中小学生数学学习的特点分析及教学策略

中小学生数学学习的特点分析

及教学策略焦彩珍（西北师范大学教育学院）第一节学习与数学学习一、什么是学习学习有广义学习和狭义学习1.广义的学习包括从低等动物到人类在后天生活中，通过活动、练习获得行为经验的过程。或者说学习是有机体在后天生活过程中，经过练习和经验而产生的行为或心理的比较持久的变化。理解广义学习概念需要把握下面三个方面：第一，学习是人与动物共有的普遍现象。第二，学习是有机体后天习得经验的过程。第三，学习表现为个体心理、行为比较持久和稳定的变化。2.狭义的学习即人类学习，人类学习是在社会实践过程中，以语言为中介，自觉地、积极主动地掌握社会和个体的经验的过程。人的学习有以下特点：第一，从内容上看，人类学习比动物学习广阔得多。第二，从方式上看，动物学习是一个直接经验的过程，而人类学习是通过社会传递，以语言为中介实现的。第三，从性质上看，动物的学习是一个自发的适应过程，而人类的学习是自觉的、有目的的、积极主动的过程。二、数学学习与学生学习1.数学学习数学学习是由获得数学知识经验而引起的比较持久的行为变化的过程。学生的数学学习则是在教师的指导下，根据数学教学计划、目的、要求进行的获取数学知识、技能，培养能力以及发展个性品质的过程。2.学生的学习学生的学习是人类学习的一种形式，与人类学习有共同之处，又有其特点：第一，以掌握间接经验为主，是在人类发现基础上的再发现，不同于人类的一般认识过程。第二，是在教师的指导下，有计划、有目的、有组织地进行的，学习中主动性与被动性并存。第三，学生的学习是依据一定的课程和教材进行的，在一定的时间内是相对稳定的，课程、教材的质量直接影响着学生学习的效果。第四，是指向未来的学习，学生学习的主要目的是为今后的学习、工作和生活奠定基础。学生的学习是在教师指导下，有计划、有目的、有组织地掌握系统的科学知识和技能，发展各种能力，形成一定世界观和道德品质的过程。应提倡以学生为主体、以教师为主导、以发展为主线的“主体性教育”思想的树立。

第二节参与式研讨一、活动活动研讨中小学生数学学习的特点及教学

策略目标通过小组讨论和交流，总结中小学生数

学学习的特点及教学策略。时间30分钟材料笔，笔记本过程分组思考以下问题：1.中小学生数学学习的特点是什么？2.中小学数学教学的策略有哪些？首先由每个小组内的成员对以上问题进行归纳总结，并与同伴进行交流。然后由每个小组对中小学生数学学习的特点及教学策略给出小组的解释。二、小组汇报各个小组向全班展示达成的共识。第三节对小组汇报的总结与提升一、中小学生数学学习的特点分析1.学生的数学学习过程学生的数学学习是学校教育中的重要活动，是数学课程的设计编排、实施、评价的基本出发点。从本质上说，学生的数学学习过程是学生自主构建数学理解的过程。其中，学生带着自己原有的知识背景、活动经验和理解，走进学习活动，并通过自主的活动――包括独立思考、与他人交流和反思等，去构建他们自己对数学的理解，既包括用自己熟悉的事例构建新的概念、法则、结论等内容，也包括对已经形成的概念、法则、结论寻找个人的理解。因此，学生数学学习的过程可以说是一种再创造过程，而且是真正意义上的再创造（指主观意义，而非客观意义）。亦即，学生通过对数学知识、经验的提炼和组织――对低层次活动本身的分析，把低层次的知识变为高一级层次的常识；再经过提炼和组织而形成更高一级的知识。如此循环往复，最后再把数学放到现实中去加以应用，进而获得更深入的理解和认识。其中，获得的经验，对经验的分析与理解，对获得过程以及活动方式的反思（元认知），至关重要。心理学研究表明：学生的认识活动不是一个简单的个体被动接受的过程，而是一个主动探索和发现的过程。在中小学数学学习过程中，应采取适当的教学策略，提高数学课堂教学的有效性。2.中小学生数学学习的特点（1）中小学数学学习是学生生活常识的

系统化荷兰著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔曾经提出作为“普通常识的数学”的概念，他认为数学的根源在于普通常识。对中小学生来说，初中阶段的大部分数学知识在一定的意义上来说并不是“新知识”，在一定的程度上是一种“旧知识”，在他们的生活中已经有许多数学知识的体验，学校数学的学习是他们生活中有关数学现象和经验的总结与升华，每一个学生都从他们现实数学世界出发，与教材内容发生交互作用，建构他们自己的数学知识。中小学生的数学学习离不开现实生活经验。弗赖登塔尔还认为，学生的学习活动，与其说是学习数学，倒还不如说是学习“数学化”。学生从现实出发，经过反思，达到“数学化”。在这一过程中，“数学现实”和“反思”是十分重要的。对于中小学生来说，“数学现实”就是他们的“经验”。“经验”这个概念在中小学生学习数学的过程中具有重要意义。一方面，它是一个名词，它表示学生已有的生活经验，学生已有的生活经验对于他们理解数学知识是十分重要的；另一方面，“经验”又是一个动词，它表示中小学生的数学学习是一个从具体到逐步抽象的活动过程。（2）中小学数学学习是学生自己的活动过程建构主义学者认为，学习是主体在对现实的特定操作过程中对自己活动过程的性质作反省抽象而产生的，学习数学是一个“做数学”的过程。学生用自己的活动建立对人类已有的数学知识的理解。前苏联的数学教育学家斯托利亚尔曾经提出，数学教学是数学活动的教学。数学学习也不是单纯的知识的接受，而是以学生为主体的数学活动。因此，数学课堂要具有让学生自主探索、合作交流、积极思考和操作实验等活动的机会，现实的、有趣的和探索性的数学课题为主导的学习活动要成为数学内容的有机组成部分。从数学课堂教学的角度来看，初中生的数学学习是他们参与课堂教学的过程。学生从行为、情感、认知等多个方面投入于课堂教学过程中，全面提高学生在知识、能力和品质方面的素质。这样来理解数学学习，就要求学生在学习中成为真正的主体，如此才能产生有效的数学学习。因此，教师在设计教学时应充分考虑学生主体性的发挥，让学生经历自主“做数学”的过程。（3）中小学数学学习是一个思考过程数学学习的本质是学生获取数学知识、形成数学技能和能力的一种思维活动。“思考”是学生学习数学认知过程的本质特点，是数学知识的本质特征。从这个意义上来说，死记硬背公式，没有思维要求的反复操练，都不能算是真正的数学学习。学生的数学思维是对自身活动的反思，是对经验的反思。数学具有内在逻辑体系和抽象性，学习数学的过程本质上是一思考的过程。中小学生在学习的过程中，思考过程是直观思维、具体思维和抽象逻辑思维三个方面的结合。他们一般不能像成人那样完全借助纯抽象的数学概念进行思考，往往要以具体表象作为理解数学知识的基础。而且，中小学生正处于由具体形象思维为主向抽象逻辑思维为主的过渡阶段，低年级和高年级的学生思维具有不同的特点。数学学习不是让学生仔细地吸收课本上的或教师的现成结论，而是学生亲自参与的充满丰富、生动的概念活动或思维活动的过程。学生从“数学现实”出发，在教师帮助下自己动手、动脑做数学，用观察、模仿、实验、猜想等手段收集材料，获得体验，并作类比、分析、归纳，渐渐达到数学化、严格化和形式化。应当给学生经历一个从“非正规化”到“正规化”的过程，使其有机会运用自己的经验表达自己对知识的理解。提倡自学，促使学生从中学会自己怎样学习，这对于培养创造力有非常重要的意义。（4）中小学数学学习是一个再创造的过程弗赖登塔尔还认为，学生数学学习是一个有指导的再创造的过程。虽然，学生要学的数学知识都是前人已经发现的，但对学生来说，仍是全新的、未知的，需要每个人再现类似的创造过程来形成。数学知识的学习并不是简单的接受，而必须以再创造的方式进行。数学家在介绍自己的发现时，几乎从来都不是按照真实创造这项工作的实际过程进行表述的，而是略去其详尽的过程，以尽可能完美的形式简捷、缜密地表达出来。而学生的数学学习过程是在教师创设恰当的问题情景下进行的，这些问题情景应该有利于展现数学本身发生发展的全过程、学生思考探索的全过程。（5）有效的数学学习来自学生对数学活动的参与，而参与的程度与学生学习时的情感因素密切相关鉴于数学的对象主要是抽象的形式化的思想材料，数学的活动也主要是思辨的思想活动，因此，数学学习的过程，实际上是主体对客体的思维构造的过程，是在心理层面、思想层面建构客体意义的过程。在这个过程中，既有外部的操作活动，也有内部的心理活动、思维活动，还有内部和外部的交互活动。其中，学生经过主动活动，最终所建构的意义，固着于亲身经历的活动背景，源于自己熟悉的生活经验，扎根于自已已有的认知结构。这个活动，以学生的自主活动为基础，以智力参与为前提，又以个人经验为终结。正如皮亚杰（JeanPiaget,1896--1980）所说的，“没有一个行为模式（即使是理智的）不含有情感因素作为动机。”在数学学习活动中，学生作为学习的主体，其情感直接影响学习的效果与质量。因而，有效的数学学习来自学生对数学活动的参与，而参与的程度与学生学习时产生的情感因素密切相关。（6）学生数学学习中的认知、情感发展呈现出明显的阶段性，更需要循序渐进如小学低年级的学生，更多地关注“有趣、好玩、新奇”的事物。而小学中、高年级的学生，开始对“有用”的数学更感兴趣，更多地关注数学在其它学科和生活中的应用（现实的、具体的问题解决）。小学高年级至初、高中的学生，开始有比较强烈的自我意识、自我发展意识，开始对与自己的直观经验相冲突的现象，对“有一定挑战性”的任务很感兴趣。此时，不仅要关注数学的有用，也应当设法给学生经历“做数学”的机会。因此，中小学阶段的学生数学学习素材的选取与呈现以及学习活动的安排，都应当充分考虑到初中生的实际生活背景和趣味性（玩具、故事等），使他们感到学习数学是一件有意思的事情，从而更愿意接近数学。（7）学生数学学习的过程充满了观察、实验、猜想、验证、推理与交流等丰富多彩的数学活动纵观人类数学的发展历程，数学本身就是充满着观察与猜想的活动，“大胆地猜测、小心地论证”成为对很多数学家思维活动的真实写照。学生的数学学习过程，与人类的数学发展历程，具有很强的相似性。因而，在数学教学中，必须通过学生主动的活动，包括观察、描述、画图、操作、猜想、实验、收集、整理、思考、推理、交流和应用等，让学生亲眼目睹数学过程形象而生动的性质，亲身体验如何“做数学”，如何实现数学的“再创造”，并从中感受到数学的力量，促进数学的学习。与此同时，由于借助了计算机手段，数学应用的方式大大拓展，现代公民收集、处理数据、解决问题的方式也是多样的，学校中的数学教育就有必要改变传统数学的面貌以便和人们日常生活中使用的数学趋于一致。事实上，学生在学校学习数学的目的不仅仅是获得计算的能力（它占的比例将大大缩小），更重要的是获得自己去探索数学的体验和利用数学去解决实际问题的能力，获得尊重客观事实和理性精神以及对科学执著追求的态度。在学生进行数学学习的过程中，教师应当给学生留有充分的思维空间，使得学生能够真正地从事思维活动，表达自己的理解，而不只是模仿与记忆。（8）学生的数学学习的过程应当是富有个性的、体现多样化学习需求的过程不同发展阶段的学生在认知水平、认知风格和发展趋势上存在差异。同时，处于同一发展阶段的不同学生在认知水平、认知风格和发展趋势上也存在差异。大量理论研究和实践经验表明，人的智力结构是多元的：有的人善于形象思维；有的人长于计算；有的人擅长逻辑推理。这本没有优差之分，只表现出不同的特征与适应性。另外，每位学生都有自己的生活背景、家庭环境和一定的文化感受，导致不同的学生有不同的思维方式和解决问题的策略。就个体的整个数学学习而言，多种风格的认知方式可以为其形成良好的数学认知结构提供保证。因此，学生在学习过程中应当尽可能多地经历数学交流的活动，使得他们能够在活动中感受到别人的思维方法和思维过程，以改变自己认知方式上的单一性，促进全面发展，同时，通过向他人表达自己的思维过程，有助于反思与完善自我认知方式，从而达到个性发展的目的。（9）

动手实践、自主探索、合作交流是学生数学学习的重要方式学生的学习方式对学生的学习结果具有决定性的影响。学生学习的过程不是学生被动地吸收课本上的现成结论，而是学生亲自参与的、丰富、生动的思维活动，是经历实践和创新的过程。如果我们要发展学生的创新思维，就要变革学生的学习方式。单一、被动和陈旧的学习方式已经成为影响素质教育在课堂中推进的障碍。所谓变革学生的学习方式，是指从单一、被动的学习方式向多样化的学习方式转变。其中，自主探索、合作交流、操作实践都是重要的学习方式，而不是仅仅局限在接受学习、死记硬背、机械训练。概括地讲，在指导学生学习过程中，我们要大力倡导充分的自主，有效的合作，恰如其分的探究。

（10）数学学习需要较强的抽象概括能力

学生的学习是主要从理论开始的，遵循着“理论—实践—理论”的模式。但数学是高度抽象概括的理论，学生所学的数学知识较其它学科的知识（如物理、化学等）更抽象、更概括，其概括程度之高，使数学完全脱离了具体的事实，仅考虑形式的数量关系和空间形式。由于数学的高度抽象性和概括性，特别是使用了高度概括的形式化数学语言，在数学学习中，容易使学生造成表面的形式理解。具体表现在只记住内容丰富的形式符号，而对具体事实、对事物的本质特征，或者没有完全感知，或者没有完全与它的形式表示联系起来，表现出形式和内容的脱节，具体和抽象的脱节，感性和理性的脱节。因此，在数学学习中特别需要进行抽象概括，只有通过逐步地从具体到抽象的概括，才能使学生真正地掌握数学知识，不仅掌握形式的数学结论，而且掌握形式结论背后的丰富事实。这就说明学生在数学学习中需要较强的抽象概括能力。根据学生学习数学的这一特点，在中小学数学教学中，应当有意识地培养学生的抽象概括能力。（11）数学学习中教师的指导在于“点拨”

和“引导”学生的思维数学学习与其说是学习数学知识，倒不如说是开展数学思维活动。其中，教师的作用在于“点拨”和“引导”，帮助学生建构数学理解，更好地把握数学事实。为此，教师必须了解课程、教材的内容以及学生的思维特点，了解学生在思维活动中可能会遇到的困难和障碍。在人类发展史上，教师这一社会角色的特征经历了从长者为师到有文化知识者为师，再到教师（即科学文化知识传递者）的演变历程。真正地实施素质教育，教师就需要将自己的角色定位在引导者上来。事实上，因为学生素质的形成，是一个主体的建构过程，不是在整齐划一的批量加工中能完成的。教师要尊重差异性，尊重多样性，尊重创造性。作为学生数学学习的引导者，教师在课堂教学中的职责具体表现为：帮助学生检视和反思自我，明了自己想要学习什么和获得什么，唤起学生成长的渴望；帮助学生寻找、搜集和利用学习资源；帮助学生设计恰当的学习活动；帮助学生发现他们所学东西的个人意义（即自我诠释、自我建构的结果）；帮助学生营造和维持学习过程中积极的心理氛围；帮助学生对学习过程和结果进行评价，并促进评价的内在化；发现学生的潜能和心向。在教学中，教师的角色不仅体现在“教师是数学学习（活动）的组织者、引导者与合作者”，而且体现为：教师是学生成长的引领者，是学生潜能的唤醒者，是教育内容的研究者，是教育艺术的探索者，是学生知识建构的促进者，是学校制度建设的参与者，是校本课程的开发者。二、适合中小学生数学学习特点的教学策略心理学研究表明：学生的认识活动不是一个简单的个体被动接受的过程，而是一个主动探索和发现的过程。在中小学数学学习过程中，应采取适当的教学策略，提高数学课堂教学的有效性。1.培养学生的数学学习动机学习动机是可以直接推动学生进行学习活动来满足其对学习知识需要的一种内部心理状态。它是产生学习行为的直接动因和内部动力。对于具体学科的学习动机，如数学学习动机则是指与数学学习有关的某种需要所引起的、有意识的行为倾向，它是激励或推动学生去行为，以达到一定的学习目的的内在动因。这种需要是社会和教育对学生数学学习的客观要求在学生头脑中的反映。数学学习动机是否明确及其强烈程度，与学生所取得的成绩有着直接和必然的联系，它指导着学生的数学学习目标及实现目标而采取的各种学习行为。培养和激发学生数学学习动机的策略（1）巧设悬念，激发学生学习的欲望欲望是一种倾向于认识、研究、获得某种事物的心理特征。在学习过程中，可以通过巧设悬念，使学生对某种知识产生一种急于了解的心理，这样能够激起学生学习的欲望。（2）引起认知冲突，引起学生的注意认知冲突是人的已有知识和经验与所面临的情境之间的冲突或差异。这种认知冲突会引起学生的新奇和惊讶，并引起学生的注意和关心，从而调动学生学习的积极性。（3）适当开展竞赛，提高学生学习的积极性适当开展竞赛是激发学生学习积极性和争取优异成绩的一种有效手段。通过竞赛，学生的好胜心和求知欲更加强烈，学习动机和克服困难的毅力会大大加强，所以在课堂上，尤其是活动课上一般采取竞赛的形式来组织教学。（4）及时反馈，不断深化学习动机从信息论和控制论角度看，没有信息反馈就没有控制。学生学习的情况怎样，这需要教师给予恰当的评价，以深化学生已有的学习动机，矫正学习中的偏差。教师既要注意课堂上的及时反馈，也要注意及时对作业、测试、活动等情况给予反馈。使反馈与评价相结合，使评价与指导相结合，充分发挥信息反馈的诊断作用、导向作用和激励作用，深化学生学习数学的动机。2.培养学生的数学学习兴趣德国著名的教育家第斯多惠说过：“教育艺术不在于传授的本领，而在于激励、呼唤、鼓励。”我们怎样才能更好地教授数学，我们怎样才能更好地激励、呼唤、鼓励学生呢？新课程标准给了我们最好的答案：重视培养学生的数学学习兴趣。在历史的长河中，有很多卓有成就的人无不对自己所从事的事业，有强烈的浓厚的兴趣。著名教育家孔子就说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”科学巨匠爱因斯坦曾深有体会地说：“在学校和在生活中，工作的最重要的动机是工作的乐趣。是工作获得结果时的乐趣，以及对这个结果的社会价值的认识。发展并且加强青年人的这些力量，我看这应该是学校的最重的任务。”可见，注重学习兴趣的培养，能使教与学成为有渊之水，有本之木。学生一旦对数学产生了浓厚兴趣，他就会全神贯注地进行学习，千方百计地想方法去认识和解决数学问题。正如华罗庚所说：“有了兴趣就会乐此不疲，好之不倦，因此也就会挤时间来学习了。”而当学生的心理处于压抑、不满，失去信心时将直接阻碍、削弱甚至中断智力活动，破坏学习的向心力。兴趣是个体以特定的事物、活动及人为对象，所产生的积极的和带有倾向性、选择性的态度和情绪。每个人都会对他感兴趣的事物给予优先注意和积极地探索，并表现出心驰神往。这时会有很多人认为兴趣都是天生的，这样就像人们认为天才都是天生的一样，是不科学不全面的，心理学理论认为：学习兴趣不是天生的，而是在后天的环境和教育的影响产生和发展起来的。这给我们对兴趣的可培养性奠定了一个理论的基础。同时，大量的成功的教育案例也告诉我们，学习数学的兴趣是可以培养的。兴趣是最好的老师。数学教学重在培养学生的兴趣，学生对数学的钟情往往是从兴趣开始的，有了兴趣，学生才乐意走进课堂，去品味数学的情趣，使他们由厌学、苦学变为喜好、乐学，这必然可以推动数学学习的发展。在实际的教学中，我们可以将枯燥的数学知识生活化，并设计成具体的活动，让学生参与其中，让他们体验数学学习的快乐和数学应用的乐趣，这样学生就会积极参与，学习兴趣大增。此外还可以运用现代化多媒体教学，把数学知识具体化、形象化，学生通过听觉、视觉等感官刺激，这样不但能加深学生的记忆，更能使学生的好奇心理得到满足，相应地学习兴趣也会大大增加。教师在教学中还应爱护学生，多给予鼓励，少批评责骂，让学生树立良好的数学学习自信心。具体来说，可以总结如下：培养和激发学生数学学习兴趣的策略（1）创设情境，唤起学生学习的兴趣陶行知先生曾说过：“发挥学习潜能的最佳条件是民主。”在教学中，教师要尊重、理解、爱护每一个学生。把自己作为班级“特殊”的一员，参加学生的学习活动，真诚、坦率地与学生相处、交流，坚信学生是创新的主体，通过自己艺术化的服务，用爱心为学生创造一种真诚、理解的气氛，试问在这样的学习环境中，谁会不愿意学习？（2）给予学生成功的满足兴趣是带有情绪色彩的认识倾向。在学习中，学生如果获得成功，就会产生愉快的心情。这种情绪反复发生，学习和愉快的情绪就会建立起较为稳定的联系，学生对学习就有了一定的兴趣。正如原苏联教育家苏霍姆林斯基所说:“成功的欢乐是一种巨大的情绪力量，它可以促进儿童好好学习的愿望。请你注意无论如何不要使这种内在力量消失。”（3）鼓励质疑，激发学生学习的兴趣“学起于思，思源于疑”。“疑”是激发学习兴趣的线索，问题能使学生产生困惑，产生要求解决问题的强烈愿望。在教学过程中，教师要在备课、上课、作业设置等方面有意设置问题，让学生通过独立思考、分析，进行创造性地解决问题。还要鼓励学生提出问题，学生若能够提出问题，是积极探索的结果，是因为他们对数学充满了兴趣，长此以往，定会受益匪浅。（4）联系生活实际，引发学生学习的兴趣数学，就其本身就有很强的实践性和运用性，它来源于生产、生活实践，抽象于生活，又无处不在服务于生活，将生活观引入课堂教学，符合数学教学的学科特点，也符合学生的认知规律，能化抽象为具体，使学生对所学数学知识产生浓厚的兴趣。（5）开展数学活动，增强学生学习的兴趣数学中有很多有趣的规律，单从课本中很难领悟。因此需要老师引导学生去做有关数学学习方法的讨论，从大量的实验中找寻规律。应该结合数学内容，开展课外数学讨论，从中引起学生对学习内容的兴趣。（6）进行情感交流，增强学生学习的兴趣“感人心者莫先乎于情”，教师应加强与学生感情的交流，增进与学生的友谊，关心他们、爱护他们，热情地帮助他们解决学习和生活中的困难。作学生的知心朋友，使学生对老师有较强的信任感、友好感、亲近感，那么学生就会自然而然地过渡到喜爱你所教的数学学科上了。达到“尊其师，信其道”的效果。（7）重视数学史的教育想要对数学产生兴趣，就必须先对数学有一定的认识，怎样认识？让学生知道数学是什么，有什么内容，这些东西都能干什么。告诉学生数学是其它各门学科的工具和助手，更重要的是，数学在训练人的思维、思想方法以及熏陶人的精神方面有着无法替代的作用。例如日本的一位教授说：“在那些学者、科学工作者的研究工作中，经常活跃的，最感需要的，实际上是数学之科学的精神、思想和方法。唯有这些精神、思想和方法的启发锻炼、体验，才是不仅在数学，而且在一切科学技术中，不！在人生的各个方面筹划各种事业飞跃发展所绝对必需的。这一点已为许多事例所证实，应是很清楚了。”①讲授数学史，激发学生数学学习的兴趣。

回顾中华民族的文明史，悠悠数千年，光辉灿烂，数学的发展高潮迭起，蔚为壮观。其实，和学生进行情感交流的一个比较重要的方面是：教师可以通过数学或数学史学的故事等，来让学生了解数学的发展、演变及其作用，了解数学家们是如何发现数学原理及他们的治学态度等。比如，可以给学生讲：“数学之王──高斯”、“几何学之父──欧几里得”、“代数学之父──韦达”、“数学之神──阿基米德”等数学家的故事。也可以给学生讲：当欧洲大部分还处在蒙昧时期，记载着勾股定理及其应用的《周髀算经》已在中国问世。在欧洲还处在宗教神学占统治地位的黑暗时代，祖氏父子（祖冲之和祖暅）对圆周率π的计算误差已不超过一千万分之一。“中国的牛顿”——刘徽超前牛顿•莱布尼兹约1400年左右提出了数列极限的思想。还有沈括的“造微术”比西方约早600多年。秦九韶发展了“孙子定理”比西方约早500年，朱世杰的高次内插公式比西方牛顿的一般插值法约早300年，凡此种种不胜枚举。通过数学史的学习，不仅可以使学生学习先辈的智慧和研究方法，了解中国数学已有的杰出成就与特点，提高民族自信心和自尊心；还能够使学生对数学产生极大的向往之情，激发学生数学学习的兴趣；同时也可以从中受到教育。起到“动之以情，晓之以理，引之以悟，导之以行”的作用。②经常指导学生阅读著名数学家的传记，培养学生的数学学习兴趣。榜样的力量是无穷的。徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》曾经起过鼓舞人心、激励大家向科学进军的巨大作用。现在有一些博士导师，科学精英还能回忆起阅读此文时的激动情形。他们撰文回忆时，曾把此文比作催化剂，比作信号中继站。华罗庚、苏步青、陈省身、王梓坤、丘成桐等等的故事也是教育学生的上好题材，它们使人感动，使人奋发，使人信心倍增，使人朝气蓬勃。（8）加强数学美的鉴赏

用数学美感染学生是激发学习兴趣的有效方法。华罗庚曾说过：“认为数学枯燥无味，没有艺术性，这种看法是不正确的，就象人站在花园外面，说花园里枯燥无味一样。”罗素也讲过：“数学如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美。”我们如果能在提出数学问题时，揭露它的新颖、奇异或形态的美，以引起学生学习的好奇心；在分析解决问题时，使他们感受到思维方式、方法的巧妙、新奇、别致，促使他们自觉地去掌握，去创造自己的解题方法的艺术化；在把知识加以整理的过程中，让他们体验到数学的和谐、统一、简单的美。这样不仅可以减轻记忆的负担，而且能使学生品尝到数学知识结构的美妙。这样学生在受到数学美的熏陶的同时，不知不觉就会对数学产生浓厚的兴趣。（9）设计多样作业，促进学生数学学习的兴趣作业练习是掌握知识、形成技能、发展智力的重要手段，也是培养学生兴趣的一条有效的途径。练习设计首先要注意层次性，主要有三个层次：基本练习、综合练习和发展练习。其次，练习设计还要注意形式多样，可以设计如下形式：①口头作业：说解题思路、算理，看图编题等。②操作实践作业，如量一量、画一画、称一称，或者进行社会调查。③思维性作业，设置要认真思考的习题、应用题等。④综合作业，将学科知识汇总、联网等。⑤开放性作业，设计一些如一题多解、一题多问的开放作业。培养学生思维的流畅性、变通性和独特性，进而促进学生的学习兴趣。

培养学生学数学的兴趣的方法是多种多样的，只要不断尝试，大胆探索，学生学习数学的兴趣，会随着自己的努力日增月加。伟大的罗伯特•麦克纳马拉一生的经历就是对这一点的有力证明。麦克纳马拉在美国加州大学学习期间，成绩优秀，在数学方面下了很大的功夫，被同学们称为“顶类的数学人种”。毕业后，他依靠在数学学习中获得的智慧和思维方法屡创奇迹，取得了如此辉煌的成就。①他把数字化管理模式引入现代企业，开创了全球现代企业科学管理的先河，被称为“美国现代企业管理之父”。②在排名世界第二的美国福特汽车公司中，成为首位非福特家族成员的总裁。③当了7年美国国防部长。④担任了13年之久的世界银行总裁。⑤获得了爱因斯坦和平奖。在他晚年所著的回忆录《回顾越战的悲剧与教训》中，颇有感触地写到：“应将数学视为一个思维过程，它是一种语言，虽然不能表达全部，但足以表达人类的大部分活动。它给予我意想不到的启示。时至今日，我仍将数量关系作为一种语言，它有助于更为准确地看待世界。”3.活跃课堂教学环境，提高学生的

自主学习能力传统的教学方式使得我们的课堂气氛枯燥乏味，即使教师教得再好，学生的学习兴趣也不高，课堂教学效率当然不好。这就要求我们在实际的数学教学过程中，运用各种教学手段创设不同的教学情境，真正地使学生融入到整个教学中来，想方设法提高学生的学习兴趣，活跃课堂教学氛围。学生一旦加入到教学中来，他们就会积极地思考问题和解决问题，提出自己对于数学知识的见解，这样会收到意想不到的教学效果。4.分清层次，因材施教由于学生受智力等方面的影响，他们对于知识的认知程度不同，所以掌握数学知识的能力就不同。针对这个问题，我们可以设置一些不同程度的课堂习题进行练习，这样不但可以满足知识接受能力强的学生的需求，又不至于使数学学困生失去对于数学学习的自信心，使得班级的数学整体水平得到提高。5.建立有效的激励机制中小学数学学习有效的激励机制是指教师运用科学的、合理的评价方式对学生的学习效果进行鼓励，这样对于改进学生的学习方法和学习效率起着非常重要的作用。在实际的教学中，教师应该经常性地把学生的学习程度反馈给学生，让他们自己明白自己在哪个方面还需要加强。同时，在此过程中一定要做到奖罚分明。只有这样，才能更好地实施有效教学。6.保证信息交流的广泛性荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔曾说过：“数学学习的过程就是要通过数学语言，用特定的符号、词汇、句法去交流，去认识世界。”随着新课程的深入，课堂上进行师生、生生之间的广泛交流、信息共享被越来越多的教师所重视，这种形式体现了教学的民主，营造了良好的学习氛围，也通过这种多向的交流信息，充分暴露学生的思维方式，引导学生取长补短，集思广益，共同成长。因此，我们应在教学中树立“以学生的发展为本”的观念，针对内容的关键处和学生的疑难点，为每位学生创设畅所欲言、广泛交流的的氛围，从而实现有效教学。7.力求评价方式的丰富性著名的教育家阿莫纳什维利曾指出：“在整个教学过程中应对学生的学习进行内容丰富的、多方面的评价，目的在于使学生在学习过程的内部获得学习积极性的动因。”教学评价已经是现代教学的一个重要组成部分，现代教学离不开评价，同时也赋予了评价新的时代意义。教学评价是对教学活动的价值进行判断的一种活动，适时的评价，可以调动学生的主动性、积极性，激发每个人的成就感以及诊断学生在学习上存在的困难和问题等。不同学习程度的学生都应该给予相应的科学评价，使学生的学习获得情感上的支持，方向上的确立。8.注重学生成长的全面性《数学课程标准》指出：“作为教育内容的数学，有着自身的特点与规律，它的基本出发点是促进学生的发展。”素质教育是一种全面贯彻教育方针，面向全体学生，使学生全面发展的教育。因此，在数学学习过程中，关注每一个学生在思维能力提高的同时也要关注情感态度等方面上的积极发展，教师可以结合教学内容，联系生活实践，选择一些富有教育意义，形象生动，有说服力的数据、统计材料以及数学史对学生进行教育，以增强良好的思想品德教育和心理素质的培养。9.改善数学教学方式学生是数学学习活动的主体，思考是其本质性的特点。因此，改善数学课堂中的教学方式是一项重要的任务。我们要密切联系学生生活实际，从学生熟悉的生活情境和感兴趣的事物出发，为他们提供观察、操作、实践探索的机会，使他们有更多的机会从周围熟悉的事物中学习数学和理解数学，体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，体验到数学的魅力。（1）结合学生生活实际，合理选组教材，创设愉悦自主探究的情境，极力培养学生运用数学思想来看待实际问题的意识和充分调动学生主动解决实际问题的积极性。（2）注重实践活动，提供实践时空，切实提高实践实效，在逼真的问题情境展示中展开自主探究的过程。（3）创设生活化的数学情境，启发学生的思维，鼓励学生大胆猜测，勇于质疑，在自主参与、合作探究中拓展思路，不断享受成功的体验，感受创造过程中的无限乐趣。（4）在激发兴趣中，给学生创造自主探究的空间。（5）在合作学习中，给学生创造自主探究知识的空间。（6）在动手探究中，给学生创造创新发展的空间。总之，在课程改革的浪潮中，教师要把学习思考的主动权交给学生，给学生创造一个广阔的自主探究知识的空间，为“要我学”转化为“我要学”的自主探究学习模式打下扎实的基础。10.改变学生的学习方式中小学数学教学是引领学生们初步进入数学的殿堂。对学生们的数学学习有着至关重要的影响。《数学课程标准》指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”随着课改的进一步深入，我们必须要改变学生的学习方式，优化教学方法。11.注重教学手段的优化不同的课程有不同的教学手段，不同的教师对于不同的教学手段有不同的认知。国内外关于教学手段的讨论是非常丰富的。俗话说教无定法，因材施教，因人施教。针对不同的课程、不同的学生应该使用不同的，多元的教学手段。在现代化信息时代要更注重网络平台的使用，教与学不仅仅局限于教室、课堂。我们可以使用网络通信平台的帮助，以达到多元化的辅导手段、教学手段。给学生留有自己的通信语音平台，让学生敢问、能问、爱问，让教师真正地走近学生，了解学生的问题、了解学生的学习情况。数学的学习，数学素养的培养不是一朝一夕的，它需要我们在长期的实践不断修正我们的教学观念、教学手段，充分调动学生的学习主动性与发挥教师的主导作用相结合，通过生动、有趣的学习情境，激发学生的学习动机，启发学生动脑、动口、动手，引导学生探索发现，注重学生的个别差异，采用多样化的教学策略。12.选用灵活多样的教学模式（1）常用的数学教学模式数学教学模式是教学理论与数学教学实践的“中介”，一定的教育观念通过选择、调整教学模式才能体现，才能指导实践。它既是教学基础理论的具体化，也是教学具体经验的概括化。教学模式对教学的理论和实践都有指导作用，能够结合具体的教学实践的简化形式表述一种教学理论或思想，便于教师掌握，并能具体应用于自己的教学中。同时，能帮助教师预见教学活动所预期的效果，提供给教师达到预期教育目标所需的各种教学条件和实施教学的程序，指导教师开展教学活动，使得教学要素的功能得到充分发挥等。所以，教学模式的核心是教学思想指导下的教学过程（主要是教学程序）。在长期的数学教学研究和数学教学实践中，人们依据一定的教学理念和教学实践经验，构建了一系列的数学教学模式。常用的数学教学模式有五种基本形式：讲练结合模式、自学辅导模式、引导探究模式、讨论交流模式、复习总结模式。第一种：讲练结合教学模式讲练结合教学模式是一种传统的数学教学模式，最基本和最常用而且用得较多的数学教学模式。就是教师通过典型的数学范例进行讲授，传授系统的数学知识、技能和方法，并让学生利用典型的数学练习题进行系统的训练，达到掌握数学知识、基本技能和数学能力的一种教学结构。采用讲练结合教学模式较易把握课堂教学进度，能有序地组织数学教学活动，增大数学教学容量，深受许多数学教师的欢迎。讲练结合教学模式已演化成多种形式，如多讲多练模式、精讲多练模式、精讲精练模式、讲讲—议议—练练—评评的模式等。讲练结合教学模式的过程包括以下五个阶段：①复习引入；②讲解新课；③巩固练习；④课堂小结；⑤布置作业。这种教学模式以传授数学基础知识、训练数学基本技能、培养数学基本能力为功能目标。讲练结合教学模式的特点是：以传授数学基本知识和训练基本技能为主，教学方式是教师讲解和提问，结合学生练习。教学组织形式以全班同步学习为主。第二种：自学辅导教学模式自学辅导教学模式是中国科学院心理研究所卢仲衡教授首先提出的，即学生在教师的指导和辅导下，进行自学、自练和自改作业，获得书本知识、发展能力（特别是自学能力），以实现教学目标的一种教学模式。教学中教师的作用主要体现在启发指导、督促检查、辅导提高等方面。自学辅导教学模式将整个教学过程分为四个阶段：①领读阶段；②启发自学；③自学辅导阶段；④独立自学阶段。自学辅导教学模式把教学重点放在引导学生自学上，使学生主动获得知识和发展能力的同时，注意个性的差异。能够更好地调动学生学习的主动性和积极性，更有利于培养学生自主学习的能力，教师在教学中的主导作用也能够较好地得到发挥，所以有利于教学质量的提高。第三种：引导探究教学模式引导探究教学模式是一种新型的教学模式，探究式教学模式的运用是基础教育课程改革的需要，是时代发展的迫切要求。问题探究式教学、实验探究教学、活动探究式教学、课题学习、研究性学习等均属于引导探究的教学模式。引导探究教学模式是在教师的指导下，学生在探究情境采用实验、观察、分析、类比、归纳等方法，进行探究学习活动，发展探究能力，培养科学态度、建构自己的数学认知结构。引导探究教学模式的教学过程包括五个阶段：①问题情境；②提出猜想；③共同验证；④总结概括；⑤拓展练习。引导探究教学模式的特点是：依据发现学习和建构学习理论，教师创设探究情境，引导学生运用探究方法，让学生主动探究、发现问题，提出猜想、验证猜想，总结规律，理解数学知识，形成数学技能，拓展知识和应用，构建自我的知识体系，并激发学习兴趣，提高创新能力，培养科学精神，实现数学教学目标。第四种：讨论交流教学模式讨论交流教学模式是将整个班级分为若干小组，针对某个数学学习主题，在深入思考的基础上展开讨论，平等交流，发表各自的意见，提出不同的看法、观点，分析自己的思考方法，展示多种多样的数学思维方式的过程。讨论交流的教学模式适合于对数学知识的理解，数学方法的运用，数学问题的分析、综合以及数学结果的评估。小组讨论式数学学习、基于网上的数学协作学习、小组辩论、小组数学竞赛等均属于讨论交流的教学模式。讨论交流教学模式的教学过程包括四个阶段：①确定目标，布置任务；②呈现内容，创设情境；③讨论交流，形成共识；④总结应用，实现目标。讨论交流教学模式的教学目标是：通过讨论交流，增强学生的合作精神，学会处理人际关系，增强反应速度和沟通能力，提高学生语言表达能力；让学生在对信息的交流和讨论中构建数学意义，掌握数学的基础知识，学会数学地思维，形成良好的数学情感态度与价值观。第五种：复习总结教学模式复习总结教学模式是指通过提问思考、归纳总结、综合运用等形式对数学的基础知识、基本技能以及基本方法进行有针对性的、系统性的、综合性的教学、达到基础知识系统化、基本技能自动化、基本方法熟练化的目标。一般地，学习完一章、一单元，或半学期、一个学期结束后，都要安排时间进行复习。复习总结教学模式是数学课堂教学中常用的一种模式。复习总结教学模式的教学过程包括四个阶段：①信息提取；②思考重建；③综合运用；④反思提高。采用复习总结教学模式时，既要注意数学复习的目标性，增强复习的针对性，提高复习的效果，也需要注意加强知识的概括性、系统性，提高学生数学知识、方法综合运用的能力；同时，要注意复习时习题、问题的典型性，举一反三，也要注意习题、问题的多样性、层次性，增强学生的数学思维能力，最终使学生达到运用知识、提高技能、掌握方法的目标。（2）新课程要求的教学模式新课程标准的核心理念是：在数学教育中落实“以学生的发展为本”，通过数学教育，应当使学生在数学的知识、思维、方法以及理性精神等方面得到发展，强调“课程功能单纯注重传授知识转变为体现引导学生学会合作、学会生存、学会做人”。新课程标准要求教师树立“以学生为本”、“以教师为主导”的理念，教师应扮演导的角色，学生才是舞台的主角。新课程倡导学生的自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等教学方式，充分发挥学生的主动性，使其形成积极主动的学习态度，让学生体验数学家发现和创造的过程，进一步发展他们的创新意识。新课标还注重提高学生的数学思维能力，注重学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考并做出判断，也注重学生理性思维的形成。在注重“双基”形成的同时，更要体现数学的文化价值以及与信息技术的整合，适度的形式化，突出内容的问题性，思想性以及联系性。新课程标准确立了学生的学习主体地位，既然学生是学习的主体，教师就应该把课堂还给学生，随即要解决的问题就是“如何把课堂还给学生”？如何引导组织全体学生进行有序高效的课堂自主学习？要解决这些问题，教师就应该重点研究学生的学习心理、行为和学习方法，真正读懂学生，来创造科学合理的教学模式。教学模式是教学理论的研究，在不同程度上解决了长期以来人们一直探讨、试图实现如何将教学理论真正变成为教学实践的指南，以及如何丰富成熟的教学经验来完善教学理论等一系列重大问题，是当代教学论研究发展过程中的一个重要的综合性的问题。要更好地实施新课程，教学模式应具有以下共同的特点：主张以发展学生的智力、能力为主要宗旨，突出教师的主导性与学生主体性有机结合，重视非认知因素在教学中的作用，特别是关注学生情感态度因素的作用，把实验探究、实践能力与理性思维训练结合起来，善于将各种先进的数学教学方法、教学手段进行优化组合并综合运用，从而提高数学教学效率。数学教学过程设计是对教学模式的超越、改造和再创新的过程，必须根据具体教学的条件或情况灵活调整、形成适合教学实际的“变式”，不断变化才是教学设计的本质。“教学有模，但无定模”，从发展的眼光来看，突破教学模式，实现无模式教学，这才是数学教学发展所追求的崇高境界。13.促进数学知识理解的主要途径（1）重视直观学习（2）保证学生具有理解新知识所必需的知识基础（3）加强对比分析（4）使知识系统化14.促进中小学数学知识的保持、迁移和应用（1）中小学数学知识的保持数学知识的保持就是对已经学习过的数学知识的存储记忆。我们平时的记忆的过程如下图所示：记忆规律在数学教学中的运用：①明确记忆的目的和任务；②使学生理解所记忆的内容并加以系统概括；③合理安排练习和复习，增强记忆的清晰性；④借助直观形象和语言的作用加强数学记忆；教给学生记忆的方法，提高记忆的效率：理解记忆法、图像记忆法、类比记忆法、系统记忆法、分类记忆法、逻辑记忆法、重点记忆法（或称选择记忆法）、模式、口诀记忆法；⑤在发展中巩固知识。（2）中小学数学知识的迁移学习迁移是指：“一种学习对另一种学习的影响。”这种影响既有促进作用，也有干扰作用，即既有正迁移，也有负迁移。从迁移的方向来说，既有顺向迁移，也有逆向迁移。正迁移与负迁移根据迁移的性质或效果分正迁移与负迁移。一种学习对另一种学习起促进作用叫正迁移，如学习好平面几何有助于学好立体几何。一种学习另对一种学习起干扰作用叫负迁移。如学习了公式：m(a+b)=ma+mb之后，便错误地认为：lg(a+b)=lga+lgb顺向迁移与逆向迁移根据迁移的方向分为顺向迁移与逆向迁移顺向迁移是指先前学习对后继学习发生的影响，例如，先学了骑自行车，再学开摩托车要容易一些；逆向迁移是指后继学习对先前学习发生的影响。迁移规律在数学教学中的运用：①确立明确、具体、现实的教学目标；②合理组织教学活动，加强新旧知识之间的联系；③揭示新旧知识的相同因素与不同因素；如果刺激改变，反应不变，产生正迁移；如果刺激类似，反应改变，产生负迁移；④强调数学知识的系统性，提高数学知识的概括水平；⑤注重规律，教会学生如何学习。（3）中小学数学知识的应用输入阶段实质上就是给学生提供新的数学信息和新的学习内容，并创设有利于学生观察、思考、分析、辨别和抽象、概括的情境。在学生具备了学习的需要和一定的知识准备之后，当新的学习内容输入后，数学学习便进入相互作用的阶段。这时学生原有的数学知识结构与新的学习内容之间就发生相互作用。相互作用的基本形式有两种：同化和顺应。同化所谓同化，就是利用自己已有的数学认知结构，对新学习的内容进行加工和改造，并将其纳入到原有的数学认知结构中去，从而扩大原有的数学认知结构。顺应所谓顺应，就是当原有的数学认知结构不能接纳新的学习内容时，必须对原有的数学认知结构进行调整和改造，以适应新的学习内容的需要。操作运用阶段是运用在相互作用阶段形成的新的数学认知结构去解决问题的过程。这里的操作指智力活动，也就是数学思维活动，操作的主要形式是学生解决数学问题，是学生利用习得的知识，通过解决数学问题，使新的知识完全融入到原有的数学认知结构之中，形成完善的认知结构的过程。这一阶段的主要任务就是要使刚刚产生的数学认知结构趋于完善，达到预期的教育目标。通过这一阶段的学习，学生的能力将会得到进一步的发展。数学知识的应用是很复杂的心理活动过程，需要实行几个步骤来完成：首先是审题，需要根据已有的知识来了解题目的知识点，需要原有的什么知识来解答；然后联想环节，通过大脑的表象展开，找到相关的，有用的知识；其次要将大脑中的知识分类，找到类似的知识；再次就是通过口头或者书面表达出解决方法或者结果，最后通过验证，计算结果等。15.中小学数学学习可分三类进行第一类：知识的学习；（包括：概念的学习，规则的学习）第二类：技能的形成；第三类：情感、态度的建立与改变。（1）数学概念的学习方式①概念的形成从具体的过程来分析，概念的形成，实际上就是，用归纳法进行推理，从观察到的一些事实中概括出有关的一类事物的共同点，得出一般规律的过程。可以细化为如下几个阶段：形式化…………用符号表示概括…………形成概念检验…………确认抽象………………本质属性或关键属性类化…………共同属性分化…………各种属性辨别…………刺激模式②概念的同化所谓数学概念的同化，实际上就是利用学生已有的知识经验，以定义的方式直接向学生揭示数学概念的本质的过程。在教学条件下，数学概念的同化一般包括如下几个基本过程：揭示概念的本质属性，给出定义、名称和符号↓对概念进行特殊的分类，再讨论这个概念表达的各种特殊情况，突出概念的本质↓建立与原认知结构中的有关概念的联系，同化新学习的概念↓用肯定和否定例证强化（辨认）↓实际应用强化概念，并把所学的概念纳入到相应的概念系统中如果说概念的形成主要依靠的是对具体事物的概括的话，那么，概念的同化则主要依靠的是学生对经验的概括和新旧知识之间的联系。（2）数学命题的学习方式数学命题学习的主要方式：①数学命题发现学习②数学命题接受学习数学命题学习的阶段①命题获得②命题证明③命题应用数学命题的教学策略数学内容是通过定义、定理、公式、法则等形式表现出来的，在中小学数学学习中，定理、公式、法则占有很大的比例。因此，应重视数学命题的教学。数学命题教学要抓住命题的发生、推证和应用三个基本过程。第一，重视命题的发生过程在进行命题教学时，应提出一些富有情节又富有思考性的问题，让学生思考来突出命题发生的过程。此外，数学命题的提出和引入，最好能体现出它在数学认知结构中的地位，揭示出它与原有知识的联系。从原有知识结构出发提出新课题，是命题引入的最佳方案。第二，突出命题的推证过程突出命题的推证过程，就是要突出证明思路的探求、数学思想和数学方法的掌握，这样就抓住了命题教学的重点。第三，注意总结命题应用的规律学习的目的全在于应用。在数学教学中，要引导学生注意不断地总结每个定理、公式、法则的主要用途，探索应有的规律。这样做，既可以加深理解，又可以使所学的定理、公式、法则条理化、系列化。①注意定理、公式、法则成立的条件，

明确使用范围数学中的定理、公式、法则反映了数学对象的属性之间的关系，任何一个数学定理、公式和法则总是在一定条件下才能使用的。忘了条件，就有可能