事件的独立性

1.5事件的独立性一、事件的独立性二、重复独立试验1例如,袋中有十张卡片,分别标有数字0,1,…9,每次从中任意抽取一张,取后放回,共取两次A:事件“第一次取到标有奇数的卡片”B:事件“第二次取到的卡片上所标数字小于3”一、事件的独立性

={(i,j)|i,j=0,1,…,9}

n=100A={(i,j)|i=1,3,5,7,9,j=0,1,…,9}

mA=502有:B={(i,j)|i=0,1,…,9,j=0,1,2}

mB=30AB={(i,j)|i=1,3,5,7,9,j=0,1,2}

mAB=15得:这时称A,B是相互独立的P(B|A)=P(B)

P(AB)=P(A)P(B)3直接理解:由于是有放回抽取,第一次取卡对第二次取卡没有影响,故可直接判断独立A,B相互独立,若P(A)>0,P(B)>0,则P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A)其含义:B(或A)的概率不受附加条件“A(或B)已发生”的影响注:任一事件与不可能事件与必然事件也是相互独立的4定理:若A与B相互独立，则A与与B,与也相互独立∵(1)且又P(AB)=P(A)P(B)则有:故,A与相互独立5(2)由对称性,与B也相互独立(3)与B相互独立,由(1)可知,与也相互独立可见,若P(A)>0,P(B|A)=P(B),由定理,有:即,不论A发生与否,B发生的概率都一样6例如,={1,2,3,4},A={1,2},B={1,3},

C={1,4}这一古典概型:有:得:P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)9(1≤m≤n,i1,i2,…,in为1,2,…,n的一个全排列)定理:A1,A2,…,An相互独立,则也相互独立可知,A,B,C两两相互独立但不是相互独立的10注意:在实际应用中,对于事件的独立性,我们往往不是根据定义来判断,而是根据实际意义来加以判断的具体的说,题目一般把独立性作为条件告诉我们,要求直接应用定义中的公式进行计算11例1有三批种子,发芽率分别为0.9,0.8,0.85,在这三批种子中各任取一粒,求取得的三粒种子中至少有一粒能发芽的概率解:A:“取得的三粒种子中至少有一粒能发芽”Ai:“由第i批种子中取得的一粒种子能发芽”(i=1,2,3)A1,A2,A3相互独立,且A=A1∪A2∪A312=1

(1

0.9)(1

0.8)(1

0.85)=0.997有:P(A)=P(A1∪A2∪A3)13注:两个事件独立和两个事件不相容是完全不同的两个概念:前者说,一个事件是否发生对另一个事件发生的概率大小没有影响;而后者说,两个事件是不可能同时出现的14二、重复独立试验在实际问题中,常常需将一个随机试验重复进行若干次(比如n次),若各次试验的结果互不影响,即每次试验结果出现的概率不受其它各次试验结果的影响,则称这n次试验为n次重复独立试验例如,n次掷硬币试验,

n次有放回摸球试验,等等15在n重贝努里试验中,事件A恰好发生k次的概率为:若一个试验只有两种结果:A、其中则称这个试验为贝努里试验,它的n次重复独立试验称为n重贝努里试验定理:同时,有16例2设有八门火炮独立地同时向一目标各射击一发炮弹,若有不少于2发炮弹命中目标时,目标算作被击毁,如果每门炮弹命中目标概率为0.6,求击毁目标的概率p是多少?解:A:“每门火炮命中目标”则P(A)=0.6，n=8的贝努里概型故,17例3甲乙两人各掷均匀硬币n次，求两人掷出正面的次数相等的概率。解：A：“两人掷出的正面数等”；：“甲掷出了k次正面”；：“乙掷出了k次正面”；18又因为甲掷硬币n次，是n重贝努里试验，则有19小结1.阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关系及运算2.给出了随机事件的频率及概率的含义和