高二上学期数学期末测试卷02-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一、二册）含解析

高二上学期数学期末测试卷02高二上学期数学期末测试卷02-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一、二册）（范围：选择性必修第一、二册）一、单选题1．（2023上·山东·高二山东师范大学附中校考期末）已知等比数列各项均为正数，公比，且满足，则（

）A．8 B．4 C．2 D．12．（2023上·湖北十堰·高二统考期末）已知直线与直线，若，则（

）A． B．2 C．2或 D．53．（2023上·四川凉山·高二统考期末）若圆的弦被点平分，则直线的方程为（

）A． B． C． D．4．（2023上·上海浦东新·高二校考期末）已知曲线为实数，则下列说法错误的是（

）A．曲线可能表示两条直线B．若，则是椭圆，长轴长为C．若，则是圆，半径为D．若，则是双曲线，渐近线方程为5．（2023上·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）设空间两个单位向量与向量的夹角的余弦值为，则（

）A． B． C． D．6．（2023上·四川绵阳·高二统考期末）已知椭圆的上焦点为，直线与椭圆交于M，N两点，则的周长的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2023上·江苏苏州·高二统考期末）如图，在直三棱柱中，，是的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.若，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．8．（2023上·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2023上·广东广州·高二统考期末）过直线l：上的动点P分别作圆C1：与圆C2：的切线，切点分别为A，B，则（

）A．圆C1上恰好有两个点到直线l的距离为B．|PA|的最小值为C．的最小值为D．直线l上存在两个点P，使得10．（2023上·河北石家庄·高二统考期末）已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（

）A．抛物线的方程为 B．线段的中点到y轴的距离为C．线段的长度为 D．11．（2023上·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）下列求导运算正确的是（

）A．B．C．D．，则12．（2023上·广东汕尾·高二统考期末）如图，三棱柱是各条棱长均等于1的正三棱柱，分别为的中点，下列结论正确的是（

）A．B．C．异面直线与所成角为D．直线与平面所成角的正弦值为三、填空题13．（2023上·北京海淀·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，且是面积为的正三角形．过垂直于的直线交椭圆M于B，C两点，则的周长为．14．（2023上·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）已知数列满足，则数列的通项公式为.15．（2023上·广东湛江·高二统考期末）写出过点且与圆相切的一条直线的方程．16．（2023上·北京房山·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为．且．双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点，若．则，．四、解答题17．（2023上·甘肃临夏·高二校考期末）已知圆，直线．(1)求证：直线l恒过定点；(2)当时，求直线l被圆C截得的弦长．18．（2023上·安徽蚌埠·高二统考期末）已知等差数列的首项为1，其前项和为，且是2与的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2)若是数列的前项和，求证：.19．（2023上·四川眉山·高二仁寿一中校考期末）已知O为坐标原点，位于抛物线C：上，且到抛物线的准线的距离为2．(1)求抛物线C的方程；(2)已知点，过抛物线焦点的直线l交C于M，N两点，求的最小值以及此时直线l的方程．20．（2023上·湖南邵阳·高二统考期末）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面平面，是斜边的长为的等腰直角三角形，E，F分别是棱，的中点，M是棱上一点，(1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．21．（2023上·陕西西安·高二校考期末）已知函数在处取得极值．(1)求的解析式，并讨论和是函数的极大值还是极小值；(2)试求函数的单调区间．22．（2023上·浙江湖州·高二统考期末）西部某地为了践行“绿水青山就是金山银山”，积极改造荒山，进行植树造林活动，并适当砍伐一定林木出售以增加群众收入.当地2022年年末有林场和荒山共2千平方公里，其中荒山1.5千平方公里，打算从明年（2023年）起每年年初将上年荒山（含上年砍伐的林区面积）的植树绿化，年末砍伐上年年末共有林区面积的以创收.记2023年为第一年，为第年末林区面积（单位：千平方公里）.(1)确定与的递推关系（即把用表示）；(2)证明：数列是等比数列，并求；(3)经过多少年，该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里？高二上学期数学期末测试卷02（范围：选择性必修第一、二册）一、单选题1．（2023上·山东·高二山东师范大学附中校考期末）已知等比数列各项均为正数，公比，且满足，则（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】C【分析】根据等比数列的性质可得，根据各项均为正数，得到，则，进而求解.【详解】因为，由等比数列的性质可得：，又因为数列各项均为正数，所以，因为公比，则，故选：.2．（2023上·湖北十堰·高二统考期末）已知直线与直线，若，则（

）A． B．2 C．2或 D．5【答案】A【分析】解方程，再检验即得解.【详解】解：若，则，所以或．当时，重合，不符合题意，所以舍去；当时，符合题意．故选：A3．（2023上·四川凉山·高二统考期末）若圆的弦被点平分，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】若圆心，根据题设知求出直线的斜率，应用点斜式写出直线方程即可.【详解】由题设，直线过，若圆心，则，即，由，则，故直线方程为，所以直线的一般方程为.故选：A4．（2023上·上海浦东新·高二校考期末）已知曲线为实数，则下列说法错误的是（

）A．曲线可能表示两条直线B．若，则是椭圆，长轴长为C．若，则是圆，半径为D．若，则是双曲线，渐近线方程为【答案】D【分析】A选项，注意到当时，可表示两条直线；B选项，由题，将化为，据此可判断选项正误；C选项，由题，将化为，据此可判断选项正误；D选项，当，化为；当，化为，据此可判断选项正误.【详解】A选项，注意到当时，，表示两条直线或，故A正确；B选项，，因，则，故椭圆长轴为，故B正确；C选项，，则圆半径为，故C正确；D选项，当，，则双曲线渐近线为；当，，则双曲线渐近线为.故D错误.故选：D5．（2023上·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）设空间两个单位向量与向量的夹角的余弦值为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题设，结合空间向量模长、夹角的坐标公式列方程组求得，再由即可求结果.【详解】由题意可得，则，即，又，即，且，所以.故选：C6．（2023上·四川绵阳·高二统考期末）已知椭圆的上焦点为，直线与椭圆交于M，N两点，则的周长的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用椭圆定义和椭圆的对称性即可求得的周长的取值范围.【详解】直线与椭圆交于M，N两点，椭圆的上焦点为，令下焦点为，连接由椭圆的对称性可得，则的周长为,又，则，则的周长的取值范围是故选：D7．（2023上·江苏苏州·高二统考期末）如图，在直三棱柱中，，是的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.若，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，由向量垂直的坐标表示可解得t，即可由向量法求得，从而求得结果.【详解】由题意得，设，则有，，由得.，∴.故异面直线与所成角的余弦值为.故选：A8．（2023上·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据导数的几何意义设切点坐标，求解切线方程为，代入点，得到关于的含参方程，孤立参数，构造函数利用导数确定函数的取值情况，满足方程的根又两个，从而可得实数的取值范围.【详解】解：设切点是，，即，而故切线斜率，切线方程是，又因为切线经过点，故，显然，则，在上有两个交点，令，设，则，令得，，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，，且时，，时，，时，，时，，所以有两个交点，则或，故实数的取值范围是.故选：C.二、多选题9．（2023上·广东广州·高二统考期末）过直线l：上的动点P分别作圆C1：与圆C2：的切线，切点分别为A，B，则（

）A．圆C1上恰好有两个点到直线l的距离为B．|PA|的最小值为C．的最小值为D．直线l上存在两个点P，使得【答案】BCD【分析】确定两圆圆心和半径，到直线的距离为，，A正确，的最小值为，B错误，计算对称点得到最小距离为，C正确，计算轨迹方程为圆，再判断直线和圆的位置关系得到D正确，得到答案.【详解】圆C1：，圆心，半径；圆C2：，圆心，半径，对选项A：到直线的距离为，，故只有1个点满足条件，错误；对选项B：，的最小值为，故的最小值为，正确；对选项C：设关于直线的对称点为，则，解得，故，，正确；对选项D：，即，即，设，则，整理得到，轨迹为圆心为，半径为的圆，圆心到直线的距离为，直线和圆相交，有2个交点，正确.故选：BCD10．（2023上·河北石家庄·高二统考期末）已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（

）A．抛物线的方程为 B．线段的中点到y轴的距离为C．线段的长度为 D．【答案】ACD【分析】根据给定条件，求出焦点F的坐标判断A；联立直线l与抛物线C的方程，利用韦达定理，结合抛物线定义、向量垂直的坐标表示判断BCD作答.【详解】显然抛物线的焦点F在x轴上，直线与x轴交于点，即，则，解得，抛物线的方程为，准线方程为，A正确；由消去并整理得：，设，则有，线段的中点横坐标为，因此线段的中点到y轴的距离为，B错误；，因此线段的长度为，C正确；显然点，，则，即，因此，D正确.故选：ACD11．（2023上·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）下列求导运算正确的是（

）A．B．C．D．，则【答案】ACD【分析】利用导数计算公式分析各选项可得答案.【详解】A选项，，故A正确；B选项，，故B错误；C选项，，故C正确；D选项，，则，D正确.故选：.12．（2023上·广东汕尾·高二统考期末）如图，三棱柱是各条棱长均等于1的正三棱柱，分别为的中点，下列结论正确的是（

）A．B．C．异面直线与所成角为D．直线与平面所成角的正弦值为【答案】ABD【分析】连接,可得，又，从而可判断A；由，可判断B；由，，可得直线与所成角即为与所成角，根据棱柱的结构特征可判断C；以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，根据即可判断D.【详解】连接,因为分别为的中点，所以.因为分别为的中点，所以.所以，故A正确；因为，，所以，故B正确；因为，，所以直线与所成角即为与所成角.因为平面，平面，所以，即.因为三棱柱是各条棱长均等于1的正三棱柱，所以，所以，即异面直线与所成角为，故C错误；以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,所以.设平面的一个法向量为,则,令，可得，故.设直线与平面所成角为，则，故D正确.故选:ABD.三、填空题13．（2023上·北京海淀·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，且是面积为的正三角形．过垂直于的直线交椭圆M于B，C两点，则的周长为．【答案】【分析】由面积为，且其为正三角形，可得.后由中垂线性质结合椭圆定义可得答案.【详解】如图，设，则，因面积为，且其为正三角形，又，则，则.又直线BC过，与垂直，为正三角形，则直线BC为中垂线，则，又，故的周长，又C，B在椭圆上，则由椭圆定义有.故答案为：14．（2023上·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）已知数列满足，则数列的通项公式为.【答案】【分析】由题意根据等差数列的前项和可得，再利用构造法结合等差数列的通项即可得解.【详解】因为，所以，∴数列是首项为，公差为的等差数列，，所以.故答案为：.15．（2023上·广东湛江·高二统考期末）写出过点且与圆相切的一条直线的方程．【答案】（答案不唯一）【分析】根据题意：先讨论斜率不存在的情况是否成立；斜率存在时，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】当过点的直线斜率不存在时：方程为：，此时直线到圆心的距离，满足题意；当过点的直线斜率存在时：设方程为：，即，因为直线与圆相切，所以，解得：，所以直线方程为：，所以过点且与圆相切的一条直线的方程或，故答案为：（答案不唯一）.16．（2023上·北京房山·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为．且．双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点，若．则，．【答案】【分析】根据可得，，由此可得；假设在第一象限，由求出，，根据余弦定理得，将，代入可得，再根据离心率公式可求出结果.【详解】在椭圆中，因为上顶点为．且，所以，所以，所以，所以.设双曲线方程为，假设点在第一象限，则由得，，在中，由余弦定理得，所以，整理得，得，所以，所以，解得.故答案为：；.四、解答题17．（2023上·甘肃临夏·高二校考期末）已知圆，直线．(1)求证：直线l恒过定点；(2)当时，求直线l被圆C截得的弦长．【答案】(1)证明详见解析(2)【分析】（1）根据直线过定点的知识证得结论成立.（2）根据点到直线的距离公式以及勾股定理求得弦长.【详解】（1）依题意直线，整理得，由解得，所以恒过定点.（2）当时，直线，圆的圆心为，半径为，到直线的距离为，所以直线l被圆C截得的弦长为.

18．（2023上·安徽蚌埠·高二统考期末）已知等差数列的首项为1，其前项和为，且是2与的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2)若是数列的前项和，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设等差数列的公差为，由等比中项的性质即可得，在由等差数列的通项公式和前项和公式代入化简可求出，即可求出数列的通项公式；（2）由裂项相消法求和即可；【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意，即，解得，，即数列的通项公式为.（2），.19．（2023上·四川眉山·高二仁寿一中校考期末）已知O为坐标原点，位于抛物线C：上，且到抛物线的准线的距离为2．(1)求抛物线C的方程；(2)已知点，过抛物线焦点的直线l交C于M，N两点，求的最小值以及此时直线l的方程．【答案】(1)(2)13；．【分析】（1）根据抛物线的定义计算即可；（2）根据韦达定理及二次函数最值计算即可.【详解】（1）根据题意可得，又，解方程组得，，故所求抛物线C方程，（2）

设点，，抛物线的焦点坐标为．当直线l的斜率等于0时，不存在两个交点，不符合题意；当直线l的斜率不等于0时，不妨设过抛物线焦点的直线l的方程为：；联立抛物线方程可得，消去x得：，，得，由韦达定理得，，易知，故．所以当时，取得最小值为13．此时直线l的方程为．20．（2023上·湖南邵阳·高二统考期末）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面平面，是斜边的长为的等腰直角三角形，E，F分别是棱，的中点，M是棱上一点，(1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，从而，又，由线面垂直的判定定理得平面，则，又，得平面，根据面面垂直的判定定理即可证得结论；（2）取的中点，则，，结合（1）得平面，结合线面角的定义得是直线与平面所成角，求得，，建立空间直角坐标系，分别求出平面、的法向量，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）因为是斜边PA的长为的等腰直角三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，又，，平面，∴平面，因为平面，∴，∵，F是棱PC的中点，∴，又，平面，∴平面．又平面，∴平面平面．（2）如图，取的中点，连接，，则，，由（1）知平面，∴平面，∴是直线与平面所成角，∴，∴，∴，以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则有：，，，，∴，，，设平面的法向量为，平面的法向量为则，令，则，有，令，则，∴，∴平面