2006年高考第一轮复习数学：4.2-两角和与差、二倍角的公式(一)

4.2两角和与差、二倍角的公式（一）●知识梳理1.C（α+β）的推导角α的始边为Ox，交单位圆于P1，终边OP2交单位圆于P2，角β的始边为OP2，终边－1］2+sin2（α+β）=［cos（－β）－cosα］2+［sin（－β）－sinα］2.∴cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ.2.S（α±β）、C（α－β）、T（α±β）以及推导线索（1）在C（α+β）中以－β代β即可得到C（α－β）.（2）利用cos（－α）=sinα即可得到S（α+β）；再以－β代β即可得到S（α－β）.（3）利用tanα=即可得到T（α±β）.说明：理清线索以及各公式间的内在联系，是记忆公式的前提.只有这样才能记牢公式，才能用活公式.●点击双基1.（2004年重庆，5）sin163°sin223°+sin253°sin313°等于A.－ B. C.－ D.cos43°=cos60°=.答案：B2.（2005年春季北京，7）在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形解析：由2sinAcosB=sinC知2sinAcosB=sin（A+B），∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.∴cosAsinB－sinAcosB=0.∴sin（B－A）=0.∴B=A.答案：B3.的值是A. B. C. D.解析：原式====.答案：C4.已知α∈（0，），β∈（，π），sin（α+β）=，cosβ=－，则sinα=_______.解析：由0＜α＜，＜β＜π，得＜α+β＜.故由sin（α+β）=，得cos（α+β）=－.由cosβ=－，得sinβ=.∴sinα=sin［（α+β）－β］=sin（α+β）cosβ－cos（α+β）sinβ=·（－）－（－）·=－.答案：－5.△ABC中，若b=2a，B=A+60°，则A解析：利用正弦定理，由b=2asinB=2sinAsin（A+60°）－2sinA=0cosA－3sinA=0sin（30°－A）=030°－A=0°（或180°）A=30°.答案：30°●典例剖析【例1】设cos（α－）=－，sin（－β）=，且＜α＜π，0＜β＜，求cos（α+β）.剖析：=（α－）－（－β）.依上述角之间的关系便可求之.解：∵＜α＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜.故由cos（α－）=－，得sin（α－）=.由sin（－β）=，得cos（－β）=.解析：tan（α+）===3.答案：32.要使sinα－cosα=有意义，则应有A.m≤ B.m≥－1C.m≤－1或m≥ D.－1≤m≤解析：2sin（α－）=sin（α－）=.由－1≤≤1－1≤m≤.答案：D3.（2004年福建，2）tan15°+cot15°等于A.2 B.2+ C.4 D.解析一：tan15°+cot15°=+===4.解析二：由tan15°=tan（45°－30°）===.∴原式=+=4.答案：C4.在△ABC中，若=，则△ABC的形状为_______.=sin2A=sin2B2A=2B或2A=π－2BA=B或A+B=.答案：等腰三角形或直角三角形5.（2004年湖南，17）已知tan（+α）=2，求的值.解：由tan（+α）==2，得tanα=.于是====.6.已知cosα=，cos（α+β）=－，α、β∈（0，），求β.解：由cosα=，cos（α+β）=－，得cosβ=cos［（α+β）－α］=，得β=.培养能力7.已知sin（－x）=，0＜x＜，求的值.分析：角之间的关系：（－x）+（+x）=及－2x=2（－x），利用余角间的三角函数的关系便可求之.解：∵（－x）+（+x）=，∴cos（+x）=sin（－x）.又cos2x=sin（－2x）=sin2（－x）=2sin（－x）cos（－x），∴=2cos（－x）=2×=.8.已知sinβ=msin（2α+β）（m≠1），求证：tan（α+β）=tanα.证明：∵sinβ=msin（2α+β），∴sin［（α+β）－α］=msin［（α+β）+α］.∴sin（α+β）cosα－cos（α+β）sinα=msin（α+β）cosα+mcos（α+β）sinα.∴（1－m）sin（α+β）cosα=（1+m）cos（α+β）sinα.∴tan（α+β）=tanα.9.（2005年北京西城区抽样测试）已知sin2α=，α∈（，）.（1）求cosα的值；（2）求满足sin（α－x）－sin（α+x）+2cosα=－的锐角x.解：（1）因为＜α＜，所以＜2α＜3π.所以cos2α=－=－.由cos2α=2cos2α－1，所以cosα=－.（2）因为sin（α－x）－sin（α+x）+2cosα=－，所以2cosα（1－sinx）=－.所以sinx=.因为x为锐角，所以x=.探究创新10.sinα+sinβ=，求cosα+cosβ的取值范围.解：令t=cosα+cosβ， ①sinα+sinβ=， ②①2+②2，得t2+=2+2cos（α－β）.∴2cos（α－β）=t2－∈［－2，2］.∴t∈［－，］.●思悟小结1.不仅要能熟练推证公式（建议自己推证一遍所有公式）、熟悉公式的正用逆用，还要熟练掌握公式的变形应用.2.注意拆角、拼角技巧，如α=（α+β）－β，2α=（α+β）+（α－β）等.3.注意倍角的相对性，如3α是的倍角.4.要时时注意角的范围的讨论.●教师下载中心教学点睛1.本节公式多，内在联系密切，建议复习时，要使学生理清公式间的推导线索，让学生亲自推导一下C（α+β）.2.公式应用讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式.如拆角、拼角技巧等，要注意结合题目使学生体会其间的规律.

拓展题例【例1】已知a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），（a≠b）.求证：（a+b）⊥（a－b）.分析：只要证（a+b）·（a－b）=0即可.证法一：（a+b）·（a－b）=|a|2－|b|2=1－1=0，∴（a+b）⊥（a－b）.∴⊥.∴·=0，即（a+b）·（a－b）=0.∴（a+b）⊥（a－b）.【例2】α、β∈（0，），3sin2α+2sin2β=1，①3sin2α－2