优质课：空间向量的数乘运算

一、空间向量的数乘：

2、空间向量的数乘的性质（1）当时，与同向（2）当时，与反向1、定义：实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘（3）当时，第一页第二页，共20页。2、空间向量的数乘的运算律（3）数乘结合律：（1）数乘分配律1：（2）数乘分配律2：第二页第三页，共20页。1、定义：如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量二、空间中的共线向量

（或平行向量）第三页第四页，共20页。2、空间中共线向量的性质

（1）共线（2）非零共线向量的传递性：（3）零向量与任一向量共线，第四页第五页，共20页。（4）空间共线向量定理：对空间任意两个向量有且只有一个实数，使思考1：为什么要强调思考2：这个定理有什么作用？1、判定两个向量是否共线2、判定三点是否共线第五页第六页，共20页。OABPa若P为A,B中点,则向量参数表示式推论:如果为经过已知点A且平行已知非零向量的直线,那么对任一点O,点P在直线上的充要条件是存在实数t,满足等式其中向量叫做直线的方向向量.若则A、B、P三点共线。第六页第七页，共20页。空间向量的基本定理——共面向量定理共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.OA注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。第七页3—1—2第八页，共20页。1、如果向量e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a与

e1,e2有什么关系?

如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a，存在惟一的一对实数a1，a2，使a＝a1

e1

＋a2

e22、平面向量基本定理复习：第八页第九页，共20页。

（1）必要性：如果向量c与向量a，b共面，则通过平移一定可以使他们位于同一平面内，由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的实数对x，y，使c＝xa＋yb3、共面向量定理：

如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb证明：（2）充分性：如果c

满足关系式c＝xa＋yb，则可选定一点O，作OA＝xa，OB＝AC＝yb，于是OC＝OA＋AC＝xa＋yb＝c，显然OA，OB，OC，都在平面OAB内，故c，a，b共面BACOc第九页第十页，共20页。共面向量定理的剖析

如果两个向量a，b不共线,★

向量c与向量a，b共面存在唯一的一对实数x，y，使

c＝xa＋yb★

c＝xa＋yb向量c与向量a，b共面(性质)(判定)第十页第十一页，共20页。第十一页第十二页，共20页。得证.为什么?第十二页第十三页，共20页。※判定空间中三点A、B、C共线的常用方法：（1）只需得到存在实数，使（2）对空间任意点O，存在实数t,使特别地，当t=1/2时，此时，点C恰为线段AB的中点第十三页第十四页，共20页。例1、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，C三点共面：第十四页第十五页，共20页。例2(课本例)如图，已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量,

,

,,求证：⑴四点E、F、G、H共面；⑵平面EG//平面AC.

第十五页第十六页，共20页。例2(课本例)已知ABCD，从平面AC外一点O引向量求证：①四点E、F、G、H共面；②平面AC//平面EG.证明：∵四边形ABCD为①∴（﹡）（﹡）代入所以E、F、G、H共面。第十六页第十七页，共20页。1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：(A)若，则P、A、B共线(B)若，则P是AB的中点(C)若，则P、A、B不共线(D)若，则P、A、B共线2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，,则x的值为()第十七页第十八页，共20页。1.下列说明正确的是：(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线(D)在空间共线的向量在平面内一定共线2.下列