定积分不等式

第三章一元积分学第三节定积分值的估计及不等式定积分值的估计及不等式证明是一个较难的问题，方法多样，用到的知识〔微分学的知识，积分学的知识等〕也很多。总的说来：〔1〕主要用积分学的知识，除了定积分的性质、积分中值定理、计算方法外，以下几个简单的不等式也是有用的：〔i〕假设，那么.〔ii〕.〔iii〕假设,那么.(iv)(柯西不等式)(2)主要用微分学的知识,包括前面己讲过的利用微分学知识证明不等式的一切方法.(3)利用二重积分、级数等．值得注意的是：题目的解法往往有多种，同一题目其解答过程中往往要用到各种知识和方法．例１．判断积分的符号分析：这个积分值是求不出来的．如果被积函数在积分区间上有确切的符号，那么积分值的符号很容易判断．如果被积函数在积分区间上有正、有负，那么应根据被积函数的正、负情况将积分区间分成局部区间，然后利用积分学等方面的知识比拟在这些局部区间上的积分值〔实际上是比拟积分值的绝对值〕．此题中被积函数在积分区间上有正、有负，先作换元：，把积分变为后，问题更清晰，因而想到至此积分的符号凭直觉已经能判断了．但严格说明还需做一些工作，上式右端两个积分的积分区间不一样，为了方便比拟，应将两个积分放在同一积分区间上进行比拟．有了这些分析和思路后，解答就容易了．解：令，那么＝对上式右端后一积分换元得从而注：此题的解答过程不复杂，但其过程中有两个技巧很有用〔１〕将积分区间分成局部区间〔尤其是等分区间，特别是二等分〕〔２〕如要比拟两个在不同积分区间上的积分的大小，可通过换元变成相同积分区间上的积分，然后比拟．例２．设，证明：分析:：从形式上看很象柯西不等式，但两个积分的积分区间不一样，前面的积分可用教材上介绍的一个等式变为上的积分，再用柯西不等式便可得结论。解：例３．设在上有一阶连续导数，且，证明：〔１〕〔２〕分析：〔１〕该不等式实际上给出了左边积分的一个界。假设令，那么有，即给出了导数的界，再加条件，可估计出，进而估计出积分的界。〔２〕不等式两边分别有和，而等式可将两者联系起来，这里要根据具体问题具体选择，此题中容易想到证明：〔１〕令，由拉氏中值定理知从而所以〔２〕，那么故注：〔１〕中，假设将条件改为(i)，结论仍成立，(ii),右端改为,(iii)且,右端改为,另外此题也可利用等式去证:所以(2)中右边作为左边积分的一个界有点粗(证明过程中能感觉到这一点),我们可以更精细一点：不做(2)的证明过程中的第二步放大,便可证出上面结论：,再分部即可．例４．设在上有二阶连续导数，，证明：方法一：利用上一节中的例10中的〔2〕，或练习题21可证出结论。方法二：由泰勒公式有两边在上积分并注意到得，从而得方法三：令，那么，且，由泰勒公式有：〔1〕〔2〕〔1〕—〔2〕得所以例５．设在上连续且单调增加，求证：分析：此题有多种证明方法，思路一：这里有两个参数，把改成变量，欲证左右两边均是函数，可利用导数这一工具去证明．思路二：变形为被积函数中因子关于积分区间中点具有某种对称性，而又单调，因此可想到前面介绍的利用对称性计算积分的有关公式去处理．思路三：基于思路二的考虑，将积分区间二等分，然后用积分中值定理或其它方法去证．思路四：由于故就一目了然．思路五：变形为那么看过例6后就知道怎么做了．证：令，那么且从而取，便得，结论得证．或：〔或：〕或：注：第一种方法我们称之为变易常数法，即把某个常数〔在积分中一般是积分上限或下限〕换成变量，从而化为一个函数不等式，再利用微分学的知识及其它知识去证明，这是一种常用的技巧。此题假设把条件“连续且单调增加〞改为“单调且有界〞，结论仍成立。但变易常数法不能用〔为什么？〕。例6．设在上连续且单调增加，求证：分析：右端出现了两个积分，假设将两个积分的积分变量换成不同符号那么可化为二重积分：而左边亦可化为二重积分：这样就化为二重积分的比拟了。证：令那么同样可得两式相加得故结论得证。注：此题是通过化为二重积分来证明，这也是有用的方法。仔细体会这个证明过程并用此方法去证一下柯西不等式。凹凸性及平均值等式例7．设在上连续，且为凹函数即对，及有证明：证明：从而得左过得不等式，下证右过不等式，有从而两边积分得于是得右过不等式．注：能看出该不等式的几何意义吗？个正数的算术平均、几何平均、调和平均有如下关系：我们把以上关系推广到积分形式：设正值连续，那么〔１〕上面不等式中的第一项称为在上的调和平均，第二项称为在上的几何平均，第三项称为在上的算术平均．还可推广到加权平均的形式：，其中为正值连续函数〔２〕下面证一下〔２〕对于任意，有取，那么，从而两边在上积分，并注意到不等式右边最后一项的积分为零，得即下证左过不等式：左过不等式等价于把右边不等式的换成，便得上式．分析上面证明过程，可以发现关键用到了：的二阶导大于零及．因此有下面更一般的结论：设在上连续，且，在上有二阶导数，且，那么〔３〕注：，那么上面不等式变号．同学可仿〔2〕的证明去证一下〔3〕练习题:证明:(,而)证明:〔左－右＝，然后用利用对称性计算积分的有关公式〕证明:〔通过换元将左、右积分分别比为和，然后比拟被积函数的大小便可得结论〕设表示椭圆的周长，证明：〔由弧长公式可得，由可得左边不等式，再用积分的柯西不等式可得右边不等式〕设在上有一阶连续导数，证明：〔假设在上不变号，不等式成立；假设变号那么存在，使得，由，可得结论．〕设在上连续可导，证明对，有〔由积分中值定理知，再由可得结论〕设在上连续可导，且，证：〔利用〕设在上连续可导，且，证：〔,再用柯西不等式)设在上连续可导，且，，证：〔令，利用导数证明〕１０．〔１〕设在上有二阶连续导数，且，证明：〔２〕设在上有阶连续导数，，，证明：〔〔1〕利用上一节中例10的〔1〕，〔2〕是〔1〕的推广，先证明：，其中〕１１．设在上有二阶连续导数，且证明：对有〔左〕１２．设在上有二阶连续导数，且，证明：〔，利用上题有而当时总有〕１３．设在上连续可导，且，证明：〔左而〕14．设在上连续且单调增加，且连续，求证：15．设在上连续，且，证明：〔左边不等式可用二重积分或柯西不等式去证，左边不等式与条件“〞无关，但需“〞。右边不等式的证明有一定难度：〕１６．设在上连续，且单调减少，证明：〔用二重积分证明〕１７．证明：〔，，其中，