广东省潮州市2022-2023学年高三上学期期末数学试题（含解析）

潮州市2022-2023学年度第一学期期末高三级教学质量检测卷数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保特答题卡的整洁､考试结束，将答题卡交回.一､选择题（本题共12道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至12小题为多项选择题）（一）单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得到方程组，解出即可.【详解】由题意得，解得或，故.故选：B.2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算求出复数，即可得出答案.【详解】，则，则复数在复平面内对应的点在第一象限，故选：A.3.某种心脏手术成功率为0.7，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.7，故我们用0､1､2表示手术不成功，3､4､5､6､7､8､9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：856､832､519､621､271､989､730､537､925､907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5【答案】B【解析】【分析】从随机数中观察得出三个数都是大于2的组数，从而可得概率．【详解】10组随机数中，代表“3例心脏手术全部成功”的有共3个，所以估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.故选：B4.若，则（）A.4 B.8 C.80 D.3125【答案】C【解析】【分析】两边求导代入即可得到答案.【详解】两边同时求导得．令，则故选：C．5.如图是函数的图象，则函数的解析式可以为（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导数说明函数的单调性，即可判断.【详解】解：对于A：定义域为，当时，则，即函数在上单调递增，故A错误；对于B：定义域为，且，，所以，故B错误；对于C：定义域为，又，所以当时，当或时，即函数在，上单调递减，在上单调递增，故C错误；对于D：定义域为，所以当或时，当时，即函数在，上单调递增，在上单调递减，符合题意；故选：D6.正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据基本不等式“1”的妙用可得的最小值为4，再根据含参不等式恒成立解一元二次不等式，即可得实数的取值范围.【详解】正实数满足，则，当且仅当，即且时，等号成立，则时，取到最小值4，要使不等式恒成立，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.7.已知抛物线的焦点为F，过F的直线与E交于A，B两点，且.则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】不妨设点A在第一象限，根据题意联立方程结合韦达定理求，进而可求结果.【详解】由题意可知：抛物线的焦点F为，不妨设点A在第一象限，设直线，联立方程，消去y得，则，∵，可得，联立方程，解得，代入可得，解得或（舍去），可得，故的面积.故选：A.8.点，分别是棱长为的正方体中棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则的长度的最小值是（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】取的中点，的中点F，连结，，，取EF中点O，连结，证明平面平面，从而得到P的轨迹是线段，则当P与O重合时，的长度取最小，计算此时长度即可.【详解】取的中点，的中点F，连结，，，取EF中点O，连结，,∵点M，N分别是棱长为2的正方体中棱BC，的中点，，,，四边形为平行四边形，，而在平面中，易证，∵平面，平面，平面，平面，平面，平面，又，平面，∴平面平面，∵动点P在正方形（包括边界）内运动，且平面AMN，∴点P的轨迹是线段EF，，，∴，∴当P与O重合时，长度取最小值，故选：D．（二）多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9.下列说法正确的是（）A.，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越扁平B.运用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过点C.相关系数r越大，y与x相关的程度就越强D.利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系【答案】BD【解析】【分析】根据正态曲线的几何特征，判断选项A；由回归直线方程的性质，判断选项B和C；【详解】对于A，根据正态曲线几何特征，可知当不变时，即越小，该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高，故A错误；对于B，运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心，故B正确；对于C，线性相关系数绝对值越接近1，表明2个随机变量相关性越强，故C错误；对于D，因为随机变量的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越小，故D正确.故选：BD.10.设函数在上单调递减，则下列叙述正确的是（）A.的最小正周期为B.关于直线轴对称C.在上的最小值为D.关于点对称【答案】C【解析】【分析】根据可求出，即可根据三角函数的性质依次判断.【详解】由条件知，，，，或.时，在上不单调递减；，.对A，的最小正周期为，故A错误；对B，，故B错误‘；对C，当时，，所以，所以，所以在上的最小值为，故C正确；对D，，关于点对称，故D不正确.故选：C.11.已知双曲线的左，右焦点为，记，则下列结论中正确的是（）A.若，则曲线的离心率B.若以为圆心，为半径作圆，则圆与的渐近线相切C.直线与双曲线相切于一点D.若为直线上纵坐标不为0的一点，则当的纵坐标为时，外接圆的面积最小【答案】ABD【解析】【分析】根据双曲线的离心率公式计算即可判断A；求出圆心到渐近线的距离即可判断B；根据直线与双曲线的渐近线的位置关系即可判断C；利用正弦定理求出外接圆的半径，由半径最小确定的位置，即可判断D.【详解】对于A，若，则，则，故曲线的离心率，故A正确；对于B，曲线的渐近线为，，，以为圆心，为半径的圆为，圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，所以以为圆心，为半径作圆，则圆与的渐近线相切，故B正确；对于C，因为直线与双曲线的渐近线平行，所以直线与双曲线相交，且交点只有一个，故C错误；对于D，由正弦定理可知外接圆的半径，所以当最大，即时，最小，而，设，由，可得，即，所以，所以，故D正确.故选：ABD12.已知函数的定义域为，导函数为，满足，（为自然对数的底数），且，则（）A. B.C.在处取得极小值 D.无极大值【答案】BCD【解析】【分析】设，对其求导可得，因此设，根据题意可得的解析式，对A：利用导数判断的单调性分析判断，对B、C、D：利用导数判断的单调性分析判断.【详解】设，则，可设，则，解得，故，即，令，则，故在上单调递增，∴，即，则，A错误；∵，令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，∴，在处取得极小值，无极大值，B、C、D均正确故选：BCD.【点睛】结论点睛：（1）形式，联想到；（2）形式，联想到.二､填空题（本题共4小题､每小题5分，共20分）13.设是圆上不同的两点.且.则______.【答案】6【解析】【分析】设点为的中点，则，再根据数量积的定义计算即可.【详解】如图，设点为的中点，则，则.故答案为：.14.在等比数列中，，记数列的前项和､前项积分别为，则的最大值是______.【答案】8【解析】【分析】结合题意求出数列的首项与公比，进而求出前项和､前项积分别为，，然后表示出，结合函数的性质即可判断.【详解】因为，，所以公比，所以，所以，，，，因为，所以或时，取最大值.故答案为：815.如图，正四棱锥的每个顶点都在球M的球面上，侧面是等边三角形．若半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O的半径与球M的半径的比值为_______．【答案】【解析】【分析】设，求得到四棱锥各个顶点的距离相等，说明为球的球心，分别求出半球与球的半径，从而可得答案．【详解】解：如图，连接，，取的中点，连接，，过作于，可知底面，设，则，，，，设球的半径为，半球的半径为，则，，在等边三角形中，求得，由，所以，即半球的半径为，所以，所以半球O的半径与球M的半径的比值为.故答案为：.16.定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的所有零点之和为______.【答案】18【解析】【分析】判断出的对称性、周期性，画出与的图象，结合图象求得的所有零点之和.【详解】∵满足，则关于直线对称，又∵是定义在上的奇函数，则，即，则，∴是以4为周期的周期函数，对，可得，则，∴关于点对称，令，则，可知：与均关于点对称，如图所示：设与的交点横坐标依次为，则，故函数的所有零点之和为.故答案为：18.三､解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18-22题每小题12分，共70分）17.对于数列，若对任意，都有成立，则称数列为“有序减差数列”.设数列是递减等比数列，其前项和为，且.（1）求数列的通项公式，并判断数列是否为“有序减差数列”；（2）设，求的值.【答案】（1），数列是否为“有序减差数列”（2）【解析】【分析】（1）由递减等比数列得公比，即可求得，，由公式法写出通项公式、，再由定义判断“有序减差数列”；（2）化简，分组求和即可.【小问1详解】∵数列是递减等比数列，∴数列的公比，又∵，∴.∴，∴，，∴，∴数列是“有序减差数列”；【小问2详解】，则.18.在平面四边形中，.（1）求的长；（2）若为锐角三角形，求的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可；（2）弦有三角形为锐角三角形求出角的范围，在中，利用正弦定理将用角表示出来，再结合三角函数的性质即可得解.【小问1详解】在中，，由余弦定理可得，即，解得或；【小问2详解】因为，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，在中，因为，所以，由，得，所以，所以.19.在四棱锥中，底面四边形是一个菱形，且，，，平面.（1）若是线段上的任意一点，证明：平面平面；（2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明过程见详解（2）【解析】【分析】由四边形是菱形得出，利用线面垂直得到，根据线面垂直的判断和面面垂直的判定即可证明；(2)取的中点，连接，建立如图空间直角坐标系，求出相应的坐标，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】因为四边形是一个菱形，则，又因为平面，平面，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.【小问2详解】取的中点，连接，因为四边形是菱形，且，所以，因为，则，又因为平面，平面，所以，建立如图所示空间直角坐标系，由题意可知：，，，，，因为，则，设，则有，所以，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.20.核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽扰子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为，现有4例疑似病例，分别对其取样､检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验.现有以下三种方案：方案一：逐个化验；方案二：四个样本混合在一起化验；方案三：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.（1）若，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一､二､三中哪个最“优”？（2）若对4例疑似病例样本进行化验，且想让“方案二”比“方案一”更“优”，求p的取值范围.【答案】（1）方案一最优（2）【解析】【分析】（1）求得三个方案的检测次数的期望值，由此判断出最优的方案；（2）记方案二的检测次数为，求出对于随机变量的概率，从而求出数学期望，由方案二检测次数的期望值，即可求得的取值范围.【小问1详解】方案二：记检测次数为，则随机变量的可能取值为1，5，所以，，所以方案二检测次数的数学期望为；方案三：每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为1次，其概率为，若呈阳性则检测次数为3次，其概率为，设方案三的检测次数为随机变量，则的可能取值为2，4，6，所以，，，所以方案三检测次数Y的期望为，因为，所以方案一最优；【小问2详解】方案二：记检测次数为，则随机变量的可能取值为1，5，所以，，所以随机变量的数学期望为，由于“方案二”比“方案一”更“优”，则，可得，即，解得，所以当时，方案二比方案一更“优”.21.已知椭圆的左､右顶点分别为，点为椭圆上一点，点，关于轴对称，且的面积的最大值为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线分别交轴于点，若成等比数列，求点的纵坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）通过的面积的最大值为2这三个条件，即可求得椭圆的标准方程；（2）由题意，设出，分别表示出对应的式子，又因其构成等比数列，即可求得的纵坐标的值．【详解】（1）由，可得，解得，又的面积的最大值为，所以.所以，椭圆C的方程为.（2）由题意知，点与点不重合，设，则直线的方程