《第1章 有理数有理数》教案

1.1正数和负数

一、教学目标

1、在熟悉的生活情景中，能用正数和负数表示生活中具有相反意义的量、

知道负数的写法和读法，会用负数表示一些日常生活中的量。

2、使学生经历数学化，符号化的过程，体会负数产生的必要性。

3、感受正、负数和生活的密切联系，享受创造性学习的乐趣，并结合史料

对学生进行爱国主义思想教育。

二、教学重点、难点

1、教学重点：体会负数的意义，学会用正、负数表示日常生活中具有相反

意义的量。

2、教学难点：体会负数的意义，通过描述性定义认识正数、负数和“0”。

三、教法设计：合作探究式分层次教学，讲授、练习相结合。

四、教学过程

㈠情景导入

・课前谈话：“上下”是表示什么的词？再如“胜负”，你能举出哪些意思

相反的一组词呢？词汇真丰富，说明你们的语文学得好。今天，是数学课,

离不开“数”。

1、出示信息：

在下列横线上填上适当的词，使前后构成意义相反的量：

(1)妈妈在银行存入1300元,1300元；

(2)电梯30米，下降30米；

(3)小红向北走30米，向走30米.

(4)淘气昨天数学作业，做对5道，做_5道。

2、指名读信息，你发现了什么？

同样的数带上了相反意思的方向词，就成了“方向数”。

你能把这件事情说得更简单些吗？

请大家把意思为相反方向的数记录在本子上，但是数字前面的文字不能

照抄，你得创造另外的方法记录，要求既简单，又明白。

3、师：刚才同学们用了不同的方法去记录，大家说得也都有道理。可是

如果每个人都按照自己的想法去表示，结果会怎么样呢？那你觉得应该怎么

办？要想让大家都明白，数学家们制定出了一个统一的标准。那你认为数学

家们会怎样表达呢？

4、总结正负数

(1)这些数很特别，都带上了符号，它们是一种“新数”。-1300、-80等

都叫负数；+1300、+80等都叫正数。你会读吗？请你读给大家听。

注意“-”叫负号，“+”叫正号。

(2)读给你的同伴听。

(3)把你新认识的负数再写两个读一读。

下面让我们走进正数和负数的世界，进一步了解它们。(板书课题)

㈡新授

1、用正数或负数表示下列数量。

（1）赢利10000元，用+10000元表示；那么亏损10000元用（）元

表示。

（2）如果向东走10.5米，用+10.5米表示;那么向西走10.5米用（）

米表示。

（3）球队胜利4场，用+4场表示；那么失败3场用（）场表示。

（4）零上15度用+15度表示；那么零下15度用（）度表示。

2、像这样的例子有很多，你能说出一组这样的情况来吗？谁愿意和老师合

作？

上车15人和下车8人；

公元前221年和公元后2006年；

地面以上6层和地面以下2层；

种了100棵树，死了5棵树；

我在银行存入了500元（取出了500元）。

知识竞赛中，四（1）班得了20分（扣了20分）。

10月份，学校小卖部赚了500元。（亏了500元）。

零上10摄式度（零下10摄式度）。

树上飞来了5只鸟。

3、同桌同学一人说信息，一人说正负数。

4、出示北京地区天气情况，你发现负数了吗？有正数吗？它怎么没有“+”

呢？那么，负数可以把“-”去掉吗？

5、出示图片，你知道了什么？人们是利用什么工具来测量温度的呢？

6、温度计上有。吗？（板书）这里的0与以前学习的0有什么不同？

科学家把水结冰的温度定为0℃。读作：0摄氏度。

观察温度计上的刻度是怎样排列的？你觉得它像哪种测量工具？

温度计零上有刻度10,零下也有刻度10,这两个刻度一样吗？为什么？

比0C低的温度用带“一”号的数表示，如：-io℃;

比0℃高的温度用带“+”号的数表示，如：+1℃（“+”号可以省略不写）。

7、出示课件，读出温度计上所显示的温度。

比较三个温度的大小。

㈢0的新意义理解。（利用数轴，了解负数、0和正数的大小关系。）

1、出示温度计，与尺子对比，再变化成数轴。

（1）如果我以这里为起点，前进1米用正数表示，后退1米用负数表示，那么,

站在起点不动用什么数表示？

（2）前进2米、3米、4米……；回到起点，然后，后退2米、3米、4米、5

米……分别用正负数表示出来。如果不停地前进数会怎样变化？如果不停地后

退，数又会怎样变化？

如果不停地前进或后退，能走得完吗？我们把这个东西叫数轴。

（3）你看大楼的电梯，能用这种数轴来表示吗？

（4）还有什么也可以用数轴表示？

（5）这个数轴太神奇了，看着它你能想到什么数学问题？

（学生会想：T和-4谁大？负数有多少？负数有小数吗？）

2、归纳板书，给数字归类：你能用集合图给他们分类吗？

3、谁能用大于号表示出负数、。和正数的关系？

㈣介绍负数的发展历史。

1、文字录音播放。

2、听完了，你有什么感想？

㈤课堂小结

1、你这节课有什么收获？

2、说一说：你眼中的正数和负数

五、布置作业

1、想一想：你眼中的正数和负数是什么样子的？

2、课后练习与习题

六、板书设计

正数和负数

正号

七、教学反思

世界是由许多相互矛盾的事物组成的。要想认识这个世界，改造这个世界，

就要从这些矛盾的事物入手。数学研究亦是如此。奇与偶，正与负，左与右，一

与众，直与曲，动与静等，是一组组对立概念，其中蕴含了对立统一、联系发展

这些最朴素的哲学思想，如何通过我们的数学课堂向学生渗透这些思想呢？

开始时，引出对立的一组矛盾，用一个数无法表达两种相反意义的量，怎么

办？学生利用已有的生活经验解决矛盾，在数前用不同符号表达两种相反意义的

量，使这对矛盾在符号化的思想下得到统一，让学生感受到符号的作用。

数学活动需要通过学生的操作实验、思考讨论、合作交流等一定的形式来

完成,恰当的活动形式有利于数学活动的开展，有利于学生感悟数学思想与方法。

但是，数学活动不是教学形式的“花样翻新”，更不是“作秀”。课堂让学生

通过对话、倾听、欣赏、互动和共享，实现了数学活动的有效性。

数学教学是数学活动的教学。数学活动必须关注全体学生，充分调动他们

主动参与数学活动的积极性，使他们真切地体验、感悟和理解数学，引发数学思

考，有效地建构数学知识。这样的活动才是数学课堂所需要的有效活动，才能全

面地实现数学教学的目标。

实践让我深深体会到：教学的真境界应是“朴实无华、真实有效”的。它是

真实、真效、真智慧的生动过程，是师生智慧共生的乐园！

1.2数轴、相反数和绝对值

一、教学目标

1.使学生正确理解数轴的意义，掌握数轴的三要素；

2.使学生学会由数轴上的已知点说出它所表示的数，能将有理数用数轴上

的点表示出来；

3.使学生初步理解数形结合的思想方法.

4.使学生理解相反数的意义；

5.给出一个数，能求出它的相反数；

6.理解绝对值的意义，熟悉绝对值符号；

7.给一个数，能求它的绝对值。

二、教学重点、难点

1、教学重点：

⑴初步理解数形结合的思想方法，正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示

有理数.

⑵理解有理数的绝对值概念，并掌握其表示方法

2、教学难点：

⑴正确理解有理数与数轴上点的对应关系。

⑵熟练掌握求一个有理数的绝对值的方法。

三、课时：3课时

四、教学过程

㈠导入：从学生原有认知结构提出问题

1.小学里曾用“射线”上的点来表示数，你能在射线上表示出1和2吗？

2.用“射线”能不能表示有理数？为什么？

3.你认为把“射线”做怎样的改动，才能用来表示有理数呢？

待学生回答后，教师指出，这就是我们本节课所要学习的内容一一数轴.

㈡讲授新课

[11数轴

让学生观察挂图一一放大的温度计，同时教师给予语言指导：利用温度计

可以测量温度，在温度计上有刻度，刻度上标有读数，根据温度计的液面的不同

位置就可以读出不同的数，从而得到所测的温度.在0上10个刻度，表示10℃；

在0下5个刻度，表示-5℃.

与温度计类似，我们也可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上

的点表示正数、负数和零.具体方法如下（边说边画）：

1.画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点（通常取适中的位置,

如果所需的都是正数，也可偏向左边）用这点表示0（相当于温度计上的0℃）；

2.规定直线上从原点向右为正方向（箭头所指的方向），那么从原点向左为

负方向（相当于温度计上0℃以上为正，0℃以下为负）；

3.选取适当的长度作为单位长度，在直线上，从原点向右，每隔一个长度

单位取一点，依次表示为1,2,3,…从原点向左，每隔一个长度单位取一点，

依次表示为T,-2,-3,…

提问：我们能不能用这条直线表示任何有理数？（可列举几个数）

在此基础上，给出数轴的定义，即规定了原点、正方向和单位长度的直线

叫做数轴.

进而提问学生：在数轴上，已知一点P表示数-5,如果数轴上的原点不选

在原来位置，而改选在另一位置，那么P对应的数是否还是-5?如果单位长度改

变呢？如果直线的正方向改变呢？

通过上述提问，向学生指出：数轴的三要素一一原点、正方向和单位长度，

缺一不可.

㈢运用举例变式练习

例1画一个数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：

1,-5,-2.5,0.

例2指出数轴上A,B,C,D,E各点分别表示什么数.

।A.1E.ID.1，，C■iB*

-4-3-2-10123456x

课堂练习

112

1.将-3,2-,2.25,+7.3,-5.1各数用数轴上的点表

示出来.

2.说出下面数轴上A,B,C,D,0,M各点表示什么数？

DC0AMB

-4-3-2-10123456x

最后引导学生得出结论：正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原

点左边的点表示，零用原点表示.

[2]相反数

1.相反数的概念：

首先，咱们来画一条数轴，然后在数轴上标出下列各点：3和-3,1.6和-1.6,

请同学们观察：（1）上述这两对数有什么特点？（2）表示这两对数的数轴上的

点有什么特点？（3）请你再写出同样的几对点来？

显然：（1）上面的这两对数中，每一对数，只有符号不同。

（2）这两对数所对应的点中每一组中的两个点，一个在原点的左边，一个

在原点的右边，而且离开原点的距离相同。

44“

(3)像上面这种特征的数非常多，比如：5和-5,4和-4,1和-鼻，⑶和-1.#等

等。

一3—1.6H-1.63

----1------1--•---1!1•1*1---->

—4--—3—2---—1----O-1-----2----3-----4

像以上这样，只有符号不同的两个数互称为相反数，例如和-12互为相反数，

22

是一1’的相反数，一1_1是1工的相反数。

2222

我们还规定：0的相反数是0

说明：

（1）注意理解相反数定义中“只有”的含义。

（2）相反数是相对而言的，即如果6是-6的相反数，则-6也是6的相反数,

因而相反数全是成对出现的。

(3)两个互为相反数的数在数轴上的对应点(除0外)，在原点的两旁，并

且距离原点距离相等的两个点，至于0的相反数是0的几何意义，可理解为这两

点距离原点都是零。

例L(1)分别指出9和-7的相反数；

3

(2)分别指出-2.4和各是什么数的相反数。

5

解：由相反数的定义可知：

(1)9的相反数是-9,-7的相反数是7；

(2)-2.4是2.4的相反数，3三是-32的相反数。

55

从例1可以看出：一个正数的相反数是一个负数，而一个负数的相反数是一

个正数。

2.典型例题：

例2.指出下列各对数中，哪几对是相等的数？哪几对互为相反数？

<1>+(-3)与-3<2>+(+8)与8

<3>-(+3)与3<4>-(-7)与-7

解：

<1>+(-3)=-3

<2>+(+8)=8

<3>-(+3)与3互为相反数

<4>-(-7)与-7互为相反数

由上面的这个例题可以看出：如<3>和<4>所示，在一个数前面添上“-”号，

用这个新数表示原来那个数的相反数；如<1>、<2>所示：在一个数的前面添上“+”

号，表示这个数本身。

例3.简化下列各数的符号：

(1)-(+7)；(2)+(-5)；(3)-(-3.1)；

(4)-[+(-2)]；(5)(-6)]

解：

(1)一(+7)=—7

(2)+(-5)=-5

(3)—(—3.1)=3.1

(4)一[+(-2)]=+2

(5)-[-(-6)]=-6

观察这道题目发现：在一个数前面如果有奇数个负号，则这个数是负数，表

示它的相反数，例如(1)(5)；如果有偶数个负号，则表示它本身，例如(3)、

(4)0

例3.数轴上表示互为相反数的两个点相互之间的距离是8.4,求这两个数。

分析：在数轴上，由相反数的定义可知：互为相反数的两个数离原点的距离

是相等的。由题意可知，它们到原点的距离之和又为8.4。显然，只需用除法就

可以算出这两个数。

解：由题意可知：8.44-2=4.2

所以，这两个数应该是4.2和-4.2。

[3]绝对值

1.定义：

在上面一节中，知道6的相反数是-6,而6与-6表示的点虽然在原点的两

边，但它们到原点的距离是相等的。如果我们不考虑两点在原点的哪一边，只考

虑它们离开原点的距离，这个距离是6o此时我们称这个距离6是6与-6的绝对

值，那么，什么叫绝对值呢？

实际上，我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记

作Ia|。

如下图所示：在数轴上表示-5的点与原点的距离是5,即-5的绝对值是5,

记作|-5|=5o

同样，-3!=3!，J=表示0的点与原点的距离是0,所以|0|=0。

223311

-5-4-3-2-101234

下面咱们根据绝对值的定义，来看一组题目：

(1)|+2|=2,||,|+8.2|=8.2

(2)|q=o

(3)|-3|=_3_,|-0.2|=0.2,|-8.2|=8.2

观察上面这三S题目会发现：(1)组中要求绝对值的数全是正数，而求出的

绝对值也是正数，恰恰是它本身，而(2)组中0的绝对值是0,(3)组中要求

绝对值的数全是负数，而求得的绝对值全都是正数，因而全都是其相反数，由此

可以得到：

(1)一个正数的绝对值是它本身。

(2)一个负数的绝对值是它的相反数。

(3)0的绝对值是0。

因为正数可用a〉0来表示，负数可用a<0来表示，所以上述三条可改写成：

(1)如果a>0,那么|a|=a,

(2)如果a<0,那么|a|=-a,

(3)如果a=0,那么|a|=0,

上面这几个式子可合并写成：

a(cz>0)

同=<0(a=0)

-a(a<0)

由上面的几个式子可以看出，不论a取何值，它的绝对值总是正数或0(通

常也称为非负数)，即对任意有理数a而言，总有

\a\>0

这是一条非常重要的性质，这里的“非负”就是“不是负数”，而有可能是

正数或者是0。

上面的这几个式子还告诉咱们怎样求一个数的绝对值：

如果求一个正数的绝对值，根据法则，就直接写出结果即可。

如果求一个负数的绝对值，根据法则，就需要找它的相反数。

而就“0”而言，它的绝对值就是它本身。

根据上面的这些法则来看例子：

例1.求下列各数的绝对值:

+—,-4.75,05

10

解:-L,|-4.75|=4.75,|05|=0.5

I

例

化;(2

2,

解

1T1

⑴-

(+2-2-

例3.回答下列问题：

（1）绝对值是12的数有几个？是什么？

（2）绝对值是0的数有几个？是什么？

（3）有没有绝对值是-3的数？为什么？

答：（1）绝对值是12的数有两个：+12和-12。因为绝对值是代表数a表示

的点到原点的距离，而在数轴上，到原点距离为12的点共有两个，它们是+12

和T2。

（2）绝对值是。的数仅有一个，因为只有。的绝对值才是零。

（3）没有。因为根据绝对值的意义可知：不论a取值为何数，它的绝对值

总是正数或0,而没有负数。因而没有绝对值为-3的数。

例4.设a、b是有理数，判断下列语句是否正确，并简要说明理由，若不正

确，也可举出反例。

（1）若2=（则|a|=|b|；（2）若|a|=|b|,则a=b。

解：（1）正确。因为两个数若是相等，则表示它到原点的距离相等，因而

|a|=|b|o

（2）不正确。因为绝对值相等的两个数，它们不仅可以相等，而且还可以

互为相反数，比如相反数31,但3*3。因而原语句错误。

例5.数轴上与原点距离小于3的且表示整数的点有多少个？

绝对值小于2的整数有多少个？它们是什么？

解：先观察数轴：

-3-2-1OL234

经过观察，发现：在数轴上与原点距离小于3的点有无数个，但是表示整数

的点却只有-2,T,0,1,2这样5个，而绝对值小于2的整数则有3个，它们

分别是0,1,-lo

例6.设m、n是有理数，要使|+In=0,则m、n的关系是（）

A.互为相反数B.相等C.符号相反D.都为零

解：

显然应该选。。因为要|加+|川=0,而依|20,|/?|>0,显然只有zn=0,〃=0。

A答案提示为互为相反数，互为相反数的两个数之绝对值之和一定不为零（零

除外）。

B答案提示相等，若两个数相等，则它们的绝对值之和一定也不为零（零除

外）。

C答案提示两个数符号相反，符号相反的数，其绝对值之和也一定不为0。

㈣课堂小结

1、数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关系，它

揭示了数和形之间的内在联系，为我们研究问题提供了新的方法。能掌握数轴的

三要素，正确地画出数轴，所有的有理数都可用数轴上的点来表示，但是反过来

不成立，即数轴上的点并不是都表示有理数，至于数轴上的哪些点不能表示有理

数，这个问题以后再研究。

2、通过学习，了解相反数的意义及找到一个数的相反数的方法。

3、了解绝对值的代数意义和它在数轴上表示的意思。

4、理解两个有理数大小比较的方法。

五、作业布置

1.在下面数轴上：

(1)分别指出表示-2,3,-4,0,1各数的点.

(2)A,H,D,E,0各点分别表示什么数？

BDFH0GECA

11tli1■11>

-4-3-2-101234x

2.课后练习与习题。

六、板书设计

1.2数轴

一、(1)数轴的定义

(2)数轴的三要素

例1、例2

二、互为相反数

三、绝对值

七、教学反思

从学生已有知识、经验出发研究新问题，是我们组织教学的一个重要原则.小

学里曾学过利用射线上的点来表示数，为此我们可引导学生思考：把射线怎样做

些改进就可以用来表示有理数？伴以温度计为模型，引出数轴的概念.教学中，

数轴的三要素中的每一要素都要认真分析它的作用，使学生从直观认识上升到理

性认识.直线、数轴都是非常抽象的数学概念，当然对初学者不宜讲的过多，但

适当引导学生进行抽象的思维活动还是可行的.例如，向学生提问：在数轴上对

应一亿万分之一的点，你能画出来吗？它是不是存在等.

作为教师，我们在备课时不但要备教材，更要备学生，学会换位思考，学生

可能会出现怎样的问题和疏忽，我们要有所准备，及时预防和纠正。但另外，我

又想，如果先放手让学生自己画，让他们犯错，然后把学生自己画的数轴(特别

是有错误的)展示，相互指正，以示警戒，是否效果会更好呢？我们有时侯是否

也需要学会适当放手，建议下次大家都可试试。

1.3有理数的大小

一、教学目标

1、使学生能说出有理数大小的比较法则

2、能熟练运用法则结合数轴比较有理数的大小，特别是应用绝对值概念比

较两个负数的大小，能利用数轴对多个有理数进行有序排列。

3、能正确运用符号写出表示推理过程中简单的因果

关系。

二、教学重点、难点

1、教学重点：运用法则借助数轴比较两个有理数的大小。

2、教学难点：利用绝对值概念比较两个负分数的大小。

三、教学准备：多媒体课件

四、课时：2课时

五、教学过程

㈠交流对话，探究新知

1、说一，说

（多媒体显示）某一天我们5个城市的最低气温

武汉5X：上海0七

从刚才的图片中你获得了哪些信息？（从常见的气温入手，激发学生的求知

欲望，可能有些学生会说从中知道广州的最低气温10℃比上海的最低气温

高，有些学生会说哈尔滨的最低气温零下20C比北京的最低气温零下10C低等；

不会说的，老师适当点拔，从而学生在合作交流中不知不觉地完成了以下填空。

比较这一天下列两个城市间最低气温的高低（填“高于”或“低于”）

广州_______上海；北京________上海；北京哈尔滨；武汉

哈尔滨；武汉广州。

2、画一画：（1）把上述5个城市最低气温的数表示在数轴上，（2）观察这

5个数在数轴上的位置，从中你发现了什么？

(IIIII).

-20-100510

（3）温度的高低与相应的数在数轴上的位置有什么？

（通过学生自己动手操作，观察、思考，发现原点左边的数都是负数，原点

右边的数都是正数；同时也发现5在0右边，5比0大；10在5右边，10比5

大，初步感受在数轴上原点右边的两个数，右边的数总比左边的数大。教师趁机

追问，原点左边的数也有这样的规律吗？从而激发学生探索知识的欲望，进一步

验证了原点左边的数也有这样的规律。从而使学生亲身体验探索的乐趣，在探究

中不知不觉获得了知识。）由小组讨论后，教师归纳得出结论：

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。

（二）应用新知，体验成功

1、练一练（师生共同完成例1后，学生完成随堂练习1）

例1：在数轴上表示数5,0,-4,-1,并比较它们的大小，将它们按从

小到大的顺序用号连接。（师生共同完成）

分析：本题意有几层含义？应分几步？

要点总结：小组讨论归纳，本题解题时的一般步骤：①画数轴②描点；③

有序排列；④不等号连接。

2、做一做

（1）在数轴上表示下列各对数，并比较它们的大小

①2和7②一6和一1③一6和一36④一;和一1.5

（2）求出图中各对数的绝对值，并比较它们的大小。

（3）由①、②从中你发现了什么？

（学生小组讨论后，代表站起来发言，口述自己组的发现，说明自己组发现

的过程，逐步培养学生观察、归纳、用数学语言表达数学规律的能力。）

要点总结：两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝

对值大的数反而小。

在学生讨论的基础上，由学生总结得出有理数大小的比较法则。

（1）正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。

（2）两个正数比较大小，绝对值大的数大。

（3）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。

3、师生共同完成例2后，学生完成随堂练习2、3、4。

例2比较下列每对数的大小，并说明理由：（师生共同完成）

32

（1）1与-10,（2）—0.001与0,（3）—8与+2；（4）-7与一可；（5）

3

—（+~）与一I—0.8|

0

分析：第（4）（5）题较难，第（4）题应先通分，第（5）题应先化简，再

比较。同时在讲解时，要注意格式。

注：绝对值比较时，分母相同，分子大的数大；分子相同，则分母大的数

反而小；分子分母都不相同时，则应先通分再比较，或把分子化相同再比较。

两个负数比较大小时的一般步骤：①求绝对值；②比较绝对值的大小；③

比较负数的大小。

思考：还有别的方法吗？（分组讨论，积极思考）

4、想一想：我们有几种方法来判断有理数的大小？你认为它们各有什么特

点？

由学生讨论后，得出比较有理数的大小共有两种方法，一种是法则，另一

种是利用数轴，当两个数比较时一般选用第一种，当多个有理数比较大小时，一

般选用第二种较好。

练一练：P>9TZ、3、4

5、考考你：请你回答下列问题：

（1）有没有最大的有理数，有没有最小的有理数，为什么？

（2）有没有绝对值最小的有理数？若有，请把它写出来？

（3）在于一1.5且小于4.2的整数有个，它们分别是—o

（4）若a〉0,b<0,a<|b|,则你能比较a、b、一a、一b这四个数的大小吗？

（本题属提高题，不要求全体学生掌握）

（新颖的问题会激发学生的好奇心，通过合作交流，自主探究等活动，培

养学生思维的习惯和数学语言的表达能力）

㈢课堂小结

本节课主要学习了有理数大小比较的两种方法，一种是按照法则，两两比较,

另一种是利用数轴，运用这种方法时，首先必须把要比较的数在数轴上表示出来,

然后按照它们在数轴上的位置，从左到右（或从右到左）用（或“>”）连接,

这种方法在比较多个有理数大小时非常简便。

六、布置作业：课后练习与习题

七、板书设计

1.3有理数的大小

一、有理数的大小比较：

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。

八、教学反思

如何来比较两个负数的大小，这对有些学生来讲可能比较难，为什么一2>

-5?要讲清楚这一点，利用数轴较直观，并注意采用从特殊的例子到一般的规

律。另外在讲解例题的时候，首先得强调两个负数的前提下，再比较绝对值。所

以应先看是如何的两个数进行比较，正数之间的比较我们早已会了，我们也知道

正数大于负数。而有时候我们也往往需要对一些数先进行化简再比较，这一点在

练习中有很多同学还是没有注意。

1.4有理数的加减

（第一课时）

一、教学目标

1、知识与技能

⑴通过足球赛中的净胜球数，使学生掌握有理数加法法则，并能运用法则进

行计算；

⑵在有理数加法法则的教学过程中，注意培养学生的运算能力.

2、过程与方法

⑴通过观察，比较，归纳等得出有理数加法法则。

⑵能运用有理数加法法则解决实际问题。

3、情感态度价值观

认识到通过师生合作交流，学生主动叁与探索获得数学知识，从而提高学生

学习数学的积极性。

二、教学重点、难点

1、教学重点：会用有理数加法法则进行运算.

2、教学难点：异号两数相加的法则.

三、教学过程

㈠问题与情境

我们已经熟悉正数的运算，然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数

范围。例如，足球循环赛中，通常把进球数记为正数，失球数记为负数，它们的

和叫作净胜球数。章前言中，红队进4个球，失2个球；蓝队进1个球，失1个

球。于是红队的净胜球为

4+(-2),

黄队的净胜球为

1+(-1)O

这里用到正数与负数的加法。

㈡师生共同探究有理数加法法则

前面我们学习了有关有理数的一些基础知识，从今天起开始学习有理数的运

算.这节课我们来研究两个有理数的加法.

两个有理数相加，有多少种不同的情形？

为此，我们来看一个大家熟悉的实际问题：

足球比赛中赢球个数与输球个数是相反意义的量.若我们规定赢球为

“正”，输球为“负”，打平为“0”.比如，赢3球记为+3,输1球记为T.学

校足球队在一场比赛中的胜负可能有以下各种不同的情形：

(1)上半场赢了3球，下半场赢了1球，那么全场共赢了4球.也就是

(+3)+(+1)=+4.

(2)上半场输了2球，下半场输了1球，那么全场共输了3球.也就是

(-2)+(-1)=-3.

现在，请同学们说出其他可能的情形.

答：上半场赢了3球，下半场输了2球，全场赢了1球，也就是

(+3)+(-2)=+1；

上半场输了3球，下半场赢了2球，全场输了1球，也就是

(-3)+(+2)=-1；

上半场赢了3球下半场不输不赢，全场仍赢3球，也就是

(+3)+0=+3；

上半场输了2球，下半场两队都没有进球，全场仍输2球，也就是

(-2)+0=-2；

上半场打平，下半场也打平，全场仍是平局，也就是

0+0=0.

上面我们列出了两个有理数相加的7种不同情形，并根据它们的具体意义得

出了它们相加的和.但是，要计算两个有理数相加所得的和，我们总不能一直用

这种方法.现在请同学们仔细观察比较这7个算式，你能从中发现有理数加法的

运算法则吗？也就是结果的符号怎么定？绝对值怎么算？

这里，先让学生思考，师生交流，再由学生自己归纳出有理数加法法则：

1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的

绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0;

3.一个数同0相加，仍得这个数.

㈢应用举例变式练习

例1口答下列算式的结果

(1)(+4)+(+3)；(2)(-4)+(-3)；(3)(+4)+(-3)；(4

)(+3)+(-4)；

(5)(+4)+(-4)；(6)(-3)+0；(7)0+(+2)；

(8)0+0.

学生逐题口答后，师生共同得出

进行有理数加法，先要判断两个加数是同号还是异号，有一个加数是否为零;

再根据两个加数符号的具体情况，选用某一条加法法则.进行计算时，通常应该

先确定“和”的符号，再计算“和”的绝对值.

例2(教科书的例1)

解：(1)(-3)+(-9)(两个加数同号，用加法法则的第2条计算)

=-(3+9)(和取负号，把绝对值相加)

=-12.

(2)(-4.7)+3.9(两个加数异号，用加法法则的第2条计算)

=-(4.7-3.9)(和取负号，把大的绝对值减去小的绝对值)

=-0.8

例3(教科书的例2)教师在算出红队的净胜球数后，学生自己算黄队和蓝

队的净胜球数

下面请同学们计算下列各题以及教科书第23页练习第1与第2题

(1)(-0.9)+(+1.5)；(2)(+2.7)+(-3)；(3)(-1.1)+(-2.9)；

学生书面练习，四位学生板演，教师巡视指导，学生交流，师生评价。

㈣课堂小结

1.本节课你学到了什么？

2.本节课你有什么感受？(由学生自己小结)

四、作业布置：

1、课后练习与习题

2、计算：

(1)(-0.9)+(-2.7)；(2)3.8+(-8.4)；(3)(-0.5)+3；

(4)3.29+1.78；(5)7+(-3.04)；(6)(-2.9)+(-0.31)；

3、用“〉”或“<”号填空：

(1)如果a>0,b>0,那么a+b0；

(2)如果aVO,b<0,那么a+b0；

(3)如果a>0,b<0,]a]>|b|,那么a+b0；

(4)如果aVO,b>0,a'>IbI,那么a+b0.

五、板书设计

1.4有理数的加减

一、有理数的加法

1、法则

同正

同号

同负

［正数绝对值大于负数细寸值

两个加数的符，异号负数绝对值大于正数维（寸值

两个加数的绝对值相等

“两个加数中至少有一个为零

2、解题一般金骤

3、例题

六、教学反思

“有理数的加减”中有理数的加法的教学，可以有多种不同的设计方案.大

体上可以分为两类：一类是较快地由教师给出法则，用较多的时间（30分钟以上）

组织学生练习，以求熟练地掌握法则；另一类是适当加强法则的形成过程，从而

在此过程中着力培养学生的观察、比较、归纳能力，相应地适当压缩应用法则的

练习，如本教学设计.

现在，试比较这两类教学设计的得失利弊.

第一种方案，教学的重点偏重于让学生通过练习，熟悉法则的应用，这种教

法近期效果较好.

第二种方案，注重引导学生参与探索、归纳有理数加法法则的过程，主动获

取知识.这样，学生在这节课上不仅学懂了法则，而且能感知到研究数学问题的

一些基本方法.

这种方案减少了应用法则进行计算的练习，所以学生掌握法则的熟练程度可

能稍差，这是教学中应当注意的问题.但是，在后续的教学中学生将千万次应用

“有理数加法法则”进行计算，故这种缺陷是可以得到弥补的.第一种方案削弱

了得出结论的“过程”，失去了培养学生观察、比较、归纳能力的一次机会.权

衡利弊，我们主张采用第二种教学方法。

（第二课时）

一、教学目标

1、知识与技能

⑴有理数减法法则.

⑵有理数减法法则的应用.

2、过程与方法

⑴经历探索有理数减法法则的过程，理解有理数减法法则.

⑵能熟练进行整数减法的运算.

3、情感态度价值观

⑴为学生创设熟悉的生活环境，使其在轻松愉快中，体会数学知识在实际生

活中的应用.

⑵通过与学生的交流、探索，逐步培养学生的抽象概括能力及口头表达的能

力.

二、教学重点、难点

1、教学重点：有理数减法法则.

2、教学难点：有理数减法的意义.

三、教学方法

引导启发式

让学生在应用旧知识的过程中探究，通过老师的引导启发得到新的结论.通

过比较、分析、应用获得新知识，从而达到理解并掌握的目的.

四、教具准备

温度计、小黑板

投影片五张

第一张：引例（记作§2.5A）

第二张：练习（记作§2.5B）

第三张：例1及练习（记作§2.5C）

第四张：例2、例3（记作§2.5D）

第五张：试一试及习题2.6的第5题（记作§2.5E）

五、教学过程

㈠创设情景问题，引入课题

［师］今天天气怎么样呢？

［生］今天天气晴朗、暖和.

［师］可以说是风和日丽，那明天的天气呢？是晴天呢？还是多云？有风

吗？

［生］不知道

［师］要想知道明天的天气情况，怎么办？

［生］需要看天气预报.

［师］好，下面我们看一则某天的全国主要城市的天气情况：（出示投影片

§2.5A）

全国主要城市天气预报

城市天气高温低温城市天气高温低温

哈尔滨小雨159长春多云1810

沈阳小雨197天津小雨128

呼和浩特雨夹雪8-3乌鲁木齐晴4-3

西宁小雪5-4银川小雪0-3

苣州雨夹雪3-3西安小雨167

拉萨多云151成都底阵雨1710

重庆3”.2211贵阳雷阵雨238

昆明晴2813太原小雨100

看呼和浩特的最高温度为8°C,最低温度为-3°C,这天呼和浩特的温差为

多少？你是怎么算的？

［生］温差就是算两个温度的差，用减法计算.所以，这天呼和浩特的温差

为：8—(—3)

［师］8—(一3)等于多少呢？由前面的知识知道8和-3是有理数.两个有理

数的差怎么算呢？这就是我们这节课重点研究的内容：有理数的减法.

㈡讲授新课

［师］在小学里，我们已探讨了减法，那什么是减法呢？

［生］已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减

法.

［师］在什么情况下运用减法运算呢？

［生］求一个数比另一个数大多少.

［师］对，现在有了负有理数后，减法的意义同样是“已知两个加数的和与

其中的一个加数，求另一个加数的运算”.由减法的意义可知减法与加法是互为

逆运算.

现在要计算：8—(-3)=?应如何算呢？大家想想办法.

［生］要算8—(-3)=?可先考虑一下：+(-3)=8.利用有理数的加法法

则可知：11+

(-3)=8,所以8—(-3)=11.

［师］很好.这位同学从加法和减法是互为逆运算的角度

来考虑的，并且他计算正确.想一想，还可以怎样考虑？

［生］还可以利用温度计.因为温度是由温度计测出的.

所以可以在温度计上找到8℃与一3C所表示的点，然后看

这两个点之间有多少小格，数数一共有11个小格，因而8—

(-3)=11.

［师］这位同学想得办法也很好.他利用了温度计从零上

8"C数到零下3℃.这中间相隔11个小格.(出示温度计及小

黑板以帮助其他学生理解)

上面8个小格加下面3个小格等于11个小格,即：8+3=11

所以8-(-3)=11,而8+3=11.大家观察这两个算式及结果，你发现什么？

［生甲］这两个算式的结果都是11,所以：8-(-3)=8+3.

［生乙］一3与3是互为相反数.因为这两个算式的结果相同，所以可以说：

8减去一3等于8加上一3的相反数.

［生丙］还可以说：一个数减去另一个数等于加上另一个数的相反数.老师,

对吗？

［师］可以这么说.因为这只是从这个特例中得到的，它是否满足所有的有

理数的减法呢？还有待大家探索.下面我们做一练习(出示投影片§2.5B)

计算下列各式

(1)50-20=_____,50+(-20)=

(2)50-10=,50+(-10)=

(3)50-0=_50+0=_

(4)50-(-10)=,50+10=

(5)50-(-20)=,50+20=

大家在计算时，可运用上面谈到的两种方法中的任一种，还需注意：有理数

加法法则的运用.

［生］(1)30,30;(2)40,40；(3)50,50;(4)60,60;(5)70,70;

［师］很好.大家计算得非常正确.现在大家比较每横行的两个算式，能得出

什么结论？(分组讨论)

［生甲］一个数减去一个正数，等于加上这个正数的相反数一一负数.

［生乙］一个数减去0,等于加上0.

［生丙］一个数减去一个负数，等于加上这个负数的相反数一一正数.

［师］总结得很好.由每横行的两个算式的结果相同，知道这两个算式相等.

由此得到刚才大家讨论的结论.三个同学总结归纳了三个结论，对吗？

［生］不对，这三位归纳的实际是一个结论.

［师］那这个结论，应该怎么说呢？

［生］减去一个数，等于加上这个数的相反数.

［师］对.这就是有理数减法的法则：减去一个数，等于加上这个数的相反

数.这时，减法运算就可以转化为什么运算呢？

［生］减法可以转化为加法.

［师］对，利用有理数减法法则，把减法都可以转化为加法运算.在进行有

理数减法时要注意：

(1)首先应弄清减数的符号(是“+”号，还是“一”号)

(2)将有理数减法转化为加法时，要同时改变两个符号，一个是运算符号由

“一”变为“+”；另一个是减数的性质符号.

(3)注意有理数与0的减法运算.

下面我们通过例题来熟悉有理数的减法法则(出示投影片§2.5C)

［例1］计算下列各题：

(1)9—(—5)；(2)(—3)—1；(3)0—8;(4)(—5)—0;

分析：这个题可直接运用有理数减法法则.在进行计算时，一定要注意性质

符号和运算符号的变化.

解：(1)9-(-5)=9+5=14

(2)(-3)-1=(-3)+(-1)=-4

(3)0-8=0+(-8)=-8

(4)(一5)—0=—5

评述：通过此题要求学生正确运用有理数减法法则.

［师］下面通过练习进一步熟悉有理数减法法则.(出示投影片§2.5C)

口算下列各题：

(1)3—5;(2)3—(—5);

(3)(—3)—5;(4)(—3)—(—5);

(5)—6—(—6);(6)-7-0;

(7)0—(—7);(8)(—6)—6;

(9)9—(—11)

答案：(1)一2(2)8(3)-8(4)2(5)0(6)-7(7)7(8)-12

(9)20

［师］下面我们通过例题进一步熟悉有理数减法的法则的应用.(出示投影片

§2.5D)

［例2］世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度是8848米，吐鲁番盆

地的海拔高度是一155米，两处高度相差多少米？

分析：此题是有理数减法法则在现实中的应用，数字较大.注意运算的正确

性.

［师］本题求的是“两处高度相差多少米”，应该用什么方法计算呢？

［生］用减法计算.

［师］珠穆朗玛峰的海拔高度是8848米，那8848米有多少层楼高呢？一般

地，每层楼高为3米左右，我们按3米计算一下.

［生］大约有2949层楼高.

［师］噢，好高呀.那吐鲁番盆地与它相差多少米？

［生j9003米

解:8848—(-155)=8848+155=9003(米)

因此，两处高度相差9003米.

［师］下面我们回头看一下引例(出示投影片§2.5A)

刚才我们计算的是呼和浩特这天的温差.现在来计算一下：兰州这天的温差

是多少？西宁呢？乌鲁木齐、银川呢？

［生］兰州的温差是6-℃.西宁的温差是9-℃.乌鲁木齐的温度是7-℃,银川

的温差是3-℃

［师］回答正确.接下来大家看一个题(出示投影片§2.5D).能否通过自己

的努力，做出来？

［例3］全班学生分为五个组进行游戏，每组的基本分为100分，答对一题

加50分，答错一题扣50分，游戏结束时，各组的分数如下：

第一组第二组第三组第四组第五组

100150-400350-100

(1)第一名超出第二名多少分？

(2)第一名超出第五名多少分？

(教师引导学生认真阅读题目，使学生确定出题目中的数量关系，然后作答)

解：由上表可以看出，第一名得了350分，第二名得了150分，第五名得了

-400分.

(1)350—150=200(分)

(2)350—(—400)=750(分)

因此，第一名超出第二名200分，第一名超出第五名750分.

［师］好.大家都做得很好，说明大家已基本掌握了有理数减法的法则.下面

㈢随堂练习

课本P54习题2.61、2.

1.计算：

(1)(—3)—(—7);(2)(—10)—3;

(3)33-(-27);(4)0-12;

(5)(—11)—0;(6)(-4)—16.

答案：(1)4(2)-13(3)60(4)-12⑸-11(6)-20

2.填空

(1)-7+()=21;

(2)31+()=-85

(3)()-(-21)=37,•

(4)()-56=-40

答案：(1)28(2)-116(3)16(4)16

㈣课堂小结

本节课我们重点研究了有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的

相反数.

在进行有理数减法运算时，首先要先把减法转化为加法.转化时要注意符号

的变化.其次要利用有理数加法法则运算.最后得出结果.

六、作业布置：课后练习与习题

七、板书设计

1.4有理数的加减

二、有理数减法

1、例题

例1

例2

例3

2、随堂练习

3、课时小结

4、课后作业

八、教学反思

教学设计的初衷是希望学生在愉快轻松的学习氛围中掌握有理数减法法则

并通过老师板演及学生练习的展示进一步强调作业书写格式的规范。从整节课的

效果来看，这连个任务基本完成了。其次，在教学过程中，能够贯彻以学生为主

体，充分调动学生的积极性，引导学生思考、探索并以自己的语言概括出有理数

的减法法则。为初中数学学习方法的逐渐形成奠定了基础。

然而也存在了以下的不足：

1、教学时间上把握不准，出现虎头蛇尾的情况，计划中的小结部分未能体现。

2、应该根据学生不同的层次设计例题和练习。所以感觉部分学生反响不强烈。

没有很投入到练习中去。

(第三课时)

一、教学