2022年人教A版高中数学选择性必修第三册期末综合测评试卷 (二)

模块综合测评（二）

考试时间120分钟，满分150分.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1.设直线的方程是Ax+5y=0,从123,4,5这五个数中每次取两个不同的数作为A,B

的值，则所得不同直线的条数是（C）

A.20B.19

C.18D.16

［解析］由题意知本题是一个排列问题，:•从123,4,5这五个数中每次取两个不同的数

作为A,8的值有Ag=20（种）结果，

但是，在这些直线中有重复的直线，当A=l,8=2时和当A=2,8=4时结果相同；

当A=2,8=1时和当4=4,8=2时结果也相同.

二所得不同直线的条数是20—2=18.

2.某种微生物的繁殖速度y与生长环境中的营养物质浓度x相关，在一定条件下可用

回归模型y=21gx进行拟合.在这个条件下，要使y增加2个单位，则应该（D）

A.使x增加1个单位B.使x增加2个单位

C.使x增加到原来的2倍D.使x增加到原来的10倍

［解析］由y=21gx,得y+2=21gx+2=2（lgx+l）=21g（10x）,所以应该使x增加到原来

的10倍.故选D.

3.从A,B,C,D,E这5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛,

其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（C）

A.24B.48

C.72D.120

［解析］A参加时参赛方案有A』aAW=48（种）；4不加时参赛方案有A?=24（种），所以

不同的参赛方案共72种，故选C.

4.《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说.河图、洛书是中国古代流传下来的两幅

神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化、阴阳五行术数

之源.其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十

背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则两数差的绝对值为

1的概率为（D）

ooooooo

A-5B-25

C冬D2

J25525

［解析］由题意知，阳数有：1,3,5,7,9.阴数有:2,4,6,8,10.

从阴数和阳数中各取一数，样本空间中样本点的个数“=5X5=25.

两数差的绝对值为1包含的样本点有9个，分别为：

{1,2),{3,4},{5,6},{7,8},{9,10},(3,2),{5,4},{7,6},{9,8}.

9

则两数差的绝对值为1的概率尸==.

3

5.在(2+》)6(1+月川的展开式中，令％〉的系数为800,则孙’的系数为(B)

A.30B.960

C.300D.360

［解析］(2+x)6的展开式中X3的系数为CgX23,(1+y)，”的展开式中y的系数为c!“所

以x3〉的系数为CgX23：XC!“，所以CgX23><C,i"=800,即160机=800,解得〃2=5,所以(2

+x)6的展开式中x的系数为QX25,(l+y)5的展开式中)，4的系数为eg,所以孙4的系数为

CiX25XC^=6X32X5=960,故选B.

6.(2021・铁路十三中月考)已知随机变量X〜N(2,(T2)，若尸(XVa)=0.32,则PQWXW4

一〃)等于(C)

A.0.32B.0.68

C.0.36D.0.64

［解析］如图，由正态曲线的对称性可得「(”WX<4—“)=l-2P(X<a)=0.36.故选C.

7.2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布15项“世界互联网领先科技成果”，

有5项成果属于“芯片领域”，分别为华为技术有限公司“鲸鹏920”、清华大学“面向通

用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉公司“特斯拉完全自动驾驶芯片”、寒武记公司

“思元270”、赛灵思公司"Versal自适应计算加速平台”.若从这15项“世界互联网领先

科技成果”中任选3项，则至少有1项属于“芯片领域”的概率为(A)

67口24

AA-91B-91

7516

c.D.

9197

［解析］方法一：已知这15项“世界互联网领先科技成果”中有5项成果属于“芯片

领域”.记从这15项“世界互联网领先科技成果”中任选3项，至少有1项属于“芯片领

域”为事件A,则A：选出的3项都不属于“芯片领域”.易知P(A)=读=针，所以P(A)

=J1-P(A)=1

方法二：已知这15项“世界互联网领先科技成果”中有5项成果属于“芯片领域”.记

从这15项“世界互联网领先科技成果”中任选3项，至少有1项属于“芯片领域”为事件

A,X为选出的3项中属于“芯片领域”的项数，则P(A)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=

CtoCi,CloC?CYOC1=67

-

c］5十c?5+c?591-

8.从5名女教师和3名男教师中选出一位主考和两位监考参加2020年高考某考场的监

考工作.要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考

场后方监考，则不同的安排方案种数为(B)

A.105B.210

C.240D.630

［解析］分三类：①选三个女教师，全排列即可，不同的安排方案有Ag=60(种)；

②选两个女教师，一个男教师，男教师先挑位置，不同的安排方案有CbC*Ag=120(种);

③选一个女教师，两个男教师，女教师固定，不同的安排方案有C$A3=3O(种).

故不同的安排方案种数为60+120+30=210.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，

有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0

分)

9.某机构在研究是否爱好拳击运动与性别的关系时，通过收集数据得到如下2义2列联

表.

男女合计

爱好拳击运动352257

不爱好拳击运动152843

合计5050100

经计算得z2」“。变?二，^也［6.895.之后又对被研究者的身高进行了统计，

得到男、女身高分别近似服从正态分布N(175,16)和Ml64,9),则下列选项中正确的是

(AD)

附：

0.050.0100.0050.001

k3.8416.6357.87910.828

A.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好拳击”运动与性别有关

B.在100个男生中，至少有一个人爱好打拳击

C.男生身高的平均数为175,男生身高的标准差为16

D.女生身高的平均数为164,女生身高的标准差为3

［解析］/心6.895>6.635,所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为爱好拳

击运动与性别有关，所以A对；100个男生中，有可能都不爱好打拳击，B错；男生身高的

标准差为4,C错；显然D对，故选AD.

10.如图所示的电路中，A,B,C,D,E表示5只保险匣，图中所示数值表示通电时

保险丝被切断的概率，下列结论正确的是（BD

D

AB-n

-n

A.A,B所在线路畅通的概率为看

B.A,B,C所在线路畅通的概率为看

C.D,E所在线路畅通的概率为表

D.当开关合上时，整个电路畅通的概率为2余9

1?1

［解析］由题意知A,B所在线路畅通的概率为与A错误；A,B,C所在线路畅

通的概率为1—|x1=l—B正确；D,E所在线路畅通的概率为1—

C错误；根据上述分析可知，当开关合上时，整个电路畅通的概9Q率5为29毫D正确.故

选BD.

11.“杂交水稻之父”袁隆平致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明“三系法”

相型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食

安全、农业科学发展和世界粮食供给作出杰出贡献.某水稻种植研究所调查某地水稻的株高,

得出株高（单位：cm）服从正态分布，其密度函数为夕（x）=js^e—xC（—8,+

8）,则下列说法正确的是（AC）

A.该地水稻的平均株高为100cm

B.该地水稻株高的方差为10

C.该地水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多

D.随机测量一株水稻，其株高在（80,90）和在（100/10）（单位：cm）的概率一样大

［解析］因为密度函数为0（x）=

所以4=100,<r=10,即均值为100,标准差为10,方差为100,

故A正确，B错误；根据正态曲线的特征可知C正确，D错误.故选AC.

12.下列判断正确的是（AC）

A.若随机变量4服从正态分布Ml，『），P《<4）=0.79,则P（4W-2）=0.21

B.同时抛掷3枚质地均匀的硬币，若4=｛既有正面向上又有反面向上）,8=｛至多有

1枚反面向上｝,则A与B是互斥事件

C.若随机变量。〜B（4,J,贝I」E©=1

D.设0<p<l,随机变量4的分布列是

e012

1

pl-p2

222

则当p在①,1）内增大时，0（?先减小后增大

［解析］选项A,已知随机变量。服从正态分布Ml，标），则正态曲线关于直线X=1对

称，又尸（。<4）=0.79,二尸仁24）=1-0.79=0.21,

P（E》4）=0.21,故A正确;

选项B,同时抛掷3枚质地均匀的硬币的样本空间。=｛（正，正，正），（正，正，反），

（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反,正，反），（反，反，正），（反，反，反）｝,

事件A中所含的样本点为（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反,

正，反），（反，反，正），因此P（A）=点事件3中所含的样本点为（正，正，正），（正，正，

反），（正，反,正），（反，正，正），因比P（8）=£,事件A8中所含的样本点为（正，正，反）,

3

（正，反，正）（反，正，正），因此尸（AB）=g,因此尸（AB）=P（A）尸（B）,即事件A、B是相互独

立事件，不是互斥事件，故B错误；

选项C,由于随机变量1^一［4,则E（J=4X/=1,故C正确；

选项D,E©=0X〒+lX；+2xg=p+=

C©=（0一0一5x（1*打（2-p一分x§

-_p2+p+q=+

.•.pe（0,§时，£）（,单调递增；peg,1）时，D©单调递减，；.£）©先增大后减小,

故D错误.故选AC.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知A,8独立，若尸（A|B）=0.66,则P（K）=0.34.

［解析］因为A,B独立,所以尸（川8）=尸（4）=1一尸（A）=0.66,所以尸（A）=0.34.

14.某学习小组有三名男生、三名女生共计六名同学，选出四人进行学业水平测试，这

四人中所含女生人数记为〃，则〃的数学期望为2

［解析］方法一：〃的可能取值为1,2,3.

0,.CC1»公3D,4CbG1

pgl)_C4_亍尸(〃-2)_C4一百,P(〃-3)_C4-5-

；.〃的分布列为:

123

11

p55

I31

E(〃)=1X§+2X$+3X5=2.

4X3

方法二：由题意知〃服从参数为6,4,3的超几何分布，即〃〜4（6,4,3）,则以〃）=一6一=

2.

15.用0,123,4,5这六个数字组成一个无重复数字的六位数，要求偶数互不相邻，0和

5必须相邻，则满足条件的六位数的个数为60.（用数字作答）

［解析］根据题意，0和5必须相邻，有05和50两种情况：①按“50”，将“50”看成一

个整体与1,3全排列，排好后，要求偶数互不相邻，则有3个空位可选，再将“2”和“4”插入

到3个空位中，有AMQ36种排法,即有36个符合条件的六位数；②按“05”,将“05”看成

一个整体与1,3全排列，再将“2”和“4”插入到空位中，又由“05”不能排在第一位，则此时有

A认3—A3A3=36—12=24种排法，即有24个符合条件的六位数.一共有36+24=60个满

足条件的六位数.

16.某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具

活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一

直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p（pW0）,射击次数为匕若y的数学期望E（y）

>1，则0的取值范围是_（叁）一

［解析］由已知得p（y=i）=p,&y=2）=（i—p）p,p（y=3）=（i—pR

75I

则E(Y)=p+2(l—p)p+3(l-p)2=p2-3p+3＞z，解得2或p＜］,

又pe(O,l］,所以pG((),；).

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知3一亡》.

(1)求展开式中1的系数；

(2)设(2》一今〉的展开式中前三项的二项式系数之和为乂,(1+以)6的展开式中各项系

数之和为M若4M=M求实数。的值.

［解析］(D(2x一古)5的展开式的第r+1项为Tr+i=C«2x)5一｛一古＞=(一1厂25-155-

|«r=0,l,2,3,4,5).

令5—去■=-I,则r=4,.•.展开式中含;的项为及+1=(—1)4.2©«-1=¥，

所以展开式中1的系数为10.

(2)由题意可知，M=Cg+Cg+Cg=16,N=(l+a)6.

因为4A1=N,所以(l+a)6=64,所以“=1或a=—3.

18.(本小题满分12分)(2021•淮南二中月考)为了研究学生的数学核心素养与抽象能力

(指标X)、推理能力(指标y)、建模能力(指标z)的相关性，将它们各自量化为1,2,3三个等级，

再用综合指标w=x+y+z的值评定学生的数学核心素养,若则数学核心素养为一级;

若5WzuW6,则数学核心素养为二级；若3WwW4,则数学核心素养为三级.为了了解某校

学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：

学学

AiAA3A44AAiA8A9A10

编号26

(x,y,z)(2,2,3)(3,2,3)(3,3,3)(1,2,2)(2,3,2)(2,3,3)(2,2,2)(2,3,3)(2,1,1)(2,2,2)

(1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同

的概率；

(2)在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X,求随

机变量X的分布列及其数学期望.

［解析］

A7A\o

4A2A344444

X2331222222

y2232332312

Z3332232312

W7895786846

(1)由题可知：建模能力指标为1的学生是A9；建模能力指标为2的学生是At,A5,A7,

AIO;建模能力指标为3的学生是Ai,A2,A3,A6,AS.

记”所取的两人的建模能力指标相同”为事件A,记“所取的两人的综合指标相同”为

P(AB)_G+CW_4_1

事件8,则P(B|A)=P(A)=CI+Cl=l6=4-

(2)由题可知，数学核心素养等级是一级的学生为：Ai,A2,A3,A5,A6,A8,非一级的

学生为余下4人，

：.X的所有可能取值为0,1,2,3.

-P(x_0)_Go_30,？(x—1)—clo-10

CM_1CQ_1

尸,尸

(X=2)=C?o-2(X=3)=Go-6,

,随机变量X的分布列为

X0123

131

P

302

1311

..・E(X)=°X而+1X行+2X，+3Xd=18

19.(本小题满分12分)(2021・日照一中期中)“行通济”是广东佛山一带在元宵节期间

举行的游玩祈福活动.每到这一天，家家户户都会扶老携幼，自清晨到夜幕，举着风车、

摇着风铃、拎着生菜浩浩荡荡地由北到南走过通济桥，祈求来年平平安安、顺顺利利.为了

了解不同年龄层次的人对这一传统习俗的参与度，现随机抽取年龄分布在20〜80岁之间的

60人,并按年龄层次[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]绘制频率分布直

方图(如图所示)，其中参与了“行通济”活动的人数如下表.规定年龄(单位：岁)在[20,60)

内的为“中青年人”，60岁以上(含60岁)的为“老年人”.

年龄/岁参与人数

[20,30)3

[30,40)2

[40,50)3

[50,60)4

[60,70)5

[70,80)3

(1)根据己知条件完成下面的2X2列联表，并判断能否有99%的把握认为“老年人”比

“中青年人”更认同“行通济”这一民俗？

“老年人”人数“中青年人”人数总计

参与

没参与

总计

(2)用样本来估计总体，从年龄在［20,80］内的佛山市民中随机抽取3人,记抽到“老年

人”的人数为。，求随机变量占的分布列和数学期望.

参考公式：>=3+城黑黑g+4其中"=a+b+c+d为样本容量.

参考数据：

P〃2k)0.100.050.0250.010

k2.7063.8415.0246.635

［解析］(1)由题中的频率分布直方图可知，样本中“老年人”的人数为60X(0.01+

0.01)X10=12.由表中数据可知，参与“行通济”活动的人中，“老年人”有8人，“中

青年人”有12人，所以完成的2X2列联表如下：

“老年人”人数“中青年人”人数总计

参与81220

没参与43640

总计124860

根据列联表中的数据，可得/的观测值为喘叁就蓍=7.5>6.635,

1ZA4oAZU入4U

所以有99%的把握认为“老年人”比“中青年人”更认同“行通济”这一民俗.

(2)因抽取的年龄分布在20〜80岁之间的60人的样本中“老年人”有12人，所以从年

龄在［20,80］内的佛山市民中抽取1人恰好是“老年人”的概率为/则j的所有可能取值为

0,1,2,3,且4〜«3,则

1)=小9勘=普,2

P(『)=&=畏p《=P(^2)=C?X(1)x4=_ll

5-125,P(4=

3)=(5=击.

所以^的分布列为

0123

6448121

p125125125T25

4的数学期望为E©=3X1>*3

20.(本小题满分12分)(2021.呼和浩特一中检测)某投资公司准备在2020年年初将1000

万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择.

项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%,也可能

亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为7斜喉2

项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%,也可能亏

损30%,也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为与；和*.

(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；

(2)若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续

用作投资)，问大约在哪一年的年底总资产(利润+本金)可以翻一番？参考数据：Ig220.301

0,IgS5®0.4771.

［解析］(1)若按项目一投资，设获利为却，则却的分布列为

fl300-150

72

p99

7?

故E(.fi)=300X^+(-150)X^=200.

若按项目二投资，设获利为聂，则42的分布列为

42500-3000

11

p315

311

故E(6)=500X^+(-300)X^+0X-^=200.

773

222

又D^i)=(300-200)X(-150-200)X^=35000,£>(c2)=(500-200)X(-300

-200)2x|+(0-200)2X-jy=140000,

故E©)=E©),。©)<。皑)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.

综上所述，建议该投资公司选择投资项目一.

(2)假设〃年后总资产可以翻一番，依题意可得1000X0+'^^"=2000,即1.2"=2,

两边同时取对数得

〃=2=_1^2_-______(L30LQ_________8053

1g1.221g2+lg3-l2X0.3010+0.4771-1*

又“GN",所以”=4.

故大约在2023年的年底总资产可以翻一番.

21.(本小题满分12分)现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪.根

据猪的体重，将其分为三个成长阶段，如下表：

阶段幼年期成长期成年期

体重(kg)⑵⑻[18,82)[82,98]

根据以往经验，两个养猪场内猪的体重X均近似服从正态分布M50.162).

由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪的监控力度，高度重视

其质量保证，为了养出健康的成年期的猪，甲、乙两个养猪场引入两种不同的防控及养殖模

式.已知甲、乙两个养猪场内一头成年期的猪能通过质检合格的概率分别为4最宗3

(1)试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；

(2)已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利400元，若为不

合格的猪，则亏损200元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利

500元，若为不合格的猪，则亏损100元.记丫为甲、乙养猪场各出售一头成年期的猪所得

的总利润，求随机变量y的分布列，假设两个养猪场均能把成年期的猪售完，求两个养猪

场的总利润的期望值.

(参考数据：若Z〜M/Z,f)，则尸a—<7WZW"+<7)~0.683,尸(/L2<7WZW〃+2<7)凫0.954,

^0.997)

［解析］(1)设各阶段猪的数量分别为小，〃2,〃3,

•.•猪的体重X近似服从正态分布N(50,162),

,一0.997-0.954

；.P(2WX<18)=P(50-3X16WXV50-2X