甘肃省西北师大附中2024届数学高三上期末质量检测试题含解析

甘肃省西北师大附中2024届数学高三上期末质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的右焦点为F，过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．+12．tan570°=（）A． B．- C． D．3．已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．4．设，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，，则.其中正确的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④5．设i为数单位，为z的共轭复数，若，则（）A． B． C． D．6．已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为A． B． C．2 D．7．设等差数列的前项和为，若，则（）A．10 B．9 C．8 D．78．若函数满足，且，则的最小值是（）A． B． C． D．9．如图，四边形为平行四边形，为中点，为的三等分点（靠近）若，则的值为（）A． B． C． D．10．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（）.A． B． C． D．11．设全集，集合，，则集合（）A． B． C． D．12．观察下列各式：，，，，，，，，根据以上规律，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．记为等比数列的前n项和，已知，，则_______.14．在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为，函数的图象经过该三角形的三个顶点，则的解析式为___________.15．已知数列为等比数列，，则_____.16．如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则的值为____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）健身馆某项目收费标准为每次60元，现推出会员优惠活动：具体收费标准如下：现随机抽取了100为会员统计它们的消费次数，得到数据如下：假设该项目的成本为每次30元，根据给出的数据回答下列问题：（1）估计1位会员至少消费两次的概率（2）某会员消费4次，求这4次消费获得的平均利润；（3）假设每个会员每星期最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件的概率，从会员中随机抽取两位，记从这两位会员的消费获得的平均利润之差的绝对值为，求的分布列及数学期望18．（12分）已知矩阵，且二阶矩阵M满足AMB，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.19．（12分）如图1，与是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，，，连接是边上一点，过作，交于点，沿将向上翻折，得到如图2所示的六面体（1）求证：（2）设若平面底面，若平面与平面所成角的余弦值为，求的值；（3）若平面底面，求六面体的体积的最大值.20．（12分）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，、分别为、中点．（1）求证：；（2）求二面角的大小．21．（12分）如图（1）五边形中，,将沿折到的位置，得到四棱锥，如图（2），点为线段的中点，且平面.（1）求证：平面平面；（2）若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值.22．（10分）已知函数（1）当时，若恒成立，求的最大值；（2）记的解集为集合A，若，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

以为圆心，以为半径的圆的方程为，联立，可求出点，则，整理计算可得离心率.【详解】解：以为圆心，以为半径的圆的方程为，联立，取第一象限的解得，即，则，整理得，则（舍去），，.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.2、A【解析】

直接利用诱导公式化简求解即可．【详解】tan570°=tan（360°+210°）=tan210°=tan（180°+30°）=tan30°=．故选：A．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题.3、D【解析】

利用抛物线的定义，求得p的值，由利用两点间距离公式求得，根据二次函数的性质，求得，由取得最小值为，求得结果.【详解】由抛物线焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，所以抛物线方程：，设，圆，圆心为，半径为1，则，当时，取得最小值，最小值为，故选D.【点睛】该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目.4、C【解析】

根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.【详解】解：①：、也可能相交或异面，故①错②：因为，，所以或，因为，所以，故②对③：或，故③错④：如图因为，，在内过点作直线的垂线，则直线，又因为，设经过和相交的平面与交于直线，则又，所以因为，，所以，所以，故④对.故选：C【点睛】考查线面平行或垂直的判断，基础题.5、A【解析】

由复数的除法求出，然后计算．【详解】，∴．故选：A.【点睛】本题考查复数的乘除法运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键．6、B【解析】

求得直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得两点坐标的关系，根据列方程，化简后求得离心率.【详解】设，依题意直线的方程为，代入双曲线方程并化简得，故，设焦点坐标为，由于以为直径的圆经过点，故，即，即，即，两边除以得，解得.故，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.7、B【解析】

根据题意，解得，，得到答案.【详解】，解得，，故.故选：.【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.8、A【解析】

由推导出，且，将所求代数式变形为，利用基本不等式求得的取值范围，再利用函数的单调性可得出其最小值.【详解】函数满足，，即，，，，即，，则，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立.，由于函数在区间上为增函数，所以，当时，取得最小值.故选：A.【点睛】本题考查代数式最值的计算，涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.9、D【解析】

使用不同方法用表示出，结合平面向量的基本定理列出方程解出．【详解】解：，又解得，所以故选：D【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．10、B【解析】

求出在的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案.【详解】当时，，，，又，所以至少小于7，此时，令，得，解得或，结合图象，故.故选：B.【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.11、C【解析】∵集合，，∴点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.12、B【解析】

每个式子的值依次构成一个数列，然后归纳出数列的递推关系后再计算．【详解】以及数列的应用根据题设条件，设数字，，，，，，，构成一个数列，可得数列满足，则，，．故选：B．【点睛】本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

设等比数列的公比为，将已知条件等式转化为关系式，求解即可.【详解】设等比数列的公比为，，.故答案为:.【点睛】本题考查等比数列通项的基本量运算，属于基础题.14、【解析】

结合题意先画出直角坐标系，点出所有可能组成等腰直角三角形的点，采用排除法最终可确定为点，再由函数性质进一步求解参数即可【详解】等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点，其中点与已有的两个顶点横坐标重复，舍去；若为点则点与点的中间位置的点的纵坐标必然大于或小于，不可能为，因此点也舍去，只有点满足题意.此时点为最大值点，所以，又，则，所以点，之间的图像单调，将，代入的表达式有由知，因此.故答案为：【点睛】本题考查由三角函数图像求解解析式，数形结合思想，属于中档题15、81【解析】

设数列的公比为，利用等比数列通项公式求出，代入等比数列通项公式即可求解.【详解】设数列的公比为，由题意知，因为，由等比数列通项公式可得，，解得，由等比数列通项公式可得，.故答案为：【点睛】本题考查等比数列通项公式；考查运算求解能力；属于基础题.16、【解析】

由已知可得到圆锥的底面半径，再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.【详解】设圆锥的底面半径为，体积为，半球的体积为，水（小圆锥）的体积为，如图则，所以，，解得，所以，，，由，得，解得.故答案为：【点睛】本题考查圆锥的体积、球的体积的计算，考查学生空间想象能力与计算能力，是一道中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）22.5（3）见解析，【解析】

（1）根据频数计算频率，得出概率；（2）根据优惠标准计算平均利润；（3）求出各种情况对应的的值和概率，得出分布列，从而计算出数学期望．【详解】解：（1）估计1位会员至少消费两次的概率；（2）第1次消费利润；第2次消费利润；第3次消费利润；第4次消费利润；这4次消费获得的平均利润：（3）1次消费利润是27，概率是；2次消费利润是，概率是；3次消费利润是，概率是；4次消费利润是，概率是；由题意：故分布列为：0期望为:【点睛】本题考查概率、平均利润、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．18、特征值为1，特征向量为．【解析】

设出矩阵M结合矩阵运算和矩阵相等的条件可求矩阵M，然后利用可求特征值的另一个特征向量.【详解】设矩阵M＝，则AM＝，所以，解得，所以M＝，则矩阵M的特征方程为，解得，即特征值为1，设特征值的特征向量为，则，即，解得x＝0，所以属于特征值的的一个特征向量为．【点睛】本题主要考查矩阵的运算及特征量的求解，矩阵运算的关键是明确其运算规则，侧重考查数学运算的核心素养.19、（1）证明见解析（2）（3）【解析】

根据折叠图形，，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据平面，得到.（2）根据，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，根据，可知，，表示相应点的坐标，分别求得平面与平面的法向量，代入求解.设所求几何体的体积为，设为高，则，表示梯形BEFD和ABD的面积由，再利用导数求最值.【详解】（1）证明：不妨设与的交点为与的交点为由题知，，则有又，则有由折叠可知所以可证由平面平面，则有平面又因为平面，所以....（2）解：依题意，有平面平面，又平面，则有平面，，又由题意知，如图所示：以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系由题意知由可知，则则有，，设平面与平面的法向量分别为则有则所以因为，解得设所求几何体的体积为，设，则，当时，，当时，在是增函数，在上是减函数当时，有最大值，即六面体的体积的最大值是【点睛】本题主要考查线线垂直，线面垂直，面面垂直的转化，二面角的向量求法和空间几何体的体积，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.20、(1)证明见解析；(2)60°.【解析】试题分析：（1）连结PD，由题意可得,则AB⊥平面PDE，；（2）法一：结合几何关系做出二面角的平面角，计算可得其正切值为，故二面角的大小为；法二：以D为原点建立空间直角坐标系，计算可得平面PBE的法向量．平面PAB的法向量为．据此计算可得二面角的大小为.试题解析：（1）连结PD，PA=PB，PDAB．，BCAB，DEAB．又，AB平面PDE，PE平面PDE，∴ABPE．（2）法一：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC．则DEPD,又EDAB，PD平面AB=D，DE平面PAB,过D做DF垂直PB与F，连接EF，则EFPB，∠DFE为所求二面角的平面角，则：DE=，DF=，则，故二面角的大小为法二：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC．如图，以D为原点建立空间直角坐标系，B(1，0，0)，P(0，0，)，E(0，，0)，=(1，0，)，=(0，，）．设平面PBE的法向量，令，得．DE平面PAB，平面PAB的法向量为．设二面角的大小为，由图知，，所以即二面角的大小为.21、（1）见解析（2）【解析】试题分析:（1）根据已知条件由线线垂直得出线面垂直,再根据面面垂直的判定定理证得成立;（2）通过已知条件求出各边长度,建系如图所示,求出平面的法向量,根据线面