2023年内蒙古包钢高三（最后冲刺）数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数,f(x)=lnx,g(x)=(2〃7+3)x+n,若Vxe(0,+oo)总有/(x)Wg(x)恒成立.记(2m+3)〃的最小值

为,则F(m,n)的最大值为()

2.学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A、B、C、D、E五个等级.某班共有36名学生且全部选考

物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为A的学生有5人，这两科中仅

有一科等级为A的学生，其另外一科等级为3,则该班()

7级

科“ABCDE

物理1016910

化学819720

A.物理化学等级都是B的学生至多有12人

B.物理化学等级都是B的学生至少有5人

C.这两科只有一科等级为3且最高等级为5的学生至多有18人

D.这两科只有一科等级为3且最高等级为3的学生至少有1人

3.若集合A=jx|W401，B={x[T<x<2},则AAB=()

A.[-2,2)B.(-1,1]C.(—1,1)D.(-1,2)

4.的展开式中8'的项的系数为()

A.120B.80C.60D.40

5.设函数"x)=sin®x+°)(0>O,0<04乃)是R上的奇函数，若/(x)的图象关于直线x=(对称，且/(x)

717T[7V]

在区间-另，石上是单调函数，则/不=()

A君R&1D.

22C22

I7JT

6.若〃是第二象限角且sin"=一,则tan(6+—)=

134

177177

A.------B.------C.—D.—

717717

f(m)+f(n-2)>0

7.已知奇函数/(x)是R上的减函数，若〃7，“满足不等式组(/(加-〃-1)20，则2m—〃的最小值为()

/(加)<0

C.0D.4

8.设xeR,贝！|"_?<27"是“|刘<3”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.对于任意xeR,函数/(x)满足f(2-x)=-f(x),且当x..l时，函数f(x)=JE.若

a==则a,4c大小关系是()

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

10.计算/Og2等于(

3322

A.----B.—C.----D.一

2233

11.已知a=5；0=log4石,。=1。氏2,则a)，c的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

(1TC

12.关于函数./(x)=4sin-%+—,有下述三个结论:

I，3123J

TT

①函数y(x)的一个周期为二；

2

TT37r

②函数/(X)在上单调递增;

24

③函数/(x)的值域为[4,4&].

其中所有正确结论的编号是（）

A.①②B.②C.②③D.③

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/（x）=x-恰好有3个不同的零点，则实数，〃的取值范围为一

21

14.已知x>0,y>0,且一+―=1,则x+2y的最小值是.

15.AABC中，角A5,C的对边分别为且A8,C成等差数列，若匕=百，c=l,则AABC的面积为

16.满足约束条件次|+2|勿W2的目标函数2=y一工的最小值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（x）=cosx-sincos2x+B,xeR

（I）求的最小正周期；

（n）求/（X）在上的最小值和最大值.

18.（12分）如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A3CD为菱形，为正三角形，平面尸AD_L平面

分别是A。,CD的中点.

（1）证明:BO_L平面

（2）若NBA。=60°，求二面角B—QD—A的余弦值.

^^-2cos2A=3

19.（12分）在△ABC中，内角A3,C的对边分别为a/,c,且8cos）

2

(1)求A;

（2）若。=2,且AABC面积的最大值为百，求AABC周长的取值范围.

20.（12分）如图，三棱锥。一ABC中，PA=PB=PC=6,CA=CB=6,ACLBC

（1）证明：面243，面48。；

（2）求二面角C—PA—B的余弦值.

21.（12分）已知函数/（》）=*—1（“66〃工0）.

⑴当〃=1时，求函数“X）在（0,〃0））处的切线方程；

（2）若函数/（x）没有零点，求实数”的取值范围.

22.（10分）在极坐标系中，已知曲线G：0cos6—何sin。一1=0,C2:p=2cos^.

（1）求曲线G、G的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；

（2）若曲线G、G交于A、B两点,求两交点间的距离.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

根据VxG（0,-H»）总有/（x）<g（x）恒成立可构造函数〃（x）=1门-（2加+3）%-%求导后分情况讨论//（力的最大

值可得最大值最大值卜，（痴+3）-

即一ln（2加+3）-1一〃WO根据题意化简可得（2加+3）〃N（2加+3）［—ln（2加+3）—1］,求得

F（m,n）=（2m+3）［-ln（2/n+3）-l］，再换元求导分析最大值即可.

【详解】

由题，Vxe（0,+oo）总有lnx4（2/〃+3）x+“即lnx-（2〃?+3）x-"W0恒成立.

设/z（x）=lnx-（2m+3）x-〃,则〃（x）的最大值小于等于0.

又〃（力=：_（2加+3）,

若2/72+3WO则〃（x）>o,/z（x）在（0,+8）上单调递增，人（力无最大值.

若2机+3>0,则当时，"（x）<O,/z（x）在需行+8|上单调递减,

°,贵上单调递胤

当0<x<^—时,&'（x）>0,〃（x）在

故在、=心处〃⑴取得最大值"I赤卜m--1-〃=，（2旭+3）-1-〃.

故一ln（2m+3）-1一〃40,化简得（2根+3）〃之（2根+3）［-ln（2根+3）-1］.

故/?（狐〃）=（2加+3）［-山（2/篦+3）-1］,令.=2帆+3,（，>0）,可令左（，）=一，（111/+1）,

故左'（。=一2一2,当,>/时，％'（。<0,左（，）在（5+8）递减；

当0<£<十时，攵«）>（）,砌在„递增.

故尸（伏〃）的最大值为

e

故选:C

【点睛】

本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题，需要根据题意分析导数中参数的范围，再分析函数的最值，进而求导构造

函数求解（2m+3）n的最大值.属于难题.

2.D

【解析】

根据题意分别计算出物理等级为A,化学等级为3的学生人数以及物理等级为3,化学等级为A的学生人数，结合表

格中的数据进行分析，可得出合适的选项.

【详解】

根据题意可知，36名学生减去5名全A和一科为A另一科为B的学生10-5+8-5=8人（其中物理A化学B的有5

人，物理8化学A的有3人），

表格变为：

ABCDE

物理10-5-5=016-3=13910

化学8-5-3=019-5=14720

对于A选项，物理化学等级都是3的学生至多有13人，A选项错误；

对于B选项，当物理C和。，化学都是3时，或化学C和。，物理都是8时，物理、化学都是3的人数最少，至少

为13-7-2=4（人），B选项错误；

对于C选项，在表格中，除去物理化学都是3的学生，剩下的都是一科为3且最高等级为8的学生，

因为都是3的学生最少4人，所以一科为3且最高等级为3的学生最多为13+9+1-4=19（人），

C选项错误；

对于D选项，物理化学都是B的最多13人，所以两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生最少14-13=1（人）,

D选项正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.

3.C

【解析】

求出集合A,然后与集合8取交集即可.

【详解】

由题意，A=|<01={x|-2<x<1},B={x[-l<x<2},则An8={x[—l<x<l},故答案为C.

【点睛】

本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题.

4.A

【解析】

化简得到(2*-1)(2-2')'=2r-(2-2'丫-(2-2'丫，再利用二项式定理展开得到答案.

【详解】

(2r-1)(2-2A)5=2X-(2-2J)5-(2-21)5

展开式中8'的项为2'C；23(-2'7一C；2?(—2*丫=120x8,.

故选：A

【点睛】

本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.

5.D

【解析】

根据函数/(x)为R上的奇函数可得。，由函数/(x)的对称轴及单调性即可确定”的值，进而确定函数/(x)的解

析式，即可求得了(W］的值.

【详解】

函数/(1)=5亩(5+0)(口>0,0<。4乃)是R上的奇函数，

则°=万，所以/(无)=-sinox.

又的图象关于直线x=?对称可得詈=1+&万，keZ,即。=2+4左，keZ,

TT124

由函数的单调区间知，

114co

即&><5.5,

综上0=2,则/(x)=-sin2x,

IXH

故选：D

【点睛】

本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用，由对称轴、奇偶性及单调性确定参数，属于中档题.

6.B

【解析】

io<io

由，是第二象限角且sin。=—知：cos0=—A/1—sin20=---»tan0-----

13135

,，八万、tan+tan45°7

所以tan(6+—)=-------------

41一tan6tan45。n

7.B

【解析】

根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.

【详解】

m<2-n

奇函数/（x）是R上的减函数，贝!|/（0）=0,且加-〃-1W0,画出可行域和目标函数，

772>0

z=2，n—n,即〃=2机—z,z表示直线与y轴截距的相反数,

根据平移得到：当直线过点（0,2）,即加=0.“=2时，z=2加一”有最小值为-2.

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键.

8.B

【解析】

先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可

【详解】

解不等式V<27可得x<3,

解绝对值不等式Ix|<3可得-3<x<3,

由于｛x|-3cx<3｝为｛x|x<3｝的子集,

据此可知“丁<27”是“Ix1<3"的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】

本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于基础题.

9.A

【解析】

由已知可得ILy)的单调性，再由/(2-幻=-/(幻可得/")对称性，可求出/(x)在(9,1)单调性，即可求出结论.

【详解】

对于任意xeR,函数/(x)满足/(2-幻=一/(幻,

因为函数/(x)关于点(1,0)对称,

当x21时，/(x)=是单调增函数,

所以/(x)在定义域R上是单调增函数.

因为-卜-2，所以/卜乐/卜

b<c<a.

故选:A.

【点睛】

本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题..

10.A

【解析】

利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.

【详解】

V21

xcos[2~1J=log71_3_3

也=log।2

原式=R)g2------XCOS2-------X—logo2

2■221322-2

故选：A

【点睛】

本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.

11.A

【解析】

根据指数函数的单调性，可得〃再利用对数函数的单调性，将仇C与1,L对比，即可求出结论.

ci—Jx>12

【详解】

1L1

由题知。〉〃=

=5>>5°=1,1log4v5>log42=—9

C=log52<log5V5则a>O>c.

2

故选:A.

【点睛】

本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..

12.C

【解析】

jr3417i74177r/'(x)=40sin(gx+总，再利用单调性

①用周期函数的定义验证.②当x£y,-时，5%+大£

乙乙。JL乙

判断.③根据平移变换，函数.f(x)=4$川5%+。)+4cos的值域等价于函数

I，J)

；1的值域，而〃)当时171

g(x)=4sinx+4cosgxg(x+=g(x),xe[O,;r],g(x)=40sin|二工+一再求值域.

223

【详解】

、

因为/fl7万17〃(\7141.71

[x+1^J=4sin-x-\-----+4cos—XH-------4cos—%+—+4sin—x+—w/(x),故①错误;

(2122121212J2127

,7T3万,1717417兀171171

当"eTT时'一九+——£三,所以f(x)=4sin+—4cos一尤+——=472sin—X+—

2312—24I」I，3/23212

ITTTT1\lTTT3乃

-X+—G-所以/(X)在上单调递增，故②正确;

4L4J^*14,>

函数/(x)=4sin[[x+g)+4cos+的值域等价于函数g(x)=4sin；x+4cos；尤的值域，易知

g(x+%)=g(x),故当xe[0,万]时，g(x)=40sin+e[4,4垃],故③正确.

I，3)

故选：C.

【点睛】

本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(e,+oo)

【解析】

/(x)=X-机IInx|恰好有3个不同的零点=机一画=°(x#1)恰有三个根，然后转化成求函数值域即可.

【详解】

解：/(尤)=X—机|InXI恰好有3个不同的零点O〃2一隔=°(x*1)恰有三个根，

X

-------,XG(0,1)

令g(上向腹。g(止扃Inx

X八

---,XG(1,+8

Jnx

Xe(0,1),g，(x)=:>o,

g(x)在xe(O,l)递增;

俎1,8),小)=发>。,

xe(l,e),g,x)=1^—<0,g(x)递减,

xe(e,8),g'(x)=1>0,g(x)递增，

Inx

8(力,皿=8，)=6

.•.加>e时，f(x)在xe(O,l)有一个零点，在xe(l,+8)有2个零点；

故答案为：〃?e(e,+8).

【点睛】

已知函数的零点个数求参数的取值范围是重点也是难点，这类题一般用分离参数的方法，中档题.

14.8

【解析】

由整体代入法利用基本不等式即可求得最小值.

【详解】

x+2y=(x+2y)(2+J_=2+^+—+2>4+2=8,

y)yx\y

当且仅当一x二」4v时等号成立.

y%

故x+2y的最小值为8,

故答案为：8.

【点睛】

本题考查基本不等式求和的最小值，整体代入法，属于基础题.

15..

2

【解析】

TT

由A,B,C成等差数列得出8=60。，利用正弦定理得。进而得A=一代入三角形的面积公式即可得出.

2

【详解】

VA,B,C成等差数歹（J,.••A+C=2B,

又A+5+C=180°,.•.35=180°,5=60°.

ch17TTT

故由正弦定理〕一=二一:.sinC=--c<b:.C=-,故A=—

sinCsinB262

所以SAABC=—hc=9

22

故答案为：B

2

【点睛】

本题考查了等差数列的性质，三角形的面积公式，考查正弦定理的应用，属于基础题.

16.-2

【解析】

可行域|x|+2|y区2是如图的菱形ABCD,

代入计算,

知ZA=0_2=-2为最小.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（I）乃；（II）最小值--和最大值一.

24

【解析】

试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将/（力的解析式化为一个复合角的三角函数式,

再利用正弦型函数y=Asm（（ox+（p）+B的最小正周期计算公式7=而，即可求得函数/（%）的最小正周期；⑵

1如】7T如如

由（1）得函数/（x）=—sin2x--,分析它在闭区间.上的单调性，可知函数/（X）在区间一下一决上是

2L3j4

减函数，在区间一看,£上是增函数，由此即可求得函数/'（X）在闭区间一g,（.上的最大值和最小值.也可以利用

整体思想求函数/（X）在闭区间一（,（上的最大值和最小值.

由已知，有/(x)=cos%'Jsmx旦。久+迫

224

“X）的最小正周期丁=曰=n.

TT7T7T7T1

（2）•••/（X）在区间一下一冠上是减函数，在区间—上是增函数,

1244

7T7T

.•.函数“X）在闭区间一,一上的最大值为二，最小值为-

4442

考点：1.两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2.三角函数的周期性和单调性.

18.（1）详见解析；（2）冬

【解析】

（D连接AC,由菱形的性质以及中位线，得BD上FE,由平面Q4O_L平面ABC。，且正;，交线A。，得PEL

平面ABC。，故而BDLPE,最后由线面垂直的判定得结论.

（2）以E为原点建平面直角坐标系，求出平面平尸AD与平面PBQ的法向量展=（0,1,0）

,n=（V3,-l,-l）,最后求得二面角B—PD—A的余弦值为正.

【详解】

解：(1)连结AC

,:PA=PD,且E是AD的中点，

:.PELAD

•••平面平面ABCD,

平面PA。0平面ABCD=AD,

:.PE_L平面A3G9.

；BQu平面ABCD,

:.BD1PE

又ABCD为菱形，且瓦产为棱的中点,

:.EF//AC,BD±AC

•••BD±EF.

又,：BDA.PE,PEcEF=E,PE,EFu平面PEF

二BD工平面PEF.

(2)由题意有，

•四边形ABC。为菱形，且NBA。=60°,

：.EB±AD

分别以E4,EB,EP所在直线为x轴，)'轴，z轴

建立如图所示的空间直角坐标系£,尸，设AD=1,则

耳—；,0,0),80,?,0,P

设平面的法向量为〃=(x,y,z).

\n-DB=O,|x+岛=0

由1一八，得，广，

n-DP=Q[x+Gz=0

令x=6,得:=(6,一1,一1)

取平面APD的法向量为)=(0,1,0)

•/—―\])5

..cos弋乳,n)-~~T^=-~-

•.•二面角B-PD-A为锐二面角，

二二面角B-PD-A的余弦值为更

5

【点睛】

处理线面垂直问题时，需要学生对线面垂直的判定定理特别熟悉，运用几何语言表示出来方才过关，一定要在已知平

面中找两条相交直线与平面外的直线垂直，才可以证得线面垂直，其次考查了学生运用空间向量处理空间中的二面角

问题，培养了学生的计算能力和空间想象力.

7T

19.(1)4=一(2)(4,6]

3

【解析】

(D利用二倍角公式及三角形内角和定理，将8cos2cos2A=3化简为4cos2A+4cosA—3=0,求出

2

cosA的值，结合Ac(0,"),求出A的值；

(2)写出三角形的面积公式，由其最大值为百求出8G,4.由余弦定理，结合。=2,4",求出匕+c的范围，注

意力+c>a=2.进而求出周长的范围.

【详解】

解：⑴8cos?小土-2cos2A=3

2

4(1+cos(B+Q)-2cos2A=3

整理得4cos2A+4cosA-3=0

13

解得cosA=—或cosA=——（舍去）

22

又人£（0,乃）

3

(2)由题意知&ABC=；8c、sinA=-^Z?cW出

be,,4,

又〃+c2-a2=2bccosA,a=2,

/.Z?2+c2=4+〃c,

二.(0+c>=4+3Z?c„16

又Z?+c>2

.•.2<〃+c<4

「.4<a+Z?+a,6

「.△ABC周长的取值范围是(4,6]

【点睛】

本题考查了二倍角余弦公式，三角形面积公式，余弦定理的应用，求三角形的周长的范围问题.属于中档题.

20.(1)证明见解析(2)叵

5

【解析】

(D取AB中点。，连结P。,。。，证明PO_L平面ABC得到答案.

(2)如图所示，建立空间直角坐标系。一乎，浣=芯=(0,1,0)为平面Q钻的一个法向量，平面P4C的一个法向

量为3=(夜，夜,1),计算夹角得到答案.

【详解】

(D取AB中点。，连结PO,OC,•.•PA=P8,;.PO，AB,AB=&C=2,

•;PB=AP=6：.PO=72,CO=1,../。。。为直角，；.。。，。。，

PO_L平面ABC,。0<=平面加8,，面。43_1_面48。.

(2)如图所示，建立空间直角坐标系。一孙z,则A(l,0,0),尸(0,0,夜),C(0,l,0),

可取决=反=(0,1,0)为平面PAB的一个法向量.

设平面P4C的一个法向量为3=(/,m,〃).

则而工=0,/工=0,其中向=(1,0,—血),/=(一1』,0),

l-V2n=0,〃=也/

<"一2'，不妨取/=0，则5=(0,0,1).

-1+m=0.

m=I.

_V10

/----、m-n0XA/2+1XV2+0X1

cos(m.n)=-^=-^r-222222

ImilnI7o+l+o-7^+V2+l5

■：C-PA-B为锐二面角，，二面角C—PA-B的余弦