2022年江苏省连云港市普通高校对口单招高等数学二自考真题(含答案及部分解析)

2022年江苏省连云港市普通高校对口单招

高等数学二自考真题（含答案及部分解析）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.若f(x)的一个原函数为arctanx,则下列等式正确的是

A.A.Jarctanxdx=f(x)+C

BJf(x)dx=arctanx+C

C.Jarctanxdx=f(x)

D.ff(x)dx=arctanx

2.设y=f（x）二阶可导，且f（l）=0,f'（l）＞0,贝必有

A.A.f⑴=0B.f⑴是极小值C.f⑴是极大值D.点（1,f（l））是拐点

函数/（X）在点人处有定义是/（J）在点工0处连续的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

3C,充分必要条件D既V2要七，,•昊什

，设二元函数z=sinCry),则手等于

4.3x

AA.zycos(xy2)

B-xyco^x^)

C~yzCOS(J：3»2)

Dy2cosCxy2)

z=Irirj+e，，则歙=

5.设函数8-V，则【】

A.l/2-2e2

B.l/2+e2

C.l+2e2

D.l+e2

Ar

设函数z=/(x,y)在点5,则)存在一阶偏导数，则空

6.bf()O

lim，5+3-/5)

A.&3Ar

5/(%+小,%)-/(%，%)

M3

C.酎一°Ar

S-Xo+Ax，％+»)-/(%•%)

Ax-*OAl

D.

7.曲线y=x£3在点(1,-2)处的切线方程为【】

A.2x-y-6=0B.4x-y-6=0C.4x-y-2=0D.2x-y-4=0

8.从9个学生中选出3个做值日，不同选法的种数是().

A.3B.9C.84D.504

9.下列函数在x=0处的切线斜率不存在的是

^=xe-*

A.A」

y-arctaru

B."

y=3x+l

V-•

「4

10.设f(x)=x(x+l)(x+2),则f"(x)=

A.A.6B.2C.1D.O

设函数Z=cos(h+/),则热U等F()

A・一2ycos(-r+y2)

R—2ysin(x+y2)

C.2ycos(jr+y2)

UD.2jsin(x+y2)

12.设y=f(x)二阶可导，且f'⑴=0,f〃⑴>0,则必有().

A.A.f(l)=OB.f⑴是极小值C.f⑴是极大值D.点(l,f⑴)是拐点

13.已知?(X)在区间(-8,+8)内为单调减函数，且?(x)>?(l),则X的取值

范围是().

A.(-oo,-1)B.(-oo,1)C.(l,4-oo)D.(-oo,+oo)

14.设u=u(x),v=v(x)是可微的函数，贝！)有d(uv)=

A.A.udu+vdvB.u'dv+v'duC.udv+vduD.udv-vdu

15.设f(x)=xe2(x-1),则在x=l处的切线方程是0。

A.3x-y+4=0B.3x+y+4=0C.3x+y-4=0D.3x-y-2=0

若f(x)的一个原函数为arctaiu,则下列等式正确的是

A.jarctanxdx=/(x)+CB.J/(x)dx=arctanx+C

jarctanxdx=/(x)D.jf(x)dx=arctanjc

17.

设z=e"2,则空=

dXCl.r)

A.0B.1C.eD.e1

18.

当x->0时，sin(3H+±z)与x比较是

A.较高阶的无穷小量

B.较低阶的无穷小量

C.等价无穷小量

D.同阶的无穷小量

设z=e",贝i]dz=

A.e"dxB.(xdy+ydx)e"

C.xdy+ydxD.(x+y)eq

19.

20.

设函数/(x)=U曾;”.则z=1点是/(x)的间断点.

设函数人幻在区间(a,6)内满足/(x)>0且y*(z)VO,则函数在此区间内是

A.单调减少且凹的B.单调减少且凸的

C.单调增加且凹的D.单调增加且凸的

22设函数z=m(xy),则;j=()人T

C.XY1

D.l/xy

设r«r*cosy.则真在等于(

B.一—cosy

24.设随机变量?取非负整A为值.且P(£-A}-&.则£的数学期望E(»-

A.A.-1B.0C.1D.2

25设函数/(!》=忆一八十？(工会。)则/(工)等于()

4Z7TT

A.A..■

26.函数f(x)在点xO处有定义，是f(x)在点xO处连续的()。

A.必要条件，但非充分条件B.充分条件，但非必要条件C.充分必要条

件D.非充分条件，亦非必要条件

28.

设函数在x=l处可导，且

l

lim/(l+3^)-/(l)=

Ax-0△①0

则等于

A-1R1

CJ—4—

设D为一—2,则J%等F

D()

A.心R：

B.2knR-

C.17rH

29【),2世代々

函数y=，尸指+ln(z—4)的定义域是

JU・

AA<0»4]

A.A.」

B.(l，4]

C.(】，4)

D(1,4-00)

二、填空题(30题)

31.已知P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(B|A)=0.5,则P(A+B)=o

32.

/G)M(上一人)FU)其中6力可导.则，(心)二()

A

-°R职才。＞C.^(xB)D.8

「■[dr=_____________.

33.“x

34.设y=J2彳-公,则dy=.

35.函数曲线y=xe-x的凸区间是_______。

36.

设z=f(“，v),“=e",v=ln(x2+y2),/是可微函数，贝4生=____________.

dx

设£=-rtlnj,-Inyl则.

37

38.曲线y=2x2+3x-26上点M处的切线斜率是15,则点M的坐标是

39.

x2+2x-F5dx=----------------

urn-：--------=______________.

x*2x-x+2

40.

41若人1)=2工+3,8(工＞=6工+人.且兀弁(M)］：!=g［八工)］，则氏=.

42.

设在(a,6)内的曲线弧是上凹的(或凹的，下凸的)，则曲线弧必位于其每一点处

的切线方.

43.曲线y=ln(l+x)的垂直渐近线是。

44.

若士巴(1+/)'=2,则常数4=

Ae，B.石C.ln2D.-ln2

45.当f(0)=时，f(x)=ln(l+kx严x在x=0处连续.

lim.二要户=_________

46.7*-3

设z=/(x2+y2)»则y江~x^~~~________________•

47.°xdy

设lim(l+-)ta=e-3,则k=______________.

48.i"”

49.设函数y=xsinx,则y"=.

50.

3sinx+j-,co5—

极限1imTT————，/J、=

,-C(I+coax)•ln(I4-x)

A.3C.OD.不存在

函数v=ln(arcsinx)的连续区间为_______.

广=—»则0=_______________.

52.L1+厂4

53设y罟器，则"一

54.

曲线y=2/+3x-26上点M处的切线斜率是15,则点M的坐标是

55.

Jx->11+x2dX__________________

56.

lim(l+cosz)'e=.

T

设=2,贝ijlim^^=______________.

i*/(3x)iox

57.

58.

设事件A与8相互独立，且P(A)=0.4,P(A+8)=0.7,则P⑻=

若z=ln(z+l”),则瓢-------,省----------

当x-0时,函数/(*)与sinx是等价无穷小盘，则Iim4^=

OU.•-osmr-------------

三、计算题(30题)

求微分方程,=工十一皿的通解

61.cosy

求极限+

62.

求it分方程/=I+1满足y(0)-2,/(0)=0,/(0)=I的特X.

63.

64求微分方程y”一2/一3yh'的通解.

65.求函数f(x)=x3・3x+l的单调区间和极值.

66.求函数f(x)=x3-3x-2的单调区间和极值.

求不定积分

67.

求不定班分x-arctatirdr.

Oo.

求极限岬/宇

69.

计算「工业力,其中。为圄/+式=1及，+y?=9所围成的环形区域.

70.%

7

求J：/(H)dx,其中/(X)TTP'o=G・

71.工+1・1<XC2.

rcif•算定机分［Hnxdz.

72.

73计算J：二厂,drdy,其中［)是由直线y=x,2y=J■及r=1图成的区域.

74求Jsin(lnjr)djr.

75.设函数ynx'cosx,求dy

求「一^—

76.JV7(i+x>

士fsinx,

77,求JFT而产

78.

已知二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解分别为y,=sin2r.y?=COB2Z.求相应

的微分方程.

79.已知函数?=ar=inxj匕黑，求患」

1+«r*・“4(>♦p

设函数八・)求/(x-2)(Lr«

80.。一,.X>0・」'

81.①求曲线y=x2(x>0),y=l与x=0所围成的平面图形的面积S：

②求①中的平面图形绕Y轴旋转一周所得旋转体的体积Vy.

82.

求微分方程2/+5,=5/—2］一1的通解.

83.

计算定积分|，2+2cos2zdz.

84.

r(1—

求极限lim—

L。XX

85.

计算不定积分［上^27TTdx.

86.

求lim/—•--1\

87..㈠**-1/

计算不定枳分/=|旺号L=21r.

88.

89.求函•府的导唬.

90」典（告一年）•

四、综合题（10题）

过点作拗物线尸口/厂下的切线，该切畿与上述抛物线及/轴网成-平面图

91.杉,求此图R说I轴上转-冏一版的皆咕体的体枳

92.求由曲线V=和直线1=2所圉成的图形舞/轴旋转所得旋转体体积.

&/（x）*［«.*］上连续.存在mM两个常数.且淌足4风历明，恒科

93.m（xi-xi></（x,）-f（xt><M（x,-x,>.

94.

求由曲线y=/与直线1=1.i=2及丫=0围成平面图形的面枳5以及该图形烧

，轴旋转•周形成的旋转体的体积.

95.讨论函数八］）H3J-X'的单调性.

96.求曲线，=（工一1）万的凹凸区间及拐就

97.

一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去，当月

租金每增加100元时•就会多一套公寓租不出去.而租出去的公寓每月需花费200元的维修

费.试问租金定为多少可获得最大收入"最大收入是多少？

巳知曲线y=a6（a>0）与曲线y-ln/7在点（工。~。）处有公切线,试求i

（1）常数a和切点（了。，.）：

98.（2）两曲线与1轴图成的平面图形的面积S.

求函数v=「（/-1）”一2>山的单调区间及极值•

99.八

100求函数y=我的单调区间和极值.

五、解答题（10题）

ini（本题满分8分）计算fjjd-

1U1.J1+工

102.

设函数y=（cotr）十，求y.

103.

求由抛物线》=1一"及其在点（1,0）处的切线和y轴所围成的平面图形的面

积.

104.

设丁=2x3arccosj:+（x2—2）八一罡，求d»

105.证明:当x>l时，x>l+Inx.

106.

107.已知袋中装有8个球，其中5个白球，3个黄球.一次取3个球,

以X表示所取的3个球中黄球的个数.

⑴求随机变量X的分布列;

⑵求数学期望E(X).

0123

设随机变量4的分布列为£

P0.20.3

(1)求常数a

(2)求儆的分布函数尸(x).

liUno«o

109.

做一个如卜图所示的角铁架子，其底为等腰三角形的底边，底

边长为6m、架f总高为5m,试求所用角铁为最少时，三根用铁的长度各为多少？

110.

设求证"*+g需=°・

六、单选题（0题）

J（si吟+l）dx=

c4九八

A.-cos-+x+CB・一一cos-+x+C

4n4

C.xsin—+1+CD.xsin—+x+C

111.44

参考答案

根据不定积分的定义，可知B正确。

2.B

3.A

4.D

5.B

注也可先将t=1代入，则z=hv+e>项摩=2+巴所以生=《+/.

<1.>)dyydy<i.<>2

6.B

由二元偏导数的定义解析式

dz_Jjm%)一/(Xo,%)

dxE°zwAx

可知应选B.

因y=V-3,所以y'=4H)于是曲线,在点(1,-2)处的切级的斜率k=y'=4,从而将切

Z-I

线方程:y+2=4(]-1),理4工一)-6=0,

8.C

9.D

1O.A

因为f(x)=x3+3x?+2x,所以f'"(x)=6。

11.A

12.B

根据极值的第二充分条件确定选项.

13.B利用单调减函数的定义可知：当？(x)>?(l)时，必有x<l.

14.C

由乘积导数公式妁叱=“卬+门、

dx

有d(i/v)=v(w'dx)+w(v'dx).即d(uv)=udv+vdu.

15.D

因为f'(x)=(l+2x)e2(x-1),f'(D=3,则切线方程的斜率k=3,切线方程为

y-l=3(x-l),即3x-y-2=0,故选Do

［解析］根据不定积分的定义，可知B正确.

16.B

17.C

18.D

［解析］设“=即，则2=6“

_dz

=e"y=ye。

dudx

dzdu

=e"x=xe"

>dudy

所以dz="dx+"dy=ye^dx+xe-dy=e"(ydx+xdy),选B.

19.B»力

20.可去可去

21.D

22.A此题暂无解析

23.D

24.C

25.B

分析：用换元法求加设上

14

则有+一"三

4—/+1

・|u|

所以〃力=2一垄产•

26.A

函数f(x)在X0处有定义不一定在该点连续，故选A。

27.2

28.B

29.C

30.B

31.0.7

32.B

33.1/2

34.

【答案】应填小三

Jlx-x

【提示】求函数的微分常用的方法有两种：一种是先求出y',再写出dy=/dx;另一种方法

就是对等式两边直接求微分.读者应选择自己熟悉的方法解题.请注意：若填厂三不给分！

Jlx-x

35.(-oo2)

2x,

界叼：+人

x2+.y2

dzdzdudzdvdz„dz1

［解析JX2X

Tdx-=Tau-^d-x+dzv-dTx-=dzu-e^y+azv-xi+_y2

x+y，

36.

37.1/y

38.(31)

39.

1

—arctan+c

乙2十

1』1,x+1,八

(7+TFT4dj=yarctan-2-+c-

x2+2x+.x2+2x+1+4

£

2

1+-

海析】四会I1

lim-j-2^

2

*~2」+马

XX

40.

41.

42.±±

43.

44.C

lim/(x)=iimlnd+fcr)?=limln(1+fcr—ln(?"=km,.

45.mki……所以当

f(0)=km时，f(x)在x=0处连续.

■-xz-2-J^x4-3_..(x—>/3)2..x—>/3

1n

hm5=hm-----——-=hm=0.

..•^一3(x-V3)(x+V3)，5工+乃

46A.U

47.0

3

~2

【解析1因为lim(l+2)*"=iim(l+2)5"=e2"=e与

有2A=-3,所以A=」

48.2

49.2cosx-xsinxo

y'=sinx+xcosx>y"=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx

50.B

51.[01)

52.1

53.

1-sinZr

(3，1)

I解析］因为y=4x+3=15

解得x=3又><3)=2x32+3x3-26=1

故点M的坐标是(3,1)

54.v

55.

Jx>/1+x2dx=gjVl+x2d(l+x2)

如-A+C

o

9

［解析］令3“=2x,即“=§x,当x—>0时，u—>0,则有

211

u323

f(3u)

0.5

［解析］P(A+8)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P{B}-P(A)P(B)

0.7=0.4+P⑻-0.4尸(8)

得P(8)=0.5

58.

59.

I_—__—_1-1■—

x+lnj'z+lnyy

60.1

61.

方程两边同乘以cosy.则得cosy•_/=工+1—sin1y,即

"瞥+si”=i+l.

dx,

令〃=siny.则方程化为言+u=工+1.属线性方程,用求通解公式得

u=++C]

=e~[J(z+1)cJdj-+C]

=e-x[(x+De,-e*4-C]

=厂(11+C).

则原方程的通解为sin>=cXzY+C).

方程两边同乘以cosy•则得cosy•y'=工+1—siny,即

警M+siny=z+l.

djr

令“=siny.则方程化为,+“=n+1.属线性方程,用求通解公式得

u=e-k[J(H+】)ef击-FC]

=e-[J(z+1)eJdj+C]

=er[(z+De*—e*+C]

=c^(xex+C).

则原方程的通解为siny=e'(xe'+C).

62.

该题属于“8-8”型，我们用倒代换]=1让其产生分母，然后通分计算

之.

limx—j2lnp+/)1=—p-ln(1+r)"

lim言/」-----r=

r-*o2/(1-ht)2

该题属于“8一8”型,我们用倒代换J=1让其产生分母,然后通分计算

之.

(1+"=!唱/n(1+n；

=lim

-0/-

1-1

l+r

lim---；

l-*02i-

叫2/(14-/)=7-

63.

该题属于=/(工)型的微分方程,可通过连续积分求得通解•

对<=Z+1两边积分.得『=3>+x+G.将初始条件/(0)-1代入，得G

1.即

/=yJ1+1+1.

两边再积分.得V,=#+#+i+C’.将y'(0)=。代人.得Ci-0,即

£=甘+#+工

两边再积分.得y=1/+*+#+C,•将"0)=2代入.得C,-2.

故所求特制为

，=呆+*+犷+2.

该题属于=/(工)型的微分方程,可通过连续积分求得通解•

对<=Z+1两边积分.得『=3>+x+G.将初始条件/(0)-1代入，得G

1.即

/=yJ1+1+1.

两边再积分.得V,=#+#+i+C’.将y'(0)=。代人.得Ci-0,即

£=甘+#+工

两边再积分.得y=1/+*+#+C,•将"0)=2代入.得C,-2.

故所求特制为

，=呆+*+犷+2.

64.

相应的齐次方程为

y-2y'—3y-Qt

其特征方程为r*-2r-3=0.

得特征根为C=3.r,=-1.故齐次方程的通解为

1

y=Ce"+ae（C,,Ct为任意常数）.

由于自由项/（r）=«re'以=-1是特征单根.故可设原方程的特解为

y'=x（Ar+B）e-*,

将y•代人原方程,得

-8Ar+2A41i—x»

有—8A=1,2A-4B=0

得

故原方程的特M为

y

所以原方程的通解为

y=Ce"+Ce，一条（21+DeFC,£为任意常数）.

In

相应的齐次方程为

y9-2y,-3y=0.

其特征方程为r1—2r—3=0,

得特征根为n=3,r,=-1.故齐次方程的通解为

3=Ge"+C?e"C.G为任意常数）.

由于自由项〃工）=xef.A=-1是特征单根.故可设原方程的特解为

y'=x（Ar4-B）e**«

将y•代入原方程,得

-8Ar+2A_4B=x.

有-8A=1,2A—4B=0

故原方程的特制为

所以原方程的通解为

y=Ge*'+Ce---+De-（C,.C,为任意常数）.

t1n

65.函数的定义域为（-8,+oo）,且r（x）=3x2-3.

令r（X）=O,得驻点X1=-1,X2=l.列表如下:

X(-8,-1)-11(1.♦»)

/,(«)0-0

/U)为极大值/(1)="•为极小值

由上表可知，函数f(x)的单调增区间为(-8,-1］和［1,+oo),单调减区间

为［-1,1］；为1)=3为极大值31)=-1为极小值.

注意：如果将(-8,-I］写成(.00,-1),［1,+00)写成(1,4-00),［-1,1］写成

(-1,1)也正确.

66.函数的定义域为(-8,+00).

/,(*)=3xJ-3=0,Wx=±l.

列表如下：

(-«,-1)-!(-U)1"•♦8)

/,<«).0一0

/(X)、

为极大值为极小值

+00)；

函数f(x)的单调增区间为(心，-1),(1,单调减区间为(-1,1)0极

大值为f(-l)=0,极小值为f(l)=-4.

匣式=-y|arctan.rd(x:)

—arcs-1P,TT7dj

:j'arctanx一打(一七产

=-yxearctanx一得(《rarctanz)+C.

68.

匣式=-1-1arctanxd(x*)

arctaru--1P,圣加

arctanx一以（"击）业

--x*arctanx不(1arctanx)4*C.

2

2+2z3

原式=lim

1142J3

69.2G

2

2+2z£

原式=lim

1-Tro3

2G

70.

画出区域D如图所示.由积分区域的对称性及被积

函数关于丁轴和3,轴都是偶函数.故有

JJr'cLrd1y=4

T>/

其中DI为区域D在第一象限的部分.即

D：=（（i.y）I1&尸+式〈9.*20,了》0）.

利用极坐标变换.口可&示为0（84.故

(rcosd)2•rdr

=j'cold叫Pdr

«20j41+界％?

=20•:[6+|=5x.

因此，|Md”dy="J/d/dy=20x.

*o口

画出区域D如图所示.由枳分区域的对称性及被积

函数关于/轴和了轴都是偶函数•故有

其中口为区域D在第一象限的部分•即

D二(《，♦丁)I1&+«/49・，20,y30).

利用极坐标变换•他可表示为048&羡1&r<3•故

(rcosd)2•rdr

,□n

=arctane+——彳.

:/Cr)dx工J：+£Cr+1)&

=£(TT77<lj+(7x*+-r)l.

=arctane*|+f

_5_靠

=arclane+——彳・

原式=J

In.rd.r2

一刁:一同丁一心

=T,tl

=2ln2—yja'djr=21n2----j-x"

_3

72.=21n2~了.

原式=y|lnxdx:

=yInj-•x2|—jrz•—dj

=2ln2—fidz=2ln2--yT'

=2ln2-4.

4

0《工41,“y

区域D可表示为J1//

，口:|•差A一(i.D

则m竽dr%=J：dr［；手dy=(苧・j

=fys*nl,r<*-r

011

=--J(1—cos2i)djr

"T(J-79in2x)L

73.3n2.

0。41,ny

区域D可奏示为171

l(l.D

则［苧<岫=］啖苧力=J：苧.心

=£l8in，-rdj

°1«

=vlU-co52x)cLr

-l(x-lsin2x)|；

-l-|sin2.

sin(lnx)dxCxsin(lnjr)]|—Jxdsin(lnx)

=esinl-cos(ln.r)dj*

esinl-fJ-COS(Inx)]+jrdcos(Irtr)

=esinl-ecosl+1-Jsin(lnz)d.r.

sin(lnj*)d<r=­[e(sinl-cosl)+11.

74.

sin(lnx)d.r=Cxsindrw)]|^—Jxdsin(ln.r)

esinl-Jcos(lrkr)dj-

=esinl-[jcos(lnjr)]+jrdcos(lrur)

=esinl-ecosl+1-sin(lnx)d.r•

sin(likr)djr=­[e(sinl-cosl)+1].

75.因为y'=3x2cosx-x3sinx,所以dy=y,dx=x2(3cosx-xsinx)dx.

76.

令石=，，则工=/'•dLr=2tdt.故

X=\HTT7)d/=2f?T?=2arctan/+C=Zarctan/F+C.

令=，.则x=/?.dx=2tdt.故

......-......=f———.......dt=zf-■

v7(l+x)....................................J1+?=2arctanZ+C=2arctan/r+C.

被积函数分子分母同乘•得

siard-sinx)^=[碧jtan—Ar

1-mnJ*JcosxJ

(.£*4—f(3coix-1)d.

JcosxJ

1

sec2xdjr+

77.COSJ-=l/cosx-tanx+x+C

被积函数分子分母同乘(I-sinx),得

sirtr(1—sinr)tan1j-dj-

—1)dx

加

=l/cosx-tanx+x+C

78.

由于》=sinZx.yj=cos2x为二阶线性常系数齐次微分方程的特解,可知a=

0.6=2,即原方程有一对共腕复根r,=2i.r,=2i,因此对应的特征方程关

(r-2i)(r4-2i)=0,

即r14-4=0,

从而可知相应的微分方程为

+4y=0.

由于M=sin21.y?=cos2x为二阶线性常系数齐次微分方程的特解•可知a=

0,6=2,即原方程有一对共施复根n=2i.r,=2i,因此对应的特征方程为

(r-2i)(r+2i)=0,

即r1+4-0,

从而可知相应的微分方程为

y+4y=0.

79.

该题若求出导函数后再将才=0代人计算比较麻烦，下面利用导数定义计算.

/I-sinx

1

r(0>=lim3俨)221工lim匕［^=lim、仔亘=I.

…。E­。ioJC—ov14-sinx

该题若求出导函数后再将H=0代入计算比较麻烦.下面利用导数定义计算.

/I-sin.

Z(o>=lim9铲)必工lim烂亘].

i>x—uJ—。I=1li0mY1+sinx=

J/(1-2)dx=j/(/)d/

=j"/⑺<k+j'ja)dr

=j(11/)dr+feU《一」.人

80.令x-2=t那么：」-'0令，x-2=t,

■一2)±r=j'/CDcl/

=p/(nd/4-j,/(/)<!/

=j(1+H)dz+je'dr«——

那么：

81.①由已知条件画出平面图形如图阴影所示

②旋转体的体积

k"dy="dy=M：吟

用换元积分法.令工=tan/.则

"1/件】，,

-----dT=—；-------------ser/d/

人f•八+彳2Jftan-z•sec/

esc/•cotzdr

82.3

用换元积分法.令/=tan，•则

-5------------sec2/dr

ftan*/•sec/

esc/•cotzd/

-CSC/

3

83.

与原方程对应的齐次线性方程为

2y+5_y'=0.

特征方程为

2r*+5r=0.

故

C5

r,=O,rt=—

于是

>=C|+C:eg

为齐次线性方程的通解.

而5，一2工一1中的入=0为单一特征根.故可设

y*«=jr(Ar'+Hr+C)

为

2/4-5/=5xl-2x-1

的一个特解,于是有.

(/)'=3Ar'+2Hr+a(y・)”=6Ar+2B.

知

2(6Ar4-2B)+5(3Ar,+2Rr4-C)=Sx1-2x-1,

即

15Arz4-(124+!0B)x+4B4-5C=5-2x-1,

故

15A=5.12A+10B=-2.4B-b5C=-1.

于是

所以

2y"+5y'=5x*—2x—1

的一个特制.因此原方程的通M为

y=G+Ge/+（—+^^<C|.Cj为任意常数）.

与原方程对应的齐次线性方程为

2y+5_y'=0.

特征方程为

2r*+5r=0.

故

C5

r,=O,rt=—

于是

>=C|+C:eg

为齐次线性方程的通解.

而5，一2工一1中的入=0为单一特征根.故可设

y*«=jr(Ar'+Hr+C)

为

2/4-5/=5xl-2x-1

的一个特解,于是有.

(/)'=3Ar'+2Hr+a(y・)”=6Ar+2B.

知

2(6Ar4-2B)+5(3Ar,+2Rr4-C)=Sx1-2x-1,

即

15Arz4-(124+!0B)x+4B4-5C=5-2x-1,

故

15A=5.12A+10B=-2.4B-b5C=-1.

于是

所以

2y"+5y'=5x*—2x—1

的一个特制.因此原方程的通M为

y=G+Ge/+（—+^^<C|.Cj为任意常数）.

因2+2cos2/=2(1+cos2x)