高等数学（下册）资料期末复习试题与答案

1、. .PAGE24 / NUMPAGES24一、填空题（共21分 每小题3分）1曲线绕轴旋转一周生成的旋转曲面方程为2直线与直线的夹角为3设函数，则4设级数收敛，则5设周期函数在一个周期的表达式为 则它的傅里叶级数在处收敛于 6全微分方程的通解为7写出微分方程的特解的形式二、解答题（共18分 每小题6分）1求过点且垂直于直线的平面方程解：设所求平面的法向量为，则 (4分)所求平面方程为 (6分)2将积分化为柱面坐标系下的三次积分，其中是曲面与所围成的区域 解： (3分) (6分)3计算二重积分，其中闭区域解 三、解答题（共35分 每题7分）1设，而，求解：(3分) (6分) (7分)2函数由方

2、程所确定，求解：令， (2分)则 (5分)， (7分)3计算曲线积分，其中是在圆周上由到点的有向弧段解：添加有向辅助线段，有向辅助线段与有向弧段围成的闭区域记为，根据格林公式 (5分) (7分)4设曲线积分与路径无关，其中是连续可微函数且满足，求解： 由得 ，即 (3分) 所以 ， (6分) 代入初始条件，解得，所以 (7分)5判断级数的敛散性解： 因为 (3分) (6分)故该级数收敛 (7分)四、（7分）计算曲面积分，其中是上半球面的上侧解：添加辅助曲面，取下侧，则在由和所围成的空间闭区域上应用高斯公式得 (4分) (6分) (7分) 五、（6分）在半径为的圆的接三角形中，求其面积为最大的三

3、角形解：设三角形各边所对圆心角分别为，则， 且面积为， 令 (3分)由 (4分)得此时，其边长为 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当接三角形为等边三角形时其面积最大 (6分)六、（8分）求级数的收敛域，并求其和函数解： ，故收敛半径为 (2分)当时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛； 当时， 级数为调和级数，发散故原级数的收敛域为 (5分)设和为，即，求导得， (6分)再积分得 ， (8分)七、（5分）设函数在正实轴上连续，且等式对任何成立如果，求解：等式两边对求偏导得 (2分)上式对任何仍成立令，且因，故有 (3分)由于上式右边可导，所以左边也可导两边求导，得即故通解为当时，故因此所求的函数

4、为 (5分)八 （5分）已知，是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程解1：由线性微分方程解的结构定理知与是对应齐次方程的两个线性无关的解，是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为将代入上式，得，因此所求的微分方程为解2：由线性微分方程解的结构定理知与是对应齐次方程的两个线性无关的解，是非齐次方程的一个特解，故是所求微分方程的通解，从而有，消去，得所求的微分方程为06高数B一、填空题（共30分 每小题3分）1坐标面上的双曲线绕轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为2设函数，则3直线与直线的夹角为 4. 设是曲面与所围成的区域积分，则化为柱面坐标系下的三次积分形式是 5. 设是圆周，取正向，则曲

5、线积分6. 幂级数的收敛半径 7设级数收敛，则 8设周期函数在一个周期的表达式为 则它的傅里叶级数在处收敛于9全微分方程的通解为10写出微分方程的特解的形式二、解答题（共42分 每小题分）1求过点且垂直于直线的平面方程解：设所求平面的法向量为，则 (4分)所求平面方程为 (2分)2函数由方程所确定，求解：令， (2分)则 (2分) (2分)3计算，其中是由直线与所围成的闭区域解法一： 原式 (2分). (4分)解法二： 原式.(同上类似分)4计算，其中是由即坐标轴所围成的在第一象限的闭区域解： 选极坐标系原式 (3分) (3分)5计算，其中是曲线上由到的一段弧解：原式 (3分) (3分)6判断

6、级数的敛散性解： 因为 (3分)， (2分) 故该级数收敛 (1分)7求微分方程满足初始条件的特解解：特征方程 ，特征根 通解为 ， (3分)，代入初始条件得 ，所以特解 (3分)三、（8分）计算曲面积分，其中是上半球面的上侧解：添加辅助曲面，取下侧，则在由和所围成的空间闭区域上应用高斯公式得(4分) (2分)(2分) 四、（8分）设曲线积分在右半平面与路径无关，其中可导，且满足，求解：由，得， 即， (3分) 所以， (3分)代入初始条件，解得，所以 (2分)五、（6分）求函数的极值解：得驻点 (3分)在点处，故非极值；在点处，故是极小值 (3分)六、（6分）试证：曲面上任一点处的切平面都过

7、原点证：因 (3分)则取任意点，有，得切平面方程为即 故切平面过原点 (3分)07A填空题（每小题3分，共21分）1设向量，已知与垂直，则2设，则3坐标面上的曲线绕轴旋转一周生成的旋转曲面方程为4过点且与直线垂直的平面方程5二元函数的定义域为6函数，则7设，则8设，具有连续偏导数，则9曲线上点处的切向量10交换积分顺序：11闭区域由曲面与平面所围成，将三重积分化为柱面坐标系下的三次积分为12设为下半圆周，则13设为取正向圆周，则14设周期函数在一个周期的表达式为则它的傅里叶级数在处收敛于15若，则级数的敛散性是 发散 16级数的敛散性是 收敛 17设一般项级数，已知收敛，则的敛散性是 绝对收敛

8、 18微分方程是 2 阶微分方程19微分方程的通解20微分方程的特解形式为二、（共5分）设，求解：三、（共5分）设，求解：令四、（共5分）计算，其中为三个坐标面与平面所围成的闭区域解：五、（共6分）计算，其中为由点到点的上半圆周解：添加有向辅助线段,则有向辅助线段和有向弧段围成闭区域记为，根据格林公式六、（共6分）求幂级数的收敛域解：对绝对值级数，用比值判敛法当时，即，原级数绝对收敛当时，即，原级数发散当时，根据莱布尼兹判别法，级数收敛当时，级数发散，故收敛域为七、（共5分）计算，其中为球面在第一卦限的外侧解：在面的投影：八、（共7分）设，求使为某二元函数的全微分，并求解：由，得，即所以 带入

9、初始条件，解得,所以07高数B得分一、（共60分 每题3分）设向量，已知与平行,则坐标面上的曲线绕轴旋转一周生成的旋转曲面方程为设,则设一平面经过点，且与直线垂直，则此平面方程为二元函数的定义域为设，则函数，则设，具有连续导数，则曲面在点处的法向量交换积分顺序：闭区域由曲面与平面所围成，将三重积化为柱面坐标系下的三次积分为设是闭区域的整个边界曲面的外侧,是的体积，则=设为上半圆周，则设周期函数在一个周期的表达式为 则它的傅里叶级数在处收敛于若，则级数的敛散性是 发散级数的敛散性是 收敛 级数的敛散性是 收敛 微分方程是 2 阶微分方程微分方程的通解为微分方程的特解的形式得分三、（共5分）函数由

10、方程所确定，求解：令， (1分)则 (2分) (2分)得分五、（共6分）计算曲线积分，其中为由点到点的上半圆周解：添加有向辅助线段，它与上半圆周围成的闭区域记为，根据格林公式 (3分) (3分)得分七、（共6分）设，确定使为某二元函数的全微分解： 由 得 ，即 (2分) 所以 (2分)， (1分)代入初始条件，解得，所以 (1分)得分八、(共6分)计算，其中是球面外侧在的部分解： (2分) (2分) (2分)08高数A一、选择题（共24分 每小题3分）1设，分别为直线，的方向向量，则与垂直的充要条件是 （A ）（A）（B）（C）（D）2Yoz平面上曲线绕轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( C

11、)（A）（B）（C）（D）3二元函数的定义域为 （B）（A）（B）（C）（D）4交换积分顺序： （ A ）（A）（B）（C）（D）5空间闭区域由曲面所围成，则三重积分= （ C ）（A）2 （B）2（C）（D）6函数由方程所确定，则= （ D ）（A） （B）（C） （D）7幂级数的收敛域是 （ C ）（A） （B）（C） （D）8已知微分方程的一个特解为，则它的通解是（ B ）（A）（B）（C）（D）二、填空题（共15分 每小题3分）1曲面在点处的切平面的方程是2若，则级数的敛散性是 发散3级数的敛散性是绝对收敛 4二元函数，当时的极限等于 0 。5全微分方程的通解为_三、解答题（共54分

12、每小题6分）1用对称式方程与参数方程表示直线解：因所求直线与两平面的法向量都垂直，于是该直线的方向向量为 (4分) 在直线上找出一点，例如，取代入题设方程组得直线上一点 （5分）故题设直线的对称式方程为 (6分)参数方程为 （7分）4计算三重积分，其中是平面与曲面所围成的区域（提示：利用柱面坐标计算） 解： (3分) （6分） （7分）5计算曲线积分，其中是在圆周上由到点的有向弧段解法1：添加有向辅助线段，有向辅助线段与有向弧段围成的闭区域记为，根据格林公式 （2分） (4分) (6分)解法2：直接求曲线积分 6求表面积为而体积为最大的长方体的体积。 解法1：设长方体的长、宽、高分别为，则题设

13、问题归结为约束条件 下，求函数（均大于0）的最大值。 （2分）作拉格朗日函数 （4分）由方程组 （5分） 进而解得唯一可能的极值点 由问题的本身意义知，该点就是所求的最大值点。故该问题的最大体积为 （6分）解法2：从条件中解出z代入目标函数中，再用无条件极值的办法求解。7计算，其中为平面被柱面所截的部分。 解：积分曲面的方程为，它在面上的投影为闭区域 （2分） 又 所以 = （4分） = （5分） （6分）8将函数展开成x的幂级数。解法1： 因为 （2分） 而又 （4分） 逐项求导，得 （6分）解法2：直接求展开式的系数，然后根据余项是否趋近于零确定收敛域。9求微分方程的通解。解：令 则原方程

14、变为 （2分） 分离变量后积分得 （4分）则， （5分）故原方程的通解为 （6分）四、证明题（7分）证明：若函数在上连续，令，则 证：已知在连续，设 （3分）因为在连续，所以，有 （5分）又因为在上连续，所以有即 （7分）08高数B一、选择题（共24分 每小题3分）1设两平面的法向量分别是，则这两平面垂直的充要条件是 （C ） （A） （B） （C） （D）2Yoz平面上曲线绕轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( B ) （A）（B） （C）（D）3二元函数的定义域为 （A） （A） （B） （C） （D）4交换积分顺序： = （B ） （A） （B） （C） （D）5空间闭区域由曲面所围成，则

15、三重积分= （ D ） （A）3 （B）2 （C） （D）46函数由方程所确定，则= （A ） （A） （B） （C） （D）7幂级数的收敛域是 （D ） （A） （B） （C） （D）8已知微分方程的一个特解为，则它的通解是（ A）（A）（B）（C）（D）二、填空题（共15分 每小题3分）1曲面在点处的切平面的方程是2若级数的敛散性，则数列当时的极限是 03级数的敛散性是 收敛 4二元函数，当时的极限等于 1 。5微分方程的通解为_三、解答题（共54分 每小题6分） 1设平面过点且垂直于两平面：求此平面的方程解：设所求平面的法向量为，则 (4分)所求平面方程为 (6分)2求两个底圆半径都等于

16、2的直交圆柱面所围成的立体的体积。解：设两个圆柱面的方程分别为 （2分） 由于对称性，只要算出它在第一卦限部分的体积，然后再乘以8即可。 （4分） 从而所求立体的体积为 （6分）3设，而，求解：(2分) (4分) (6分)4计算三重积分，其中是曲面与平面所围成的区域（提示：利用柱面坐标计算） 解： (2分) （5分） （6分）5求接于半径为的球而体积为最大的长方体的体积。 解：设长方体的长、宽、高分别为，则题设问题归结为约束条件 下，求函数（均大于0）的最大值。 （2分）作拉格朗日函数 （4分）由方程组 （5分） 进而解得唯一可能的极值点，由问题的本身意义知，该点就是所求的最大值 点。故该问题的最大体积为6计算曲线积分，其中是由点到点的上半圆周的有