南极小客人的数学奇遇-小学数学教案

第页共页南极小客人的数学奇遇——小学数学教案小学数学教案南极，是地球上少有的几乎没有人类居住的地方。这里冰天雪地、荒无人烟，却同时也是寒带生态系统中最重要、最脆弱的环节之一。南极洲是地球上保存最完整、规模最大的冰原地带之一，冰雪覆盖近14,000,000平方公里。南极极地气候，每年数月太阳不落、数月不升，温度初冬时会降至零下75摄氏度左右，这里是雪漠区域，降雪量极大。然而，在南极这样一个极端的环境下，有一群勇敢的人，他们是南极的小客人。虽然他们小小的身躯被包裹在厚厚的冬装里，但他们并不害怕南极的严寒。这群小客人中，有一位叫做小胖的男孩，他本来是一名小学四年级的学生，因为他的父亲是南极科考队的一员，所以他有幸来到南极。小胖是一名数学爱好者，他在南极过得十分愉快，因为他有一位可的老师，老师为他开设了一堂有趣的数学课。一天，小胖的老师与他分享了这样一道数学题：有8个相同的小球和一个不同的小球，将它们放入三个完全相同的盒子中，任意放三个盒子的方法一共有多少种？这个问题听起来有些复杂，但是当小胖的老师用图示的方式向小胖展示时，问题就变得简单了。小胖的老师拿出三个大小不一的盒子，用相同的颜色代表相同的小球，用不同的颜色代表不同的小球。如图：那么，我们该怎么计算任意放三个盒子的方法呢？小胖想了想，他将问题分成了两个部分。我们需要考虑任意将9个球放入三个空的盒子中的方式。他说：每个球可以放在任意一个盒子里，因此每个球有3种放法，一共有9个球，那么共有3的9次方种放法，即$3^9=19683$种放法。我们需要从这些放法中减去三个盒子中都没有不同球的情况，因为这样的情况不符合题意，它表示三个盒子都放了相同的8个球。小胖认为：每个盒子都不能放不同的球，因此有两个选项：把那个不同球塞到三个盒子中的一个盒子里，或者将那个不同球放到任意一个盒子里，此时就可以用之前的思路求解解出放法总数。当小胖算完以后，他得出答案是$3^9-3\cdot2^9+3=19656$。小胖的老师听到小胖正确回答题目，感到十分欣慰，他给小胖一个任务，希望他能够自己解决下面的问题：有一条长为$15$米的墙，我要在墙上纵向悬挂$5$幅相同大小的画，每个画要相邻而不重叠，我们可以不用细心考虑画的厚度，我们选择画的挂法有多少种不同的方法？小胖看到这个问题有些困难，但他仍然不死心。他开始用图示的方式来解决这个问题。首先他用$O$代表空点，用$X$代表画的点，这样原来的问题就变成了在5个$X$点中插入4个$O$点的问题，他想到这些$X$和$O$点组成了一个五段式的图形，他可以分别讨论每一段有多少种画法，然后再根据乘法原理把它们乘起来就可以了。例如，在下图中$L_3$这个段的两个$X$之间插入$O_3$和$O_4$也就是在$4$个位置中选$2$个位置进行插入，在$O_3$和$O_4$之间插入$O_5$是唯一可选的位置，这样就可以确定$L_3$段的画法。类似的思路可以得到$L_1-L_5$的画法分别为45、21、9、7和1种。根据乘法原理，可知五段式图形的总画法是$45\times21\times9\times7\times1=4,233,045$。小胖的思维可以使任何一个学生都十分赞赏，他的数学修养、数学素养、数学分析能力和数学推理能力都得到了充分的锻炼，所以，即使在南极这样的极端环境下，小胖的学习成绩也是十分优异的。小胖的数学故事启发我们，数学是人类的一种重要思维方式，它不仅可以为