2020高中数学 第一章 计数原理章末复习讲义

第一章计数原理

章末复习

n知识系统整合

排排列概念排列数公式

列

L两个计数原理-*与应用

组

计

合

数-H组合概念H组合数公式一f

原

理

“杨辉三角”与二

二项式定理5通项公式应用

项式系数的性质

规律方法收藏

1.分类和分步计数原理

⑴两个原理的共同之处是研究做一件事，完成它共有的方法种

数，而它们的主要差异是“分类”与“分步”.

（2）分类加法计数原理的特点:类与类相互独立，每类方案中的

每一种方法均可独立完成这件事（可类比物理中的“并联电路”来理

解）.

（3）分步乘法计数原理的特点:步与步相互依存，且只有所有的步

骤均完成了（每步必不可少），这件事才算完成（可类比物理中的“串联

电路”来理解）.

2.解决排列组合应用题的原则

解决排列组合应用题的原则有特殊优先的原则、先取后排的原

则、正难则反的原则、相邻问题“捆绑”处理的原则、不相邻问题

“插空”处理的原则.

(1)特殊优先的原则：这是解有限制条件的排列组合问题的基

本原则之一，对有限制条件的元素和有限制条件的位置一定要优先

考虑.

(2)正难则反的原则:对于一些情况较多、直接求解非常困难的

问题，我们可以从它的反面考虑，即利用我们平常所说的间接法求

解.

(3)相邻问题“捆绑”处理的原则：对于某几个元素要求相邻的

排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看成一个元素与其他元素

排列，然后将相邻元素进行排列.

(4)不相邻问题“插空”处理的原则：对于某几个元素不相邻的

排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在这些排好

的元素之间及两端插入.

(5)指标问题采用“挡板法”

把问题转化为：把力个相同元素分成m个组的分法，这相当于

力个相同元素的每两个元素之间共A—1个空，任插口一1个板子的

插法数，即C错误!种.

(6)先取后排的原则:对于较复杂的排列组合问题，常采用“先

取后排”的原则，即先取出符合条件的元素，再按要求进行排列.

(7)定序问题倍缩、空位插入原则

定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理.

(8)分排问题直排原则

一般地，对于元素分成多排的排列问题，可先转化为一排考虑，

再分段研究.

(9)小集团问题先整体后局部原则

小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其他策略进行处理.

(10)构造模型原则

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如

占位填空模型，排队模型，装盒模型等,可使问题直观理解，容易解

决.

3.二项式定理及其应用

(1)二项式定理：(a+b)"=C/”+C错误!相一％+…+C错误!

+…+C错误!"，其中各项的系数C错误!(攵=0,1,2,…，功称为二项式

系数，第攵+1项C错误!/一6称为通项.

(2)二项式系数的性质

①对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，体现

了组合数性质C错误!=(2错误!.

②增减性与最大值.

当人〈错误!时，二项式系数C错误!逐项增大；

当Q错误!时，二项式系数C错误!逐项减小.

当n为偶数时.展开式中间一项的二项式系数

C?最大；当"为奇数时，展开式中间两项丁宁与下平+］的

二项式系数c亍,Cp相等且最大.

③各项的二项式系数之和等于2力，即C：+C：+C错误!+…+C错误!

=2"；

奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C

错误！+C错误！+C错误！H=C错误！+C错误！+C错误！H=2”-1。

(3)对于二项式系数问题，应注意以下几点：

①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令

字母变量的值为1;

②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”--构造函数或构

造同一问题的两种算法；

③证明不等式时,应注意运用放缩法.

(4)求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r,再求

筹+1.有时还需先求力，再求下，才能求出q+i.

(5)有些三项展开式问题可以通过变形变成二项式问题加以解

决;有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.

⑹对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次

要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.

(7)近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.

(8)用二项式定理证明整除问题,一般将被除式变为有关除式的

二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有

关知识来解决.

S学科思想培优

一两个计数原理

1.应用分类加法计数原理，应准确进行“分类”，明确分类的

标准：每一种方法必属于某一类(不漏)，任何不同类的两种方法是

不同的方法(不重)，每一类中的每一种方法都能独立地“完成这件

事情”.

2.应用分步乘法计数原理，应准确理解“分步”的含义，完成

这件事情，需要分成若干步骤，只有每个步骤都完成了，这件事情才

能完成.

例1⑴某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2

人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来

自3家不同企业的可能情况的种数为（）

A.14B.16C.20D.48

（2）一个地区分为5个行政区域（如图所示），现给地图着色，

要求相邻区域不得使用同一种颜色.现有4种颜色可供选择，则不

同的着色方法有种.（用数字作答）

［解析］⑴分两类：

第1类，甲企业有1人发言，有2种情况，另两个发言人来自

其余4家企业，有6种情况，由分步乘法计数原理，得N=2X6=

12；

第2类，3人全来自其余4家企业，有4种情况.

综上可知，共有N=N+N=12+4=16种情况.

（2）因为区域1与其他4个区域都相邻，首先考虑区域1,有4

种涂法.

若区域2,4同色，有3种涂法，此时区域3,5均有2种涂法，涂

法总数为4X3X2X2=48;

若区域2,4不同色，先涂区域2,有3种方法，再涂区域4有2

种方法，此时区域3,5都只有1种涂法，涂法总数为4X3X2X1X1

=240

因此，满足条件的涂色方法共有48+24=72种.

［答案］(1)B(2)72

拓展提升

(1)要弄清“分类”还是“分步”.

(2)解决涂色问题时，要尽量让相邻区域多的区域先涂色.

例2(1)某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门，

其中7人会英语,3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有

种不同的选法；

(2)将4封信投入3个信箱中，共有种不同的投法.

［解析］(1)共分三类:第一类，当选出的会英语的人既会英

语又会日语时，选会日语的人有2种选法；

第二类，当选出的会日语的人既会英语又会日语时，选会英语的

人有6种选法;

第三类，当既会英语又会日语的人不参与选择时，则需从只会

日语和只会英语的人中各选一人，有2X6=12种选法.

故共有2+6+12=20种选法.

(2)第1封信可以投入3个信箱中的任意一个，有3种投法；同

理，第2,3,4封信各有3种投法.

根据分步乘法计数原理，共有3X3X3X3=34=81种投法.

［答案］(1)20(2)81

拓展提升

以上两题容易错解的原因：

⑴忽视其中一人既会英语、又会日语这一隐含条件，从而导致

错解.

(2)分步的依据应该是“信”而不应该是“信箱”，导致错解.

二排列与组合

区分排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，有序的问

题属于排列问题,无序的问题属于组合问题，在解决排列组合应用题

时常用如下解题策略：

①特殊元素优先安排的策略；

②合理分类和准确分步的策略；

③排列、组合混合问题先选后排的策略；

④正难则反、等价转化的策略；

⑤相邻问题捆绑处理的策略；

⑥不相邻问题插空处理的策略；

⑦定序问题除法处理的策略；

⑧分排问题直排处理的策略；

⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；

⑩构造模型的策略.

例3五位老师和五名学生站成一排，

(1)五名学生必须排在一起共有多少种排法？

⑵五名学生不能相邻共有多少种排法？

(3)老师和学生相间隔共有多少种排法？

［解］(1)先将五名学生“捆绑”在一起看作一个与五位老师

排列有A错误!种排法，五名学生再内部全排列有A错误!种，故共有A

错误！♦A错误!=86400种排法.

(2)先将五位老师全排列有A错误!种排法，再将五名学生排在五

位老师产生的六个空位上有A错误!种排法，故共有A错误！♦A错误!=

86400种排法.

可用图表示：匚］0口0匚］0口0□。口（用。表示老师所在位

置，用口表示中间的空当）

（3）排列方式只能有两类，如图所示：

ODODODODOD

□OnODODODO

（用口表示老师所在位置，用。表示学生所在位置）

故有2A错误！•A错误!=28800种排法.

拓展提升

“学生相邻”就“捆绑学生”，“学生不相邻”就插空.“捆

绑”之中的元素有顺序，哪些元素不相邻就插空.

例4由1,2,3,4,5五个数字组成没有重复数字的五位数排成

一递增数列，则首项为12345,第2项是12354,…直到末项（第120

项）是54321。问：

（1）43251是第几项？

（2）第93项是怎样的一个五位数？

［解］⑴由题意知，共有五位数为A2=120（个）.

比43251大的数有下列几类：

①万位数是5的有A错误!=24（个）；

②万位数是4,千位数是5的有A3,3=6（个）；

③万位数是4,千位数是3,百位数是5的有A1=2（个）；

..•比43251大的数共有A错误!+A错误!+A错误!=32（个）.

.-.43251是第120-32=88（项）.

（2）从（1）知万位数是5的有A错误!=24（个），万位数是4,千位

数是5的有A错误!=6（个）.

但比第93项大的数有120—93=27（个），第93项即倒数第28项，

而万位数是4,千位数是5的6个数是45321,45312,

45231,45213,45132,45123,从止匕可见第93项是45213.

拓展提升

数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附

加受限制条件入手分析，找出解题的思路.

例5有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.

（1）共有多少种放法？

（2）恰有1个盒子中不放球，有多少种放法？

（3）恰有2个盒子中不放球，有多少种放法？

［解］（1）由分步乘法计数原理可知，共有44=256种放法.

⑵先从4个小球中取2个作为一组，有C2,4种不同的取法，再把

取出的2个小球与另外2个小球（即3组）分别放入4个盒子中的3

个盒子里，有A错误!种不同的放法，根据分步乘法计数原理知，共有

C错误!A错误!=144种不同的放法.

（3）恰有2个盒子中不放球，也就是把4个不同的小球只放入2

个盒子中,有两类放法：

第1类，1个盒子中放3个小球，一个盒子中放1个小球.先把

小球分组，有C：种分法，再放到2个盒子中，有A错误!种不同的放法,

3

共有C,4A错误!种不同的放法；

第2类，2个盒子中各放2个小球有错误!种放法.

故恰有2个盒子中不放球的放法共有C错误!A错误!+错误!=84（种）.

拓展提升

排列与组合的综合问题，首先要分清何时为排列，何时为组

合.对含有特殊元素的排列、组合问题，一般先进行组合，再进行

排列。对特殊元素的位置有要求时，在组合选取时，就要进行分类

讨论，分类的原则是不重、不漏.在用间接法计数叱要注意考虑全

面，排除干净.

三二项式定理的应用

对于二项式定理的考查常出现两类问题，一类是直接运用通项

公式来求特定项.另一类，需要运用转化思想化归为二项式定理来处

理问题，从近几年高考命题趋势来看，对于本部分知识的考查以基础

知识和基本技能为主,难度不大，但不排除与其他知识的交汇，具体归

纳如下：

(1)考查通项公式问题.

⑵考查系数问题：

①涉及项的系数、二项式系数以及系数的和；

②一般采用通项公式或赋值法解决.

(3)可转化为二项式定理解决问题.

例6已知在错误!”的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之

比是56：3。

(1)求展开式中的所有有理项；

(2)求展开式中系数绝对值最大的项；

(3)求/7+9C2,〃+81C错误!+…+9"TC错误!的值.

［解［(1)由C：(—2)4:C错误!(-2)2=56：3,解得力=10,因为

通项：

筹+1=C错误！(错误！)1°一’错误!r=(—2)(错误!X错误！,

当5—错误!为整数时，r可取0,6,

展开式是有理项，于是有理项为方=V和乃=13440。

(2)设第r+1项系数绝对值最大，则

错误！

解得错误!又因为{1,2,3,…，9},所以片7,

当r=7时，重=—15360蠲误!，

又因为当r=。时，/=V,当r=10时，

着1=(—2)")温误！=1024端误！，

所以系数绝对值最大的项为冕=—15360蠲误!.

(3)原式=10+9C错误！+81c错误！+…+91°—(错误!

=错误！

=错误！

=错误！=错误!.

拓展提升

求二项展开式特定项的步骤

例7⑴已知(1—X)'=25/+24太4+23^3+22幺+2［太+五则3)+

勿+为乂团+为+能)等于；

(2)设错误!2"=4)+2/+-----则(物+22+24^---------------b^2n)

2—(m+为+能^----F^2n-1)2=。

［解析］(1)在所给等式中，令x=l,得为+©+勿+为+为+怒=0

①;令x=-1,得一牝十为一勿十勿一药+匈=32②，由①+②得，劭

+勿+〃4=16,由①一②得，21+为+恁=—16,所以(劭十勿十为)(0

+为+恁)=-256o

(2)设/"(X)=错误!2",则----一(21+23+25+\~

勿〃一1)2=(^)+^2+^4^^勿.一小一的一心--------^2/7-1)(4+卷+的

H-----F22〃+团+的+NSH-----^2n-l)=X-1)•(1)=错误!2",错误!？”=错误！

2"=错误!”。

［答案］(1)—256(2)错误!”

拓展提升

一般地，⑴若£(x)=4/+NI/TH----P%,则《X)展开式中

各项系数的和为＜1).当n为偶数叱奇次项系数的和为劭+勿+为

H---=错误!，偶次项系数的和为©+23+N5H---=错误!；当n为奇数时，

f1-f—1

4+勿+为+…=-,©+的+恁+…=错误!.

（2）对形如（公+伪”，（公2+6x+c）式ab,cGR）的式子求其展

开式的各项系数之和，只需令X=1即可;对形如O十幼”（a,6WR）

的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x=y=l即可.

四分类讨论的数学思想

例8错误!错误!5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常

数项为（）

A.-40B.-20C.20D.40

［解析］对于错误!错误!\可令X=1得各项系数的和为1+2=2,

故2=1。

错误!§的展开式的通项为7；+i=C错误!（2幻5一.错误!』C错误!25一,X（一

1）«六2二

要得到错误!错误!5展开式中的常数项分为两类情况，①错误!的X与

错误!5展开式中含错误!的项相乘;②错误!的错误!与错误!5展开式中含X的项相

乘，故令5—2r=-1得r=3,令5—2r=l得r=2,从而可得所求常数

项为C错误！X2?X（―lp+C错误！XZ'X（—1）2=40.

［答案］D

拓展提升

求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根

据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时要抓住一个二项

式逐项分类，分析其他二项式应满足的条件，然后再求解结果,此法易

出现分类搭配不全，运算失误等错误.

例9在0,1,2,3,4,5,6这七个数字组成的没有重复数字

的三位数中，各位数字之和为偶数的共有多少个？

［解］依题意，可分两大类.第一类，当三个数字均为偶数

时，第一步：在2,4,6中任取一个作为百位，有3种方法;第二步:在0

和第一步剩余的两个数中任取一个作为十位，有3种方法；第三步:

在剩余的两个偶数中任取一个作为个位，有2种方法.

于是，第一类中三位数共有'=3X3X2=18（个）.

第二类，当三个数字中有两个奇数、一个偶数时.

（1）偶数在百位，第一步：在2,4,6中任取一个作为百位，有3种

方法；第二步