2023年广东省深圳大学附中中考一模 数学 试卷（学生版+解析版）

2023年广东省深圳大学附中中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无现金发展.元旦当天小明妈妈收到微信红

包80元记作+80元，则小明妈妈微信转账支付65元记作（）

A.+80元B.—80元C.+65元D.-65元

2.党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研

发人员总量居世界首位.将2800000000000用科学记数法表示为（

A0.28x10”B.2.8x10"C.2.8xl012D.28x10"

3.如图所示的儿何体的左视图是（）

A.B.D.

4.为更好地学习贯彻“2022年全国两会”精神,牢记使命担当，奋进新时代，筑梦新征程.某校举办了

“2022年全国两会”知识竞赛，某班参赛6名同学的成绩（单位：分）分别为：86,83,87,83,84,

93,则这组数据的中位数是（）

A.84B.85C.86D.87

5.如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，侧图中NCOB的度数是（）

A.75°B.105°C.115°D.100°

6.阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠

杆原理，即“阻力x阻力臂=动力x动力臂”.若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m,则这

一杠杆的动力厂和动力臂/之间的函数图象大致是（）

顶部点。的仰角为45。，向前走20米到达A'处，测得点。的仰角为67.5。，已知测倾器4B的高度为1.6

米，则楼房CO的高度约为（）.（结果精确到0.1米，V2^1.414）

8.下列命题中，真命题是（）

A.在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等

B.圆内接四边形的是菱形

C.顺次连接一个四边形的四边中点得到的四边形是平行四边形

D.相似三角形一定不是全等三角形

9.某市政工程队准备修建一条长1200米的污水处理管道.在修建完400米后，为了能赶在汛期前完成,

采用新技术，工作效率比原来提升了25%.结果比原计划提前4天完成任务.设原计划每天修建管道x

米，依题意列方程得（）

1200_12001200-4001200-400“

=4-------------------=4

xx(l+25%)xx(l+25%)

12001200-400,1200-4001200-400“

C______________=4D___________________=4

xx（l+25%）x（l+25%）x

10.已知抛物线y=o?+法+c（a,b,c是常数）开口向下，过A（—1,0）,3（/%0）两点，且1＜相＜2.下

列四个结论：

①若c=l,则0＜b＜l；

3

②若/〃=一时，则3a+2c＜0；

2

③若点〃（即,）,N（%2，%），在抛物线上，西＜々，且西+巧＞1,则%＞必；

④当aW-1时，关于工的一元二次方程ax2+bx+c^\必有两个不相等的实数根.

-3

⑤如果加=二，。=1,那么当0＜x＜2时，直线y=女与该二次函数有一个公共点，则一1（左＜1.其中

2

结论正确的个数有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.因式分解：2d—2x=.

12.如图，在,ABC中，平分NB4C,DEJ.AB，AC=5,OE=2，..ACZ）面积为.

13.2022北京冬奥会掀起了滑雪热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪

场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰

马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的

根部处于微微受力的状态，如图所示，ABHCD,当人脚与地面的夹角/CQE=60。时，求出此时头顶A与水

平线的夹角NBAF的度数为.

14.已知〃7之一4）+1=0，则代数式值加+上=.

m-

15.如图，正方形A5CD的对角线AC上有一点E，且CE=4A£,点F在。C的延长线上，连接

EF，过点E作EG_LEF,交CB的延长线于点G,连接G尸并延长，交AC的延长线于点尸，若

AB=5,CF=2,则线段石尸的长是.

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

2x—1>尤+2

16.解不等式组:

x+5<4x-l

17.在平面直角坐标系内，ABC的位置如图所示.

（1）将_A8C绕点。顺时针旋转90°得到△ABC,作出4G.

（2）以原点O为位似中心，在第四象限内作出，ABC的位似图形△&&&,且△4B2C2与.A3C的相

似比为2:1.

18.“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷.某校计划在

某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共5个，其中有2个为八年

级班级（分别用4、B表示），3个为九年级班级（分别用C、D、E表示），由于报名参加观摩课堂教学活动

的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下

的四个备选班级中任意选择一个开展活动.

（1）第一周选择的是八年级班级的概率为；

（2）请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率.

19.2022年北京冬奥会点燃了人们对冰雪运动的热情，各种有关冬奥会的纪念品也一度脱销.某实体店购

进了甲、乙两种纪念品各30个，共花费1080元.已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵4元.

（1）甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？

（2）这批纪念品上架之后很快售罄.该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共100件，销售官网

要求新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的;（不计其他成本）.已知甲、乙纪念品售价分别为

24元/个，30元/个.请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？

20.如图，四边形ABC。中，N8=NC=90。，点£是边8C上一点，且。E平分/AEC,作，A3E的外

接圆O.

（1）求证：QC是:）。的切线；

（2）若。的半径为6,CE=3,求。E的长.

21.综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在YABCD中,

BELAD，垂足为E，F为CD中点，连接EE，BF，试猜想£尸与班'的数量关系，并加以证

明；

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将YABCD沿着3尸（尸为CO的中点）所在直线折叠，如

图②，点C的对应点为C',连接。。并延长交A3于点G,请判断AG与8G的数量关系，并加以证

明；

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将YABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为41使

A'BLCZ）于点〃，折痕交A。于点"，连接A'M，交.CD于点、N.该小组提出一个问题：若此

YABCD的面积为20,边长AB=5,BC=2也，求图中阴影部分（四边形MM0）的面积.请你思

考此问题，直接写出结果.

22.我们定义【“，b,c］为函数丁=0?+法+。的“特征数”•如：函数y=2f—3x+5的“特征数

是［2,-3,5］，函数y=x+2的“特征数”是［0,1，2］，函数y=-2x的“特征数”是［0,-2,

01

（1）若一个函数的特征数是【1，-4，1］,将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单

位，得到一个图象对应的函数“特征数”是.

（2）将“特征数”是【0,-走，-I］的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的

3

解析式是.

（3）当“特征数”是［1，-2m,加2一3机】的函数在直线x=m—2和直线x=l之间的部分（包括边界

点）的最高点的纵坐标为5时，求的值.

（4）点A（-2,l）关于V轴的对称点为点。，点8（—2,—3加一1）关于丁轴的对称点为点。.当若（3）中的

抛物线与四边形ABC。的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出用

的值.（〃?为常数）

2023年广东省深圳大学附中中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无现金发展.元旦当天小明妈妈收到微信红

包80元记作+8°元，则小明妈妈微信转账支付65元记作（）

A.+80元B.一80元C.+65元D.-65元

【答案】D

【解析】

【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案.

【详解】解：如果微信红包80元记作+80元，那么微信转账支付65元记为-65元.

故选D.

【点睛】本题考查了正数和负数，确定相反意义的量是解题关键.

2.党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研

发人员总量居世界首位.将2800000000000用科学记数法表示为（）

A.0.28x10"B.2.8x10"c.2.8X1012D.28x10"

【答案】C

【解析】

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为axlO",其中lK|a|<10,〃为整数.

【详解】解：2800000000000=2.8x1012.

故选：C.

【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中l4|a|<10,〃为整数.确

定〃的值时，要看把原来的数，变成“时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值21（）时，〃是正数；当原数的绝对值<1时，〃是负数，确定。与〃的值是解题的关键.

3.如图所示的儿何体的左视图是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据左视图即从左边观察得到的图形可得.

【详解】解：从左边看，可得如选项B所示的图形，

故选：B

【点睛】本题考查三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图，主要考查了学生的空间想象能力,

易错点是看得见的线用实线表示，看不见的线用虚线表示.

4.为更好地学习贯彻“2022年全国两会”精神，牢记使命担当，奋进新时代，筑梦新征程.某校举办了

“2022年全国两会”知识竞赛，某班参赛的6名同学的成绩（单位：分）分别为：86,83,87,83,84,

93,则这组数据的中位数是（）

A.84B.85C.86D.87

【答案】B

【解析】

【分析】把这组数据从小到大进行排列，然后问题可求解.

【详解】解：由题意得：这组数据从小到大排列为：83,83,84,86,87,93,

这组数据的中位数为（84+86）+2=85；

故选B.

【点睛】本题主要考查中位数，熟练掌握求一组数据的中位数是解题的关键.

5.如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，侧图中NCQ6的度数是（）

A.75°B.105°C.115°D.1（X）°

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角形的外角的性质解决问题即可.

【详解】NBOC=NBDC+NOCD,ZBDC=60°,NOCO=45°,

ZBOC=}05°,

故选:B.

【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键.

6.阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠

杆原理，即''阻力x阻力臂=动力x动力臂，，.若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m,则这

一杠杆的动力/和动力臂/之间的函数图象大致是()

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用阻力x阻力臂=动力x动力臂，进而得出动力尸关于动力臂/的函数关系式，从而确定

其图象即可.

【详解】解：•.•阻力X阻力臂=动力X动力臂，且阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m,

二动力/关于动力臂/的函数解析式为：1200*0.5=77,

即尸=半，是反比例函数，

又•••动力臂/>()，

故B选项符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解本题的关键.

7.如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CO的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD

顶部点。的仰角为45。，向前走20米到达A处，测得点。的仰角为67.5。，已知测倾器A3的高度为L6

米，则楼房的高度约为（）.（结果精确到0.1米，72=1.414）

A.34.14米B.34.1米C.35.7米D.35.74米

【答案】C

【解析】

【分析】过点B作团LLC。于尸，过点B'作B'E上BD于E,证明NBDB'=NCDB',利用角平分线的

性质得到B'£=BT，解Rt.8EB'得到3七=10夜01，再解Rt△双叶得到防=£＞尸，由此即可得到答

案.

【详解】解：如图所示，过点B作BbLCD于F,过点£作B'E_L3。于E，

由题意得四边形是矩形，®3'=A4'=20m,

CF=AB=1.6m，

•・•NBDB'=NDB'F一/DBF=22.5°，

：.NBDB'=NCDB'==NBDF=22.5°,

2

又,：BE工BD,B'F±CD,

B'E=B'F,

在RtABEB'中，BE=BB'-sin/EBB'=10女m,

DF

在Rt/XBDF中,BF==DF

tan/DBF

：.DF=BF=BB'+B'F=（20+1072）m,

8=OF+CF=（21.6+lO0）a35.7m,

故选C.

D

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，角平分线的性质，正确作出辅助

线是解题的关键.

8.下列命题中，真命题是（）

A.在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等

B.圆内接四边形的是菱形

C.顺次连接一个四边形的四边中点得到的四边形是平行四边形

D.相似三角形一定不是全等三角形

【答案】C

【解析】

【分析】利用圆周角定理、菱形判定方法、平行四边形的判定方法及相似三角形的性质分别判断后即可确

定正确的选项.

【详解】解：A.在同圆或等圆中，相等弦所对的圆周角相等或互补，故原命题错误，是假命题，不符合

题意；

B.圆内接四边形的不一定是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

C.顺次连接一个四边形的四边中点得到的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；

D.相似三角形可能是全等三角形，故原命题错误，是假命题，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经

过推论论证得到的真命题称为定理.

9.某市政工程队准备修建一条长1200米的污水处理管道.在修建完400米后，为了能赶在汛期前完成，

采用新技术，工作效率比原来提升了25%.结果比原计划提前4天完成任务.设原计划每天修建管道x

米，依题意列方程得（）

12001200.1200-4001200-400，

A--------------------------=4B-----------------------------------=4

'x41+25%）尤x（l+25%）

12001200-400)1200-4001200-400

c---------------=4

xx(l+25%)Ml+25%)x

【答案】B

【解析】

【分析】设原计划每天修建管道X米,则原计划修建天数为坦2天.实际前面400米,每天修建管道x米，需要

x

4001200-400

;-天,剩下的1200-400=800米,每天修建管道x（1+25%）米，需要点工加同天.根据实际天数比原计划提

前4天完成任务即可得出数量关系.

【详解】设原计划每天修建管道x米,

根据题意的剪-4001200-400

---------F--------------------r-

Xx尤(1+25%)

12004001200-400_

丁-丁x（l+25%产

1200-4001200-400_

—xx（l+25%）=4,

选项B正确.

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等

量关系；难点是得到实际修建的天数.

10.已知抛物线y=av2+0x+c（a,b,c是常数）开口向下，过A（-l,0）,8（加,0）两点，且.下

列四个结论：

①若c=l,则0<己<1；

3

②若机=5时，则3a+2c<0；

③若点M（即y）,N（%2，y2），在抛物线上，玉<々，且再+々>1，则X>为；

④当aW-1时，关于x的一元二次方程Z?+加+0=1必有两个不相等的实数根.

3

⑤如果加=5，C=l,那么当0<x<2时，直线y=上与该二次函数有一个公共点，则一1<%<1.其中

结论正确的个数有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】A

【解析】

【分析】①根据c=l和过点A,可得。=〃一1,根据1<加<2,列不等式组可解答；

②根据对称轴是直线8=土土三，计算匕=-,。，最后将点A坐标代入抛物线的解析式可解答；

22

③计算对称轴x=〃，确定（）<〃<（）.5,可知：点M到对称轴的距离〈点N到对称轴的距离，开口向下时

可得V的大小；

④列方程计算A>0可解答；

⑤根据已知确定解析式，列方程计算A可解答.

【详解】解：若c=l,则y=⑪2+陵+1,

抛物线过A（-l，0）,

a—b+1—0,

1<m<2,

・・・当x=l时，a+b+\>0：当x=2时，4。+2。+1<0；

联立此两个不等式，将。=。-1代入以上不等式，

可解得0<〃<,；故①错误；

2

33

当m=士时，对称轴是直线-1+2b1,

2x=-------=-----=—

22a4

,1

:.b=—ci,

2

当芽=一1时，。一/?+。=0,

1八日3。八

ClH---Q+C=0,即n----FC=0,

22

・,.3。+2c=。，故②错误；

由题意，抛物线的对称轴是直线x=〃=二匕'，

2

/.l<m<2,

.・.0<±^<0.5,即0</?<0.5,

2

点用（石，X）,N®,%）在抛物线上，玉<X2，且百+工2>1,

•••点M到对称轴的距离〈点N到对称轴的距离,

••・%>%，故③正确;

设抛物线的解析式为y=〃(x+i)(x-m),

方程。(工+1)(工一加)=1,

整理得，cue+6z(l-m)x—6/m—1=0,

A=[6r(l-m)]2-46f(-4zm-l)

=6f2(/n+l)2+4Q,

1<zn<2,a<-\

/.A>0,

・•・关于X的一元二次方程必2+云+C=1必有两个不相等的实数根.故④正确,

如果C=l,则、=0%2+加；+1,

3_2

如果〃?=一,根据②3。+2。=0,则。=一；；

23

又抛物线过A(—1,0),"b+l=0,

2

21

..V=--X2H—X+11,

33

当x=0时，y=l,当x=2时，y=-l,

根据图象知，直线y=人与该二次函数有一个公共点，

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活

运用所学知识解决问题.

二、填空题(本大题共5小题，共15.0分)

11.因式分解：2x?—2x=-

【答案】2x(x-l)

【解析】

【分析】根据提公因式法可进行求解.

【详解】解：原式=2x(x-l)；

故答案为：2x(x-1).

【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

12.如图，在一ABC中，平分NB4C,DEJ.AB，AC=5,OE=2，「AC。面积为

【答案】5

【解析】

【分析】如图所示，过点。作AC交AC延长线于尸，利用角平分线的性质得到。尸=DE=2,再

根据三角形面积公式求解即可.

【详解】解：如图所示，过点。作DEIAC交AC延长线于F,

•••DF±AC,DEJ.AB,AD平分NBAC,DE=2,

DF=DE=2,

•：AC=5,

:.SMen~~2AC.DF=—2X2X5=5,

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题

的关键.

13.2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪

场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰

马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的

根部处于微微受力的状态，如图所示，AB//CD,当人脚与地面的夹角/CQE=60。时，求出此时头顶A与水

平线的夹角NBAF的度数为.

【答案】60。##60度

【解析】

【分析】延长AB交直线EQ于点4,利用平行线的性质得出NCQ£=/£>/M=60。，再由两直线平行，内错

角相等即可得出结果.

【详解】解：延长A8交直线于点H,

•：AH//CD,

：.ZCDE=ZDHA=60°,

•.•根据题意得AF〃后从

：.ZFAB=ZDHA=60°,

故答案为：60°.

【点睛】题目主要考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键.

14.已知〃-4)+1=0，则代数式值〃+'T=.

tn

【答案】14.

【解析】

【分析】根据方程求出m+,的值，再运用完全平方公式可求加+工的值.

mm

【详解】解：:加？-4加+1=0,且mwO,

m-4H——=0,即“+」-=4,

mm

（771+-）2=42,

m

nr+4+2=16,

JTT

21』

m~-\—-=14,

m

故答案为：14.

【点睛】本题考查了完全平方公式和等式变形，解题关键是恰当的对等式变形，熟练运用完全平方公式进

行计算.

15.如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE=4A£,点b在。。的延长线上，连接

EF，过点E作EG_LEF,交C3的延长线于点G,连接G尸并延长，交AC的延长线于点尸，若

AB=5,CF=2,则线段EP的长是.

4D

P

增案】中.

【解析】

【分析】如图，作FHJ_PE于H.利用勾股定理求出EF,再证明△CEFsaFEP,可得EF2=EC・EP,由此

即可解决问题.

【详解】如图,作FHJ_PE于H.

D

•.•西边形ABCD是正方形，AB=5,

AC=5V2，NACD=ZFCH=ZECG=45°,

ZFHC=90°,CF=2,

.\CH=HF=V2，

VCEMAE,

.•.CE=40,AE=也,

；.EH=50,

在RlZ\EFH中，EF?=EH?+FH2=(5⑸+(用=52,

NGEF=NGCF=90。，

.•.E,G,F,C四点共圆，

ZEFG=ZECG=45°,

；./ECF=/EFP=135°,

：/CEF=/FEP,

...△CEFS/XFEP,

.EFEC

"~EP~~EF'

•••EF2=ECEP，

3与修

4722

13&

故答案为:

2

【点睛】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关

键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

2x—1>%+2

16.解不等式组:

x+5<4x—1

【答案】x>3

【解析】

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不

到确定不等式组的解集.

【详解】解：解不等式2x—l>x+2,得：x>3,

解不等式x+5<4x—l,得：%>2,

则不等式组的解集为尤>3.

【点睛】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、

大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

17.在平面直角坐标系内，的位置如图所示.

：4

A

（1）将一ABC绕点。顺时针旋转90°得到△4耳&，作出4G.

（2）以原点O为位似中心，在第四象限内作出.A3C的位似图形且△A&C2与；ABC的相

似比为2:1.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）分别作出点4、B、C绕点。顺时针旋转90°后的对应点4、4、c,,顺次连接即可;

（2）分别连接AO、BO、CO并分别延长到点A2、B?、G，使得O&=2AO、OB2=2BO,OC2=2CO,顺

次连接A2、凡、即可•

【小问1详解】

解：如图，△4月G即为所作.

【小问2详解】

如图，即为所作.

18.“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷.某校计划在

某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共5个，其中有2个为八年

级班级（分别用A、3表示），3个为九年级班级（分别用C、D、E表示）,由于报名参加观摩课堂教学活动

的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下

的四个备选班级中任意选择一个开展活动.

（1）第一周选择的是八年级班级的概率为;

（2）请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率.

【答案】（1）|

3

（2）两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率为g

【解析】

【分析】（1）直接根据概率公式计算，即可求解；

（2）根据题意画出树状图，可得共有20种等可能的结果，其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级

的情况有12种情况，再根据概率公式计算，即可求解.

【小问1详解】

2

解：根据题意得：第一周选择的是八年级班级的概率为二;

2

故答案为：~

【小问2详解】

根据题意画树状图如下：

开始

第一周.ABCDE

第二周:公祢会心4盒

由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的情况有12种

情况，

123

/.两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率为一=

205

【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关

键.

19.2022年北京冬奥会点燃了人们对冰雪运动的热情，各种有关冬奥会的纪念品也一度脱销.某实体店购

进了甲、乙两种纪念品各30个，共花费1080元.已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵4元.

（1）甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？

（2）这批纪念品上架之后很快售罄.该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共100件，销售官网

要求新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的,（不计其他成本）.己知甲、乙纪念品售价分别为

3

24元/个，30元/个.请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？

【答案】（1）甲种纪念品每件进价是16元，乙种纪念品每件进价为20元

（2）购进甲种纪念品25件，乙种纪念品75件时利润最大

【解析】

【分析】（1）设甲种纪念品每件进价是x元，乙种纪念品每件进价为y元，找出等量关系，根据题意列出

方程组即可求解；

(2)设新购甲种商品/件，则乙种商品为(100-m)件，设销售完这批纪念品获得的利润为w元，根据题意

即可得到w与x之间的函数关系式；再根据机的取值与一次函数的性质即可求解.

【小问1详解】

解：设甲种纪念品每件进价是x元，乙种纪念品每件进价为y元，

(

由题意得《]30'x+y”)=1080，

[x+4=y

解得《x=1…6

y=20

答：甲种纪念品每件进价是16元，乙种纪念品每件进价为20元.

【小问2详解】

设新购甲种纪念品机件，则乙种纪念品为(1()()一根)件，设销售完这批纪念品获得的利润为W元.

由题意可得：解得加225

25<m<100

川=(24-16)加+(30-20)(100-m)=一2加+1000.

V-2<0,

...W随，"的增大而减小，且254加《100,

...当/n=25时，w有最大值,此时100—m=75.

答：购进甲种纪念品25件，乙种纪念品75件时利润最大.

【点睛】本题主要考查了列方程组解决实际问题、一次函数的应用，解题的关键是找到数量关系列出方程

组或函数关系式.

20.如图，四边形A3CD中，NB=NC=9O。，点E是边BC上一点,且。E平分NAEC,作，4?七的外

接圆Q)O.

(1)求证：0c是。的切线；

(2)若：。的半径为6,CE=3,求。E的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)6

【解析】

【分析】(D连接0Q,根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到8j_DC,根据切线的判定定理即可

证得结论；

(2)过点。作于凡根据矩形的判定与性质，可得QP=FC=6,OF=DC,根据勾股定理求

出OF,根据勾股定理计算，即可得到答案.

【小问1详解】

证明：如图：连接。。，

NB=90°,A5E的外接圆为O,

J.AE是「。的直径，

OD=OE,

/ODE=/OED,

DE平分NAEC,

：.ZDEC=ZOED,

："ODE=ADEC,

:.OD//BC,

ZC=90°,

Z.ODC=180°-ZC=90°,

：.OD±DC，

QD是。。的半径，

.•.OC是(，。的切线；

【小问2详解】

解：如图：过点。作于点F,

A

FC

，四边形O尸CD是矩形

..OD=FC=6,OF=DC,

:.EF=FC-EC=6-3=3,

:.OF=y/OE2-EF2=V62-32=3百，

/.DC=OF=36，

DE=dDC?+EC?=J（36『+32=6

【点睛】本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半

径的直线是圆的切线是解题的关键.

21.综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在YA3CD中，

BELAD，垂足为E，尸为CO的中点，连接E/，BF,试猜想上尸与防的数量关系，并加以证

明；

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将YA88沿着3尸（尸为CD的中点）所在直线折叠，如

图②，点。的对应点为C',连接。C并延长交A3于点G,请判断AG与BG的数量关系，并加以证

明；

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将YABC。沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为AI使

A'BLCZ）于点，，折痕交AD于点M，连接A'M，交CD于点、N.该小组提出一个问题：若此

YABC。的面积为20,边长AB=5,BC=2亚,求图中阴影部分（四边形3HVM）的面积.请你思

考此问题，直接写出结果.

图①图②图③

【答案】（1）EF=BF；见解析；（2）AG=BG,见解析；（3）—.

【解析】

【分析】（1）如图，分别延长A。，■相交于点尸，根据平行四边形的性质可得AD//5C,根据平行线

的性质可得=/P=/FBC,利用A4S可证明△POFgABCF,根据全等三角形的性质可

得FP=FB，根据直角三角形斜边中线的性质可得EE='BP,即可得所=3尸；

2

（2）根据折叠性质可得NCFB=NC户FC=FC,可得FD=F。，根据等腰三角形的性质可得

/FDC=NFCD,根据三角形外角性质可得NCFC=NEDC+N尸CD,即可得出NCEB=NFCZ>,可得

DG//FB,即可证明四边形。GBF是平行四边形，可得。尸=BG=，AB,可得AG=BG；

2

（3）如图，过点M作例。，48于Q,根据平行四边形的面积可求出的长，根据折叠的性质可得

A'B=AB,N4=/4,ZABM=ZMBH,根据，CD可得A5LAB,即可证明△MBQ是等腰直角三角

形，可得MQ=B。，根据平行四边形的性质可得NA=/C,即可得NA，=/C,进而可证明

△AW//-ACBH,根据相似三角形的性质可得AT/、Ml的长，根据NH//MQ可得△A，MQ,根据

相似三角形的性质可求出MQ的长，根据S阴=5.25”加/即可得答案.

【详解】（1）EF=BF.

如图，分别延长AO，班'相交于点尸，

•••四边形ABCD是平行四边形，

，AD//BC,

：.4PDF=4C,/P=/FBC,

•.，/为8的中点，

DF=CF,

"P=4FBC

在4PDF和4BCF中，<ZPDF=ZC,

DF=CF

；.△PDF^^BCF,

:.FP=FB，即/为3P的中点，

BF=>BP,

2

•••BE±AD，

：.ABEP=90。,

：.EF=-BP,

2

/.EF=BF-

(2)AG^BG.

•••将YABCO沿着班'所在直线折叠，点C的对应点为C'，

ZCFB=ZC'FB=^ZCFC',FC=FC，

：尸为。。的中点，

FC=FD=LCD,

2

...FC=FD，

ZFDC'=ZFC'D,

'：ZCFC'=ZFDC+ZFC'D,

1

ZFCD=-ZCFC',

2

"FC'D=NCFB,

/.DG//FB,

V四边形ABC。为平行四边形，

ADCIIAB,DC=AB,

四边形OGBb为平行四边形，

，BG=DF,

：.BG=­AB,

2

AG=BG.

(3)如图，过点M作朋Q_L4B于Q,

YA8CD的面积为20,边长AB=5,A'3_LC£)于点，,

.•.8〃=50+5=4,

:・CH=y]BC2-BH2=2-,

•.•将YABC。沿过点B的直线折叠，点A的对应点为A'，

f

：.AB=AB9NA=N4,/ABM=/MBH,

・・・。于点〃，ABIICD,

・・・A'B±A8，

/MBH=45。,

是等腰直角三角形，

：.MQ=BQf

u：四边形ABCD是平行四边形，

,ZA=ZC,

.•・ZAZ=ZC,

ZAfHN=ZCHB,

:.&A'NHs&CBH,

.•.色=也，即2」

AHNH1NH

解得：NH=2,

VA'BICD,MQA-A'B,

J.NHUMQ,

:.AKNHszKMQ,

AHNH.T2

—：—=---,即--------=

AQMQ5-MQMQ

,山口10

解得：MQ=—»

3

।Q22

**•SX5X---x1x2=—.

222323

【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定

与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键.

22.我们定义【“，b,c］为函数y="2+区+。的“特征数”•如：函数y=2/—3x+5的“特征数”

是12,-3,5］，函数y=x+2的“特征数”是［0,1，2］，函数y=-2x的“特征数”是［0,-2,

0）.

5-

-5-4-3-2-1(92345》

-1

（1）若一个函数的特征数是【1，-4，1］,将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单

位，得到一个图象对应的函数“特征数”是.

（2）将“特征数”是【0,-且，-1］的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的

解析式是.

（3）当“特征数”是［1，-2m,m2-3mJ的函数在直线1=加一2和直线x=l之间的部分（包括边界

点）的最高点的纵坐标为5时，求的值.

⑷点A（—2,1）关于y轴的对称点为点。，点8（—2,—3〃?—1）关于y轴的对称点为点C.当若（3）中的

抛物线与四边形ABC。的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出加

的值•（〃?为常数）

【答案】（1）［1，0,-2］

（3）加的值为或§土回

32

（4）加的取值为2或1或.一"

122

【解析】

【分析】（1）由函数的特征数是【1，-4,11,知函数为y=x2—4x+l=（x—2）2—3,将函数向左平移2

个单位，再向上平移1个单位得到丁=/一2,即可得到答案；

（2）由函数的“特征数”是［0,4,-1］,得函数解析式为y=-将图象向上平移2个单位得

新函数解析式为y=-3x+l；

⑶"特征数''是［1，-2m,裙―3加】的函数解析式为y=1—2阻+＞一3加=。-根）2一3机，抛物线

的顶点为