4.4 四边形（分层精练）（解析版）

第4讲四边形（精练）A基础训练B能力提升A基础训练一、单选题1．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期中）如图，把一张矩形纸片沿着它的长边对折（为折痕），得到两个全等的小矩形．若小矩形的长与宽的比恰好等于原来矩形的长与宽的比，则小矩形的长与宽的比是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由折叠得：，由题意得：矩形与矩形相似，，，，，，故选：D．2．（2022秋·河北·八年级校联考期末）如图，在六边形中，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：，，故选：C3．（2022秋·全国·八年级专题练习）若一个多边形的内角和是，则此多边形的边数是（）A．十二 B．十 C．八 D．十四【答案】B【详解】解：设多边形的边数为，根据多边形内角和定理得：，解得：．所以此多边形的边数为10边．故选：B．4．（2022秋·广东江门·八年级统考期末）已知一个多边形的内角和为，则这个多边形是（

）A．八边形 B．七边形 C．六边形 D．五边形【答案】C【详解】解：设这个多边形是n边形，由题意知，，∴，∴该多边形的边数是六边形．故选：C．5．（2022秋·四川绵阳·九年级校考阶段练习）如图，四边形是菱形，延长至点，延长至点，使得经过点，若，，则的长为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：四边形是菱形，，，,，，，，，．故选：C．6．（2022秋·河南郑州·九年级统考期中）如图，矩形的顶点，，与x轴负半轴的夹角为，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转，则第2022秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：四边形是矩形，，，，，每秒旋转，6次一个循环，，点和刚开始旋转的位置相同，点的纵坐标为：，横坐标为：，点的坐标为．故选：A．7．（2022秋·河北保定·八年级校考期中）如图，是的中线，点是的中点，若的面积为，则的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：是的边上的中线，的面积为，的面积为：，点是的中点，的面积为：，故选：B．8．（2022秋·山西·七年级统考期末）已知过边形的一个顶点有3条对角线，正边形的边长为5，周长为40，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【详解】解：过边形的一个顶点共有3条对角线，，，正边形的边长为5，周长为40，，，，故选：A．9．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）如图，在矩形中，点F是上一点，连接，然后沿着将矩形对折，使点C恰好落在边上的E处．若，则的值为（

）A．4 B．3 C． D．【答案】C【详解】解：∵由四边形是矩形，∴，，∵，∴，设，∵沿着将矩形对折，∴，在中，由勾股定理，∴，设，在中，由勾股定理，即，解得，∴．故选择：C．10．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期中）如图，正方形中，点P和H分别在边上，且，，，则BE的长是（

）A． B．5 C．7 D．【答案】D【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，即故选:D.11．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图，将矩形纸片沿对折，使点落在边上的点，若，，则边长为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵四边形是矩形，cm，cm，∴，cm，，∴，∵将矩形纸片沿对折，使点落在边上的点，∴cm，，∴（cm），∴cm，∵，∴，解得：，∴的边长为，故选：A．12．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期中）如图，已知在中，，点D为BC的中点，点E在AC上，将沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（

）①；②；③和的面积相等；④和的面积相等A．①② B．①③ C．③ D．①②③【答案】A【详解】如图，连接，∵点是中点，∴，由折叠知，，，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，故①正确，由折叠知，，∴，∵，∴是的中位线，∴，故②正确，∵，∴，由折叠知，，∴，∴，故④正确，无法判断和的面积是否相等，∴③不正确，故选：A．二、填空题13．（2022秋·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考期中）若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是_____边形．【答案】十二【详解】解：多边形的外角和是，根据题意得：解得．故答案为：十二．14．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期中）菱形中，，这个菱形的周长是28，则的长是：______．【答案】##【详解】解：如图，菱形的周长是28，．菱形中，，，，是等边三角形，．由菱形的性质知，，，，．故答案为：．15．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）如图，正方形的边长为8，，，线段的两端在、上滑动，当______时，与相似.【答案】2或4##4或2【详解】解：，，又与以、、为顶点的三角形相似，分两种情况：①与是对应边时，，，即，解得：；②与是对应边时，，，即，解得：．综上所述：当为4或2时，与相似．故答案是：4或2．16．（2022秋·四川绵阳·九年级校考阶段练习）如图，已知：，，P是上的一个动点，的最小值为_____．【答案】10【详解】作A关于的对称点E，连接，交于点P，则就是的最小值，∴，过E作交的延长线于F，则四边形是矩形，∴，∴，∴的最小值是10．故答案为：10．17．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）如图，在中，平分，于点F，D为的中点，连接延长交于点E．若，，则线段的长为_____________．【答案】【详解】解：∵平分，∴，∵于点F，D为的中点，∴，∴，∴，∴，∵D为的中点，∴是的中位线，∴，∴，故答案为：．18．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图，将矩形沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，，______．【答案】3【详解】解：由折叠可知，，，，，，，．设，则，，在中，由勾股定理得：即，解得：，．，故答案为：．19．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）如图，在正方形中，，E，F分别为边，的中点，连接，，点G，H分别为，的中点，连接，则的长为______【答案】【详解】解：如图：连接，延长交于点M，连接，四边形是正方形，，，，，，为的中点，，，，，，点H为的中点，，为的中点，，，，故答案为：．三、解答题20．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，点，分别在正方形边，上，且，求证：．【答案】见解析【详解】证明：四边形是正方形，，，在与中，，，．21．（2022秋·陕西西安·九年级交大附中分校校考期末）如图，四边形是正方形，点E是上一点，连接，以为一边作正方形，连接．求证：．【答案】见解析【详解】证明：∵四边形，均为正方形，∴，，，∴，∴，∴，∴．22．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）如图，已知中，，．D是内的一点，且，．(1)_______°；(2)依题中的条件用尺规作图补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；(3)求的度数．【答案】(1)(2)图见详解(3)【详解】（1）解：，，，故答案为．（2）解：如图所示，点即为所求．（3）解：作于，于．，四边形是矩形，，，，，，，，．23．（2022秋·九年级统考期中）如图，已知正方形，点在边上，点在边的延长线上，且．以图中某一点为旋转中心，将按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合．(1)旋转中心是点____________，旋转角的度数为___________°．(2)判断的形状并说明理由．【答案】(1)；(2)是等腰直角三角形，理由见解析【详解】（1）解：∵将按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合，又∵四边形是正方形，∴，，∴旋转中心是点，旋转角的度数为．故答案为：；．（2）是等腰直角三角形，理由如下：∵与重合，∴，∴，，∵四边形是正方形，∴，∴，∴是等腰直角三角形．B能力提升24．（2022秋·四川绵阳·九年级校考阶段练习）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动．(1)操作判断如图1，将矩形纸片折叠，使落在边上，点与点重合，折痕为，即可得到正方形，沿剪开，将正方形折叠使边，都落在正方形的对角线上，折痕为，，连接，如图2．根据以上操作，则＝°．(2)迁移探究将图2中的绕点按顺时针旋转，使它的两边分别交边，于点，，连接，如图3．探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用连接正方形对角线，若图3中的的边，分别交对角线于点，，将正方形纸片沿对角线剪开，如图4，若，，请直接写出的长．【答案】(1)45(2)，理由见解析(3)【详解】（1）∵四边形是正方形，∴，由折叠得，，∴，故答案为：45．（2）．理由：如图，将顺时针旋转90°得到，由旋转的性质可得，，．∵四边形为正方形，∴，由（1）中结论可得，∴，∴，∴．在和中，，∴，∴．∵，∴．（3）．如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质可得，．由（2）中的结论可证，∴．∵，，∴．在中，，∴，∴．25．（2022秋·四川泸州·八年级统考期中）如图四边形中，E在上，，且．求证：(1)；(2)是的角平分线．【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）证明：，，．，，又，．在和中，，；（2）证明：由（1）知，，，，，是的角平分线．26．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期中）如图①，四边形是正方形，点E是上一点，连接，以为一边作正方形，连接．(1)求证：(2)如图②，连接交于点H，连接，请探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【详解】（1）证明：如图①，∵四边形和四边形是正方形，∴，，，∴，，∴，在和中，，∴，∴（2）解：如图②，，理由如下：∵，∴，，∵四边形是正方形，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴27．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期中）如图，这是一张三角形纸片，小红想用这张纸片剪出一个菱形图案，贴在她制作的手抄报，使为菱形的一个内角．(1)请在图中画出一个符合要求的菱形，并简要说明画图步骤．(2)根据你的画图步骤，证明你所画的图形是一个菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）如图所示，作图步骤如下：①作的平分线交于点；②在线段上取一点；③作的垂直平分线交于，交于，④连接和，则四边形是符