，，则【答案】ABD【解析】【分析】由图可知，，利用图形可判断ABC选项；利用集合的运算可判断D选项.【详解】对于A选项，由图可知，，则，A对；对于B选项，因为，由图可知，，B对；对于C选项，因为，则，，且，故，C错；对于D选项，若为自然数集，，，则，D对.故选：ABD.10.下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据函数为偶函数可排除A，C选项，再判断选项B，D中函数的单调性从而得出答案.【详解】函数不是偶函数，函数是奇函数，不是偶函数，故可排除A，C选项.函数，均为偶函数.又二次函数在上为增函数.，当时，函数可化为，在上为增函数.故选项B，D满足条件.故选：BD11.在下列函数中，最小值是的函数有（）A B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，，所以A选项不符合.B选项，，当且仅当时等号成立，所以B选项不符合.C选项，对于函数，当时，，当且仅当时等号成立.当时，，当且仅当时等号成立，综上所述，的最小值是，符合题意.D选项，，，当且仅当时等号成立，所以D选项符合.故选：CD12.定义在上且满足，其中，在为增函数，则下列成立的是（）A.不等式解集为B.不等式解集为C.解集为D.解集为【答案】AD【解析】【分析】根据题意分析的奇偶性和单调性，利用的图象结合不等式分析A，B选项，根据的单调性和奇偶性分析C，D选项.【详解】由题意可知定义在上且满足，其中，在为增函数，则函数为偶函数，在上为减函数，函数的图象可由的图象向左平移1个单位得到，作出和的大致图象如图，则不等式可化为或，由图象可知，故A正确，B错误；由于为偶函数，故可化为，即，解得，故C错误，D正确，故选：AD.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知集合，，，则集合B的个数为______个．【答案】【解析】【分析】利用列举法求得集合的个数.【详解】依题意，集合，，，所以可能：，共个.故答案为：14.设为上的奇函数，且当时，，则__________．【答案】【解析】【分析】由奇函数的定义，则，从而可得出答案.【详解】由奇函数，则,所以故答案为：15.若函数的定义域为，值域为，则m的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】画出的图象，结合二次函数的性质求得的取值范围.【详解】，由解得或，画出的图象如下图所示，由于函数的定义域为，值域为，由图可知，的取值范围是.故答案为：16.已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则函数在上的解析式为__________；若与有3个交点，则实数的取值范围是__________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用函数的奇偶性求出函数的解析式即可，与图象交点有3个，画出图象并进行观察，求得实数的取值范围．【详解】（1）①由于函数是定义域为的奇函数，则；②当时，，因为是奇函数，所以.所以.综上：.（2）图象如下图所示：由图象可知，要使方程与有三个交点，只需，即.故答案为：；.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.设全集为，集合，（1）若a＝1，求；（2）问题：已知_________，求实数a的取值范围．从下面给出的两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答（请选出一种方案进行解答，若选择多个方案分别解答，则按第一个解答计分）①；②.【答案】（1）（2）选①，选②【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式化简集合,即可根据集合的交并补运算求解，（2）根据集合的交集和并集的运算，列不等式即可求解.【小问1详解】集合或则，当时，，故【小问2详解】当选①时，所以，即，解得当选②时，当，即时，满足，解得；当即时，由，得，即，解得.综上所述，的取值范围是.18.（1）已知，，且，求的最小值；（2）已知，，，求的最大值.【答案】（1）9；（2）12【解析】【分析】（1）运用常数代换以及基本不等式即可求得最小值；（2）由题意得到，再运用基本不等式，得到，从而求得的最大值.【详解】（1），等号当且仅当时取得，所以的最小值为；（2）因为，所以，所以，当且仅当时等号成立.所以，又，，所以，故的最大值为.19.已知命题，.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）命题关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，若、至少有一个是真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）由题意可得，即可解得实数的取值范围；（2）求出当命题为真命题时的取值范围，然后考虑当、均为假命题时实数的取值范围，结合补集思想可求得、至少有一个是真命题，实数的取值范围.【小问1详解】解：由题意，若为真，则，解得.【小问2详解】解：若为真，，方程两根为和，则由题意得，所以，当、均为假命题时，有，可得.因此，如果、中至少有一个为真时，或.20.年，月日，华为在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机.其实在年月日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁.为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产千部手机，需另投入成本万元，且由市场调研知此款手机售价万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完.（1）求出年的利润万元关于年产量千部的表达式（2）年年产量为多少千部时，企业所获利润最大最大利润是多少【答案】（1）；（2）年年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元【解析】【分析】（1）通过讨论的范围，得出的解析式；（2）分别求出在和上的最大值即可得出结论．【小问1详解】当时，，当时，，；【小问2详解】若，，当时，万元；若，，当且仅当时，即时，万元，因为，年年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元．21.已知函数是定义在上的奇函数，且．（1）求实数和的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；（3）若，求的取值范围．【答案】（1），（2）函数在上是增函数；证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由条件可得，先求出的值，然后根据，可求出.（2）根据定义法判断函数单调性的步骤进行判断即可.（3）由条件先将不等式化为，结合函数的定义域和单调性可得出满足的不等式，从而得出答案.【小问1详解】由函数是定义在上的奇函数，所以得，又因为，所以，经检验，当，时，是奇函数，所以，【小问2详解】由（1）可知，设所以因为，所以，，所以，即，所以函数在上是增函数．小问3详解】由函数是定义在上的奇函数且，则，所以，解得，所以的取值范围