江苏省南京八年级(上)期中数学试卷

期中数学试卷二题号得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）下列图案中，不是轴对称图形的是（）1.A.C.B.D.如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A=65°，∠B=80°，则∠F=（）2.3.A.B.C.D.35°80°65°45°BCE三点在同一条直线上，AC=CD，∠B=∠E=90°AC⊥CD，则不正确的结论是（）A.B.C.D.∠A=∠2∠1=∠2BC=DE∠A与∠D互为余角满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）4.5.A.C.B.D.∠A：∠B：∠C=2：3：5∠A-∠B=∠C∠A：∠B：∠C=3：4：5BC=3，AC=4，AB=5下列命题中，正确的说法有（）（1）两个图形关于某直线成轴对称，这两个图形一定全等；（2）直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；（3）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角的角平分线；（4）等腰三角形两腰上的中线相等．A.B.C.D.4个1个2个3个在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（）6.7.A.C.B.D.三边中线的交点三边垂直平分线的交点三边上高的交点三条角平分线的交点△ABC中，DE分别是边ABACAD=CE∠ADC+∠BEA=（）A.B.C.180°170°160°第1页，共18页D.150°如图，∠MON=90°△ABC中，AC=BC=AB=6△ABC的顶点AB分别在边OMON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的距离为整数的点有（）个．8.A.B.C.D.8567二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）若一个等腰三角形的两边长分别为3cm和2cm，则这个等腰三角形周长为______cm．9.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的OB射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是______．10.如图，在△ABC中，∠B=∠C，BD=CD，AB=10，BC=12，则AD=______．11.根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是______（填写正确的序号）．①AB=5，BC=4，∠A=60°；②AB=5，BC=6，AC=7；③AB=5，∠A=50°，∠B=60°；④∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°．12.若一个三角形的三边长分别为1.522.5，则这个三角形最长边上的中线为______．13.14.△ABC中，AB=ACAB的垂直平分线DE交AC于E∠A=36°∠EBC的度数是______．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°AB=3，分别以ACBC为直径作半圆，面积分别记为SS，则15.12S+S的值等于______．12第2页，共18页如图，在圆柱的截面ABCD中，AB=BC=6，动点P从点16.ABC的中点S的最短距离为______．如图，把长方形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处，已知∠MPN=90°，且PM=6，MN=10，那么矩形纸片ABCD的面积为______．17.如图，△ABC中，∠C=90°AC=4cmBC=3cmP从点CC→A→B→C的路径运动一周，且速度为每秒2cm，设运动时间为t秒，当t=______时，点P与△ABC的某两个顶点构成等腰三角形．18.三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=AD，请你添加一个边或角的条件，使得AC⊥BD．（1）添加的条件是______；19.（2）根据已知及添加的条件证明：AC⊥BD．第3页，共18页如图，锐角三角形ABC的两条高线BE、CD相交于点O，BE=CD．20.（1）求证：BD=CE；（2）判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知△ABC的三个顶点在格点上．21.（1）画出△ABC关于直线l对称的△ABC；111（2）在直线l上找一点P，使PA+PB的长最短；（不写作法，保留作图痕迹）（3）△ABC______直角三角形（填“是”或“不是”），并说明理由．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD∠B=90°AC，∠DAC=∠BAC．22.（1）求证：AD=DC；（2）若∠D=120°，求∠ACB的度数．第4页，共18页如图，车高4m（AC=4m），货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A处，经过测23.1量AC=2m，求弯折点B与地面的距离．1如图，△ABC的周长是12．24.（1∠ABC和∠ACB的角平分线BOCO，交点为O．过点O作BC的垂线，垂足为点E．（保（2）如果OE=1，求△ABC的面积．第5页，共18页【问题探究】小敏在学习了Rt△ABC的性质定理后，继续进行研究．25.（1i∠A=30°，BC与AB存在特殊的数量关系是______；（ii△ABC沿AC所在的直线翻折得△AHCBC和AB的关系；请根据小敏证明的思路，补全探究的证明过程；猜想：如果∠A=30°，BC与AB存在特殊的数量关系是______；证明：△ABC沿AC所在的直线翻折得△AHC，（2）如图③，点E、F分别在四边形ABCD的边BC、CD上，且∠B=∠D=90°，连接AE、AF、EF，将△ABE、△ADF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形，连接AC，若∠EAF=30°，AB=27，则△CEF的周长为______．如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点H为BD中点，CH的延长线交AB于点F．26.（1）求证：CH=EH；（2）若∠CAB=40°，求∠EHF；（3）如图②，若△DAE≌△CEH，点Q为CH的中点，连接AQ，求证：AQ∥EH．第6页，共18页答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、B、D选项都是轴对称图形，只有C选项不是轴对称图形，故选：C．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念可得答案．此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时互相重合．2.【答案】D【解析】解：∵△ABC与△DEF关于直线l对称∴∠A=∠D=65°，∠B=∠E=80°∴∠F=180°-80°-65°=35°．故选：D．根据轴对称的性质与三角形的内角和等于180°可得．主要考查了轴对称的性质与三角形的内角和外角之间的关系，关键是根据轴对称的性质得出∠A=∠D=40°，∠B=∠E=60°．3.【答案】B【解析】解：∵∠B=∠E=90°，∴∠A+∠1=90°，∠D+∠2=90°，∵AC⊥CD，∴∠1+∠2=90°，故B错误；∴∠A=∠2，故A正确；∴∠A+∠D=90°，故D正确；在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS），∴BC=DE，故C正确，故选：B．利用同角的余角相等求出∠A=∠2，再利用“角角边”证明△ABC和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等，对应角相等，即可解答．本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并确定出全等的条件∠A=∠2是解题的关键．4.【答案】B【解析】解：A．∠A：∠B：∠C=2：3：5，则∠C=180°×=90°，是直角三角形，故此选项不合题意；B．∠A：∠B：∠C=3：4：5，则最大角∠C=180°×=75，不是直角三角形，故此选项符合题意；第7页，共18页C．∵∠C=∠A-∠B，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴是直角三角形，故此选项不合题意；D．∵32+42=52，∴是直角三角形，故此选项不合题意；故选：B．根据勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形就222是直角三角形；三角形内角和定理进行分析即可．此题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形内角和定理，关键是正确掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形就是直角三角形．2225.【答案】B【解析】解：（1）两个图形关于某直线成轴对称，这两个图形一定全等，本说法正确；（2）直线l经过线段AB的中点，并且垂直于线段AB，则l是线段AB的垂直平分线，本说法错误；（3）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角的角平分线所在的直线，本说法错误；（4）等腰三角形两腰上的中线相等，本说法正确；故选：B．根据最底层的概念、线段垂直平分线的概念、等腰三角形的性质判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6.【答案】B【解析】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．故选：B．为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．7.【答案】A【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°，AC=BC∵AD=CE∴△ADC≌△CEB（SAS）∴∠ACD=∠CBE∴∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°．∴∠BOC=120°，∴∠DOE=120°，∴∠ADC+∠BEA=360°-60°-120°=180°，故选：A．根据等边三角形的性质，得出各角相等各边相等，已知AD=CE，利用SAS判定△ADC≌△CEB∠ACD=∠CBE∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°而利用四边形内角和解答即可．本题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．8.【答案】B第8页，共18页【解析】解：如图，取AB的中点D，连接CD．∵AC=BC=AB=6．∵点D是AB边中点，∴BD=AB=3，∴CD==3；连接OD，OC，有OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，又∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD=AB=3，∴OD+CD≤6．∴点C到点O的距离为整数的点有6个，故选：B．取AB的中点D．连接CD．根据三角形的边角关系得到OC小于等于OD+DC，只有当O、D及C共线时，OC取得最大值，最大值为OD+CD，根据D为AB中点，得到BD为3，根据三线合一得到CD垂直于AB，在Rt△BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在Rt△AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD等于AB的一半，由AB的长求出OD的长，进而求出DC+OD的取值范围．此题考查的是勾股定理，等腰三角形的性质，其中找出OC最大时的长为CD+OD是解本题的关键．9.【答案】8或7【解析】解：当2cm为底时，其它两边都为3cm，2cm、3cm、3cm可以构成三角形，周长为8cm；当2cm为腰时，其它两边为2cm和3cm，因为2cm、2cm、3cm可以构成三角形，周长为7cm．故这个等腰三角形周长为8或7cm．故答案为：8或7．因为等腰三角形的两边分别为2cm和3cm情况，需要分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．10.【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上【解析】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，第9页，共18页∴PE=PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．过两把直尺的交点P作PE⊥AOPF⊥BOPE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB．此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．11.【答案】8【解析】解：∵∠B=∠C，∴AB=AC，∵BD=CD，∴BD=DC=BC=6，AD⊥BC，∴AD===8．故答案为：8．根据等腰三角形的性质得到BD=DC=BC=6，AD⊥BC，根据勾股定理计算即可．本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a+b=c．22212.【答案】②③【解析】解：①当两边及其中一边的对角确定时，此时是ASS，可知这个三角形是不确定的；②当三角形的三边确定时，由SSS可知这个三角形是确定的；③此时可知三角形的两角及其夹边确定，由ASA可知这个三角形是确定的；④根据∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°不能画出唯一三角形；故答案为：②③．根据全等三角形的判定方法可知只有②③能画出唯一三角形．本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法，即SSSSASASA、AAS和HL是解题的关键，注意AAA和ASS不能判定两个三角形全等．13.【答案】【解析】解：∵三角形的三边长分别为1.5、2、2.5，∴1.5+2=2.5，222∴此三角形是直角三角形，斜边长为2.5，∴这个三角形最长边上的中线为=，故答案为：．根据勾股定理的逆定理求出三角形是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出即可．本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形斜边上的中线的性质，能根据勾股定理的逆定理求出三角形是直角三角形是解此题的关键．14.【答案】36°第10页，共18页【解析】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=72°，∵AB的垂直平分线DE，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=72°-36°=36°．故答案为：36°．根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠ABC，根据线段垂直平分线性质求出AE=BE，推出∠ABE=∠A，即可求出答案．本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．15.【答案】【解析】解：S=π（）=πAC，S=πBC，22212所以S+S=π（AC+BC）=πAB=．22212故答案为：根据半圆面积公式结合勾股定理，知S+S等于以斜边为直径的半圆面积问题得解．12此题考查勾股定理，根据半圆的面积公式以及勾股定理证明：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积，重在验证勾股定理．16.【答案】5【解析】解：如图所示，∵在圆柱的截面ABCD中AB=，BC=6，∴AB=××π=4，BS=BC=3，∴AS==5．故答案为：5．先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长．本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．17.【答案】【解析】解：如图，过点P作PE⊥MN于点E，∵∠MPN=90°PM=6，MN=10，∴PN=8，∵S△PMN=×PM×PN=×MN×PE，第11页，共18页∴PE==，∴AB=，又∵BC=PM+MN+PN=24，∴矩形纸片ABCD的面积为×24=，故答案为：．过点P作PE⊥MN于点EPNPE的长，进而依据AB与BC的长，即可得出矩形纸片ABCD的面积．本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．18.【答案】4或或或或3或【解析】解：∵△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴AB===5，当点P在边AC上时，当PA=PB时，如图1，作AB边上的高PE，则AE=BE=，易证得△APE∽△ABC，∴=，即=，∴AP=，此时（4-）÷2=（秒）；当CP=CB时，∵CP=3cm，此时t=3÷2=（秒）；当点P在边AB上时，当AC=AP，此时（4+4）÷2=4（秒）；当AP=PC时，如图2，第12页，共18页∴点P在AC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点，则AP=AB=，此时（4+2.5）÷2=（秒）当CP=CB时，如图3，作AB边上的高CD，∵AC×BC=AB×CD．∴CD==，在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP==1.8，∴BP=2DP=3.6，∴AP=1.4，∴t=（AC+AP）÷2=（4+1.4）÷2=（秒）当BC=BP时，∴BP=3cm，CA+AP=4+5-3=6（cm），∴t=6÷2=3（秒）；当PB=PC，∴点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点，此时CA+AP=4+2.5=6.5（cm），t=6.5÷2=（秒）；综上可知，当4或或或或3或时点P与△ABC的某两个顶点构成等腰三角形，故答案为4或或或或3或．分点P在边AC和边AB上讨论计算．此题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线，解本题的关键是求出点P的运动路程．第13页，共18页19.【答案】CB=CD【解析】解：（1）添加的条件是CB=CD，故答案为：CB=CD；（2）∵AB=AD，CB=CD，∴AC垂直平分BD，∴AC⊥BD．（1）根据题意添加条件即可；（2）根据线段垂直平分线的判定和性质定理即可得到结论．本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．20.【答案】证明：（1）∵在Rt△BCD与Rt△CBE中∠BDC=∠CEB=90°，，∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），∴BD=CE；（2）点O在∠BAC的平分线上，理由如下：∵在△BOD与△COE中，∴△BOD≌△COE（AAS），∴OD=OE，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴点O在∠BAC的平分线上．【解析】（1）根据HL证明Rt△BCD与Rt△CBE全等，进而得出BD=CE；（2）利用AAS证明△BOD与△COE全等，进而利用角平分线的性质解答即可．本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】不是【解析】解：（1）如图，△ABC为所作；111（2）如图，点P为所作；（3））△ABC不是直角三角形．理由如下：∵AC==，BC==，AB==，而（）+（）≠（），222第14页，共18页∴AC+BC≠AB，222∴△ABC不是直角三角形．故答案为不是．（1）利用网格特点和轴对称的性质画出A、B、C关于直线l的对称点A、B、C即可111；（2）连接AB交直线l于P，则利用两点之间线段最短可判断P点满足条件；1（3）利用勾股定理的逆定理可判断△ABC不是直角三角形．本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题和勾股定理的逆定理．22.【答案】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，∵∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC；（2）∵AB∥CD，∴∠B+∠DCB=180°，且∠B=90°，∴∠DCB=90°，∵AD=DC，∠D=120°，∴∠ACD=30°∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=60°．【解析】（1）由平行线的性质可得∠DCA=∠BAC=∠DAC，可得AD=DC；（2）由平行线的性质可得∠DCB=90°，由等腰三角形的性质可得∠ACD=30°，即可求解．本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练运用等腰三角形的判定是本题的关键．23.【答案】解：由题意得，AB=AB，∠BCA=90°，1设BC=xm，则AB=AB=（4-x）m，1在Rt△ABC中，AC+BC=AB，222111即：2+x=（4-x），222解得：x=，答：弯折点B与地面的距离为米．【解析】设BC=xmAB=AB=（4-xmRt△ABC中利用勾股定理列出方程2+x=2211（4-x）即可求解．2此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题关键．24.【答案】解：（1）如图，射线BO，射线CO，垂线OE即为所求．第15页，共18页（2）如图，作OF⊥AB于F，OG⊥AC于G，连接OA．∵点O是内心，∴OE=OF=OG=1，∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=•AB•OF+•BC•OE+•AC•OG=（AB+BC+AC）=6．【解析】（1）利用尺规根据要求作出图形即可．（2）利用角平分线的性质定理解决问题即可．本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25.【答案】BC=ABBC=AB6【解析】解：（1）（i）BC=AB，理由如下：在AB上截取BD=BC，∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴∠B=60°，且BD=BC，∴△BCD是等边三角形，∴CD=BD，∠BDC=∠BCD=60°，∴∠ACD=30°=∠A，∴AD=CD，∴BD=AD=BC，∴BC=AB；（ii）∵将△ABC沿AC所在的直线翻折得△AHC，∴△ABC≌△AHC，∴AB=AH，∠BAC=∠HAC=30°，BC=CH，∴∠BAH=60°，且AB=AH，∴△ABH是等边三角形，∴AB=BH，∴BC=BH=AB；（2）∵将△ABE、△ADF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形，∴AB=AD，BE+DF=EF，∠BAD=2∠EAF=60°，∵AB=AD，AC=AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠BAC=∠DAC=30°，BC=CD，∵AB=27，2∴AB=3，∵tan∠BAC=，第16页，共18页∴BC=3=CD，∴△CEF的周长=EC+CF+EF=EC+CF+BE+DF=BC+CD=6．故答案为：6．（1iAB上截取BD=BC△BCD是等边三角形，CD=BD∠BDC=∠BCD=60°，可得BD=AD=CD=BC，可得结论；（ii）由折叠的性质可得AB=AH，∠BAC=∠HAC=30°，BC=CH，可证△ABH是等边三角形，可得AB=BH=2BC；（2）由折叠的性质可得AB=AD，BE+DF=EF，∠BAD=2∠EAF=60°，由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△ADC，可得∠BAC=∠DAC=30°BC=CD，由直角三角形的性质可求BC=3，即可求解．本题四边形综合题，考查了等边三角形判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质等知识，求出BC的长是本题的关键．26.【答案】（1）证明：如图①，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，在Rt△DEB和Rt△DCB中，∠DEB=∠DCB=90°，H为BD的中点，∴EH=BD，CH=BD，∴EH=CH；（2）解：∵H为BD的中点，∴BH=BD，∴BH=EH=CH，∴∠HCB=∠HBC，∠HEB=∠HBE，在△CHB和△EHB中，∠DHC=∠HCB+∠HBC，∠DHE=∠HEB+∠HBE，∴∠DHC=2∠HBC，∠DHE=2∠HBE，∴∠CHE=2∠CBA，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴∠A+∠CBA=90°，∵∠A=40°，∴∠CBA=50°，∴∠CHE=100°，∴∠EHF=80°；（3）证明：如图②，连接AH，∵△DAE≌△CEH，∴AE=EH，∠AED=∠EHC=90°，第17页，共18页∵HC=HE，DH=BD，∴AE=ED=EH=DH=CH，∴△DEH是等边三角形，∴∠DEH=∠DHE=60°，∴∠DHC=∠EHC-∠EHD=30°，∠AEH=∠AED+∠DEH=150°，∵AE=EH，DH=CH，∴∠EHA=（180°-∠AEH）÷2=15°，∠HCD=（180°-∠DHC）÷2=75°，∴∠AHC=∠EHC-∠EHA=75°，∴∠AHC=∠ACH=75°，∴AC=AH，∵Q是CH的中点，∴AQ⊥CH，∴∠AQC=90°，∴∠AQC=∠EHC，∴AQ∥EH．【解析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质证明即可．（2∠HCB=∠HBC，∠HEB=∠HBE，由三角形外角的性质得：∠DHC=2∠HBC，∠DHE=2∠HBE，从而有∠CHE=2∠CBA，计算∠CBA=50°，根据平角的定义可得结论；（3）如图②，连接AH，先证明AE=ED=EH=DH=CH，得△DEH是等边三角形，所以∠DHC=30°∠AEH=150°，再证明AC=AH，根据等腰三角形三线合一可得AQ⊥CH，最后根据同位角相等，两直线平行可得结论．本题是三角形的综合题，考查全等三角形的性质，直角三角形斜边的中线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．第18页，共18页∴BC=3=CD，∴△CEF的周长=EC+CF+EF=EC+CF+BE+DF=BC+CD