山东省烟台市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解）

2022~2023学年度第一学期期末学业水平诊断高二数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰：超出答题区书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的（）A.第SKIPIF1<0项 B.第SKIPIF1<0项 C.第SKIPIF1<0项 D.第SKIPIF1<0项【答案】A【解析】【分析】列举出该数列的前SKIPIF1<0项，可得结果.【详解】由题意可知，该数列为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的第SKIPIF1<0项.故选：A.2.已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若过SKIPIF1<0且斜率不为SKIPIF1<0的直线交椭圆于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0的周长为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】利用椭圆的定义可求得SKIPIF1<0的周长.【详解】在椭圆SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0.故选：D.3.在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】推导出对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用数列的周期性可求得SKIPIF1<0的值.【详解】在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以此类推可知，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故选：D.4.如图是一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽SKIPIF1<0时，拱顶距离水面SKIPIF1<0，当水面上升SKIPIF1<0后，桥洞内水面宽为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为SKIPIF1<0轴，过原点且垂直于SKIPIF1<0轴的直线为SKIPIF1<0轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为SKIPIF1<0，分析可知点SKIPIF1<0在该抛物线上，求出SKIPIF1<0的值，可得出抛物线的方程，将SKIPIF1<0代入抛物线方程，即可得出结果.【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为SKIPIF1<0轴，过原点且垂直于SKIPIF1<0轴的直线为SKIPIF1<0轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为SKIPIF1<0，由题意可知点SKIPIF1<0在抛物线上，所以，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，抛物线的方程为SKIPIF1<0，当水面上升SKIPIF1<0后，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因此，当水面上升SKIPIF1<0后，桥洞内水面宽为SKIPIF1<0.故选：C.5.《算法统宗》是一部我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著.《算法统宗》中记载了如下问题情境：“远望魏魏塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，意思为：“一座7层塔，共悬挂了381盛灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍”.在上述问题情境中，塔的正中间一层悬挂灯的数量为（）A.12 B.24 C.48 D.96【答案】B【解析】【分析】由题意可知每层灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列，且公比为2，然后由等比数列的前7项和为381列式计算即可.【详解】设灯塔每层的灯数满足数列SKIPIF1<0，顶层的灯数为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为公比为2的等比数列，根据题意有SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，塔的正中间一层悬挂灯的数量为24.故选:B.6.若椭圆SKIPIF1<0的中心为坐标原点､焦点在SKIPIF1<0轴上；顺次连接SKIPIF1<0的两个焦点､一个短轴顶点构成等边三角形，顺次连接SKIPIF1<0的四个顶点构成四边形的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】由题可知，SKIPIF1<0，解之即可得a和b的值，从而求得椭圆的方程；【详解】设椭圆的标准方程为SKIPIF1<0，由题可知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故椭圆的标准方程为SKIPIF1<0．故选：A.7.已知数列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的通项公式分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，设这两个数列的公共项构成集合SKIPIF1<0，则集合SKIPIF1<0中元素的个数为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】利用列举法可知，将集合SKIPIF1<0中的元素由小到大进行排序，构成的数列记为SKIPIF1<0，可知数列SKIPIF1<0为等差数列，求出数列SKIPIF1<0的通项公式，然后解不等式SKIPIF1<0，即可得出结论.【详解】由题意可知，数列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，将集合SKIPIF1<0中的元素由小到大进行排序，构成数列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，易知数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0的等差数列，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因此，集合SKIPIF1<0中元素的个数为SKIPIF1<0.故选：C.8.已知直线SKIPIF1<0过双曲线SKIPIF1<0的左焦点SKIPIF1<0，且与SKIPIF1<0的左､右两支分别交于SKIPIF1<0两点，设SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为底边的等腰三角形，则直线SKIPIF1<0的斜率为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】由点差法得SKIPIF1<0，由条件知直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0倾斜角的两倍，代入两直线的斜率关系式SKIPIF1<0即可求得SKIPIF1<0的斜率.【详解】设SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0均在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0为锐角，∵SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为底边的等腰三角形，∴直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴由对称性知直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0.故选：D【点睛】中点弦定理：直线与椭圆（双曲线）交于SKIPIF1<0两点，中点为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0为坐标原点）此题解答过程中中点弦定理起了核心作用，通过中点弦定理建立了SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系，另一方面通过SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为底边的等腰三角形可能建立两直线倾斜角的关系，从而得到所求直线的斜率.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知曲线SKIPIF1<0，下列说法正确的有（）A.若曲线SKIPIF1<0表示椭圆，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B.若曲线SKIPIF1<0表示椭圆，则椭圆焦距为定值C.若曲线SKIPIF1<0表示双曲线，则SKIPIF1<0D.若曲线SKIPIF1<0表示双曲线，则双曲线的焦距为定值【答案】BCD【解析】【分析】根据椭圆、双曲线的方程求出SKIPIF1<0的取值范围，可判断AC选项；利用椭圆、双曲线的几何性质可判断BD选项.【详解】对于A选项，若曲线SKIPIF1<0表示椭圆，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，A错；对于B选项，若曲线SKIPIF1<0表示椭圆，则SKIPIF1<0，椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，椭圆SKIPIF1<0的焦距为SKIPIF1<0，B对；对于C选项，若曲线SKIPIF1<0表示双曲线，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，C对；对于D选项，若曲线SKIPIF1<0表示双曲线，则双曲线SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0的焦距为SKIPIF1<0，D对.故选：BCD.10.已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则（）A.公差SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0 D.满足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最小值为16【答案】AC【解析】【分析】根据SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0与公差SKIPIF1<0的关系即可判断AB；再根据等差数列前SKIPIF1<0项和公式即可判断CD.【详解】因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故A正确；SKIPIF1<0，故B错误；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是递减数列，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，故C正确；SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以满足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故D错误.故选：AC.11.已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则（）A.数列SKIPIF1<0为等差数列 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0随SKIPIF1<0的增大而减小 D.SKIPIF1<0有最大值【答案】ABD【解析】【分析】根据SKIPIF1<0求出数列SKIPIF1<0的通项，即可判断AB；根据数列SKIPIF1<0的符号，即可判断SKIPIF1<0的增减性，即可判断CD.【详解】由SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以数列数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为公差，SKIPIF1<0为首项的等差数列，故A正确；则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正确；由SKIPIF1<0，得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0随SKIPIF1<0的增大而增大，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0随SKIPIF1<0的增大而减小，故C错误；所以当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，故D正确.故选：ABD.12.已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在抛物线上，则（）A.过点SKIPIF1<0且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条B.设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0C.点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的最小距离为SKIPIF1<0D.点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴距离之和的最小值为SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】【分析】根据直线与抛物线有一个交点，求出直线的方程，可判断A选项；数形结合求出SKIPIF1<0的最大值，可判断B选项；设点SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，利用点到直线的距离公式以及二次函数的基本性质可判断C选项；利用抛物线的定义以及数形结合思想求出点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴距离之和的最小值，可判断D选项.【详解】对于A选项，设过点SKIPIF1<0的直线为SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0只有一个公共点，若直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0只有一个公共点，若直线SKIPIF1<0的斜率存在且不为零，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，综上所述，过点SKIPIF1<0且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有三条，A错；对于B选项，如下图所示：易知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当点SKIPIF1<0为射线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0的交点时，等号成立，故SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，B对；对于C选项，设点SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的最小距离为SKIPIF1<0，C对；对于D选项，如下图所示：抛物线SKIPIF1<0的准线为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的垂线，垂足为点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直时，SKIPIF1<0取最小值，且最小值为点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴距离之和的最小值为SKIPIF1<0，D对.故选：BCD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知等差数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则公差SKIPIF1<0的值为__________.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0##SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】【分析】由等差数列的求和公式以及等差中项的性质可求得SKIPIF1<0的值，由此可求得SKIPIF1<0的值.【详解】由等差数列的求和公式可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.综上所述，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.14.已知双曲线SKIPIF1<0的右顶点为SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为圆心､SKIPIF1<0为半径的圆与SKIPIF1<0的一条渐近线相交于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为__________.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【解析】【分析】由题意知SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,从而求得离心率.【详解】如图所示，设双曲线C的一条渐近线y=SKIPIF1<0x的倾斜角为θ，由题意可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又tanθ=SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∴e=SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<015.去掉正整数中被4整除以及被4除余1的数，剩下的正整数按自小到大的顺序排成数列SKIPIF1<0，再将数列SKIPIF1<0中所有序号为SKIPIF1<0的项去掉，SKIPIF1<0中剩余的项按自小到大的顺序排成数列SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为__________.【答案】153【解析】【分析】由题意，整理数列SKIPIF1<0的通项公式，以及分析数列SKIPIF1<0与数列SKIPIF1<0的对应关系，可得答案.【详解】由题意可知，数列SKIPIF1<0所有的奇数项为被SKIPIF1<0除余SKIPIF1<0的数，所有的偶数项为被SKIPIF1<0除余SKIPIF1<0的数，则当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0显然数列SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0从第二项开始去掉两项、保留两项所组成的对于SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；对于SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：153.16.在平面直角坐标系中，若点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离比它到SKIPIF1<0轴的距离大SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程为__________，过点SKIPIF1<0作两条互相垂直的直线分别与曲线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为__________.【答案】①.SKIPIF1<0②.SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【解析】【分析】利用抛物线的定义可得出点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；分析可知直线SKIPIF1<0的斜率存在且不为零，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，将直线SKIPIF1<0的方程与抛物线的方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式以及二次函数的基本性质可求得SKIPIF1<0的最小值.【详解】由题意可知，点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离与它到直线SKIPIF1<0的距离相等，故曲线点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0是以点SKIPIF1<0为焦点，直线SKIPIF1<0为准线的抛物线，其方程为SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0轴，则直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，此时直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0只有一个交点，不合乎题意，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等比数列，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的通项公式；（2）记SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，例如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，根据题中条件可得出关于SKIPIF1<0的等式，解出SKIPIF1<0的值，可得出等差数列SKIPIF1<0的通项公式，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0，两式作差可得出数列SKIPIF1<0为等比数列，当SKIPIF1<0时，求出SKIPIF1<0的值，可得出等比数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）列举出数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项的值，进而可求得数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项的和.【小问1详解】解：设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0①，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，故SKIPIF1<0.【小问2详解】解：由（1）知，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.18.已知双曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有相同的渐近线，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点.（1）求双曲线SKIPIF1<0的标准方程；（2）设双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0且倾斜角为SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0的面积.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）设双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0的坐标代入双曲线SKIPIF1<0的方程，求出SKIPIF1<0的值，即可得出双曲线SKIPIF1<0的标准方程；（2）设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，将直线SKIPIF1<0的方程与双曲线SKIPIF1<0的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可求得SKIPIF1<0的面积.【小问1详解】解：设双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0代入方程中得SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.【小问2详解】解：在双曲线SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由韦达定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.19已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，可求得SKIPIF1<0的通项公式；（2）用裂项求和求得SKIPIF1<0，再根据单调性求得SKIPIF1<0的范围.【小问1详解】由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，于是SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【小问2详解】由（1）知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0.20.已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，过拋物线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0向其准线作垂线，垂足为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.（1）求抛物线SKIPIF1<0的方程；（2）设直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，与SKIPIF1<0轴分别交于SKIPIF1<0（异于坐标原点SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可知SKIPIF1<0为等腰三角形，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.设准线与SKIPIF1<0轴交点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，求得抛物线方程.（2）设直线方程为SKIPIF1<0，联立直线与抛物线方程得韦达定理，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，代入韦达定理得SKIPIF1<0，根据条件SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由基本不等式求得SKIPIF1<0的取值范围.【小问1详解】如图：设准线与SKIPIF1<0轴交点为SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0，由抛物线的定义可知SKIPIF1<0为等腰三角形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中由余弦定理得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0看，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，故抛物线方程为SKIPIF1<0.【小问2详解】设直线方程为SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0SKIPIF1<0②因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入①式得SKIPIF1<0SKIPIF1<0③，将SKIPIF1<0代入②式得SKIPIF1<0SKIPIF1<0④，将③式平方代入④得SKIPIF1<0.由题意可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立.21.已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.（1）证明：SKIPIF1<0是等比数列，并求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】（1）证明见解析；SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）将SKIPIF1<0变形为SKIPIF1<0，两边同加2后可证得SKIPIF1<0是等比数列，并可求得SKIPIF1<0通项公式.（2）由错位相减求和法求得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0恒成立分离常数后得SKIPIF1<0的取值范围.【小问1详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0