高一数学竞赛辅导(平面向量)及高一数学导学案平面向量

使用时间：姓名：小组：评价等级：高一数学导学案编制人：审核人：高一数学竞赛辅导六（向量应用）求解平面向量中的数量积问题，主要有这样几种方法：利用向量线性运算，施行向量的转化；建立坐标系转化为代数问题；利用向量数量积的几何意义解决数量积的求解问题。公式法：（极化法）例1（1）已知平面向量，满足|+|=3,|-|=1,则=_____.（2）已知平面向量，，满足||=1,=1,=2,则|-|的最小值为______.（3）已知平面向量与不共线，若对任意的实数t，都有|t+(1-t)|≥||，则()A.⊥B.⊥(-)C.⊥(-)D.⊥(+)变式1已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，,则的最小值为．若=0，则=.变式2变式3[14浙江文9]设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|＋t|的最小值为1，则（）A．若θ确定，则||唯一确定 B．若θ确定，则||唯一确定C．若||确定，则θ唯一确定 D．若||确定，则θ唯一确定变式4[竞赛题]已知，若对任意，，则一定为（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.答案不确定例2已知平面向量,满足||=1,||=2,且=1,若(-)(-)=0,则|c|的取值范围为变式一：已知平面向量,满足||=1,||=2,且=1,若(-)(-)=,则|满足||=1,||=2,且=1|的最大值为______.变式二：已知平面向量,满足|满足||=1,||=2,且=1，,则对任一平面向量，(-)(-)的取值范围是________变式三：已知平面向量,满足|满足||=1,||=2,且=1，,若(-)(-)=,记=<-,->，则cos的最小值为_____.变式四：已知平面向量,满足|满足||=1,||=2,且=1，若<-,->=,则||的最大值为_______.例3在中，M是BC的中点，AM=3，BC=10,则变式：设,是边AB上一定点，满足,且对于边AB上任一点P，恒有，则（）Ａ．Ｂ．Ｃ．AB＝ACＤ．AC=BC例4已知平面向量a,b满足||=1,||=2,且=1,若单位向量e=+(≥0),则的最大值为_____.变式1四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，OD=3，点P为BOD内（含边界）的动点，，则的最大值为变式2【2013高考】设为单位向量，非零向量。若的夹角为，则的最大值等于。变式3在中，．若点在的角平分线上，满足，且，则的取值范围是．OACB变式4.如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（）OACBA．B．C．D．变式5（2016年浙江高考）已知向量a、b,｜a｜=1，｜b｜=2，若对任意单位向量e，均有｜a·e｜+｜b·e｜,则a·b的最大值是．例5【求面积比问题】设D为ABC边AB上一点，P为ABC内一点，且满足则2、设O点在ABC的内部，且有则4、[2014省赛]若平面上四点A,B,C,D，满足任意三点不共线，且,则训练题：1、[14浙江理7]设，为平面向量，则（）A．min{|＋|，|－|}≤min{||，||}B．min{|＋|，|－|}≥min{||，||}C．max{|＋|2，|－|2}≤||2＋||2D．max{|＋|2，|－|2}≥||2＋||2

2、已知，是平面只两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是。3、如图所示，为△ABC部一点，且满足，，且，则的面积为（）A．B．C．D．4、向量满足，，则的最小值为（）B．C．D．5、已知非零向量满足，，则的最小值是，最大值是6．已知O是内一点，，且，若，则=________；的值是________.7、设点是的重心，若，，则的最小值是8\中，,上的高，,则.11.设，，，且，则在上的投影的取值范围是.12、已知向量的夹角为，，向量，的夹角为，，则与的夹角为__________，的最大值为．（15年省赛16题改编）必修4第二章第1课时向量概念及物理意义【学习目标】1.了解向量的实际背景，理解向量的概念.2.理解零向量、单位向量、共线向量、相等向量等概念。【教学重点】向量、零向量、单位向量、平行向量的概念.【教学难点】向量及相关概念的理解，零向量、单位向量、平行向量的判断【教材助读】1.我们把____________的量叫做向量；把____________的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作____，线段AB的长度叫做有向线段的长度，记作_____，有向线段包括三要素__、____、___；向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量。2.向量可以用有向线段表示，向量的长度（或称____）记作_____，长度为零的向量叫做____向量，记作，长度等于1个单位的向量，叫做__向量；3.______________________的非零向量叫做平行向量，向量与平行，记作______，规定与任一向量平行，即对任意向量都有___；4._______的向量叫做相等向量；若与相等，记作__；5.由于任一组平行向量可以移动到同一直线上，平行向量也叫_______向量【预习自测】1.下列各量中不是向量的是（）（考察向量的概念）A.浮力B.风速C.位移D.密度E.温度F.体积2.下列说法中错误的是（）（A）零向量是没有方向的；（B）零向量的长度为0；(C)零向量与任一向量平行；(D)零向量的方向是任意的。3.给出下列命题：eq\o\ac(○,1)向量和向量的长度相等；eq\o\ac(○,2)方向不相同的两个向量一定不平行；eq\o\ac(○,3)向量就是有向线段；eq\o\ac(○,4)向量=0；eq\o\ac(○,5)向量大于向量。其中正确的个数是（）（A）0（B）1（C）2（D）3【我的疑惑】【学始于疑】探究一：判断下列命题是否正确：（1）若//，则与的方向相同或相反；（2）与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；（3）||=||，，不一定平行；若，||不一定等于||；（4）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。（5）方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量．（6）若与平行同向,且＞，则＞探究二：给出下列六个命题：eq\o\ac(○,1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；eq\o\ac(○,2)若||=||，则=；eq\o\ac(○,3)若=，则四边形ABCD是平行四边形；eq\o\ac(○,4)平行四边形ABCD中，一定有=；eq\o\ac(○,5)若，，则；其中不正确的是命题个数是（）（A）2（B）3（C）4（D）5探究三：如右图，D、E、F分别是△ABC的三边AB、BC、AC的中点，写出与相等的向量．【能力拓展】1．单位向量是否唯一？有多少个单位向量？若将所有单位向量的起点归结在同一起点，则其终点构成的图形是什么？2．温度有零上零下之分，“温度”是否为向量？3．关于零向量，下列说法中正确的有（1）零向量是没有方向的。（2）零向量的长度是0（3）零向量与任一向量平行（4）零向量的方向是任意的。4．若，,则吗？【我的小结】零向量是，共线（平行）向量是单位向量是，相等向量是必修4第二章第2课时向量加法及几何意义【学习目标】掌握向量的加法运算并能进行化简，同时理解其几何意义。【教学重点】会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.【教学难点】三角形不等式【教材助读】1，回答以下问题:（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移和：+=（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，则两次的位移和：+=（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，则两次的位移+=2、两个加法法则：已知非零向量和，做出（1）三角形法则：（2）平行四边形法则aaｂ向量的加法其实是一种图形运算：把两个向量首尾相接，把一个向量的为起点，另一个向量的为终点所得到的向量叫做这两个向量的，记为。3.规定：对于零向量与任一向量，都有4.加法交换律和加法结合律（1）向量加法的交换律：（2）向量加法的结合律：(+)+=【预习自测】1.化简：（1）(2)2．已知在平行四边形ABCD中,【我的疑惑】【学始于疑】探究一：梯形ABCD，AD//BC,O为对角线交点，则++=探究二：已知平行四边形ABCD中，，试用表示探究三：在矩形ABCD中，，则向量的长度等于探究四：一艘船从点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。探究五：在四边形ABCD中，，则此四边形肯定为形。【能力拓展】1.用>,<,=符号填空：当向量与不共线时，+、、的方向不同向，则|+|___||+||;当与同向时，则+、、同向，则|+|___||+||;当与反向时，若||>||,则+的方向与相同，则|+|___||-||;若||<||,则+的方向与相同，则|+|___||-||.一般地︱+︱≤︱︱+︱︱2．是否一定成立？？【我的小结】1、已知非零向量，在平面内任取一点A，作，则向量_____叫做与的和，记作____，即=_____=_____这个法则就叫做向量求和的三角形法则。2、向量加法的平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量，（）为邻边作四边形OACB，则以O为起点对角线___________，就是与的和。这个法则就叫做两个向量求和的平行四边形法则。必修4第二章第3课时向量减法及几何意义【学习目标】掌握向量的减法运算并能进行化简、理解几何意义，培养运用数形结合的思想解决问题的能力。【教学重点】会用向量减法的三角形法则作两个向量的差向量.【教学难点】三角形不等式【教材助读】1.相反向量的定义：________________________规定：零向量的相反向量是____向量,任一向量与它的相反向量的和是______向量。＋(－)=0.2、两个减法法则：已知非零向量和，做出三角形法则：3.向量的减法其实是一种图形运算：把两个向量起点重合，把一个向量的为起点，另一个向量的为终点所得到的向量叫做这两个向量的，记为。如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是____，差向量方向指向一般地，对于任意三点O，A，B，=—4.若，怎样作出？向量可以看成是吗？【预习自测】1．化简:(1)(2)(3)(4)=__________2．平行四边形中，，，用，表示向量、【我的疑惑】【学始于疑】探究一：已知正方形，，，，求作向量：（1）（2）探究二：如图，已知平行四边形的对角线，交于点，若，，，求证．【能力拓展】1．已知向量，的模分别是3，4，求的取值范围2.讨论：与、与有何关系？对任意向量，都有吗？3．化简-++的结果等于4若a、b共线且|a+b|＜|a-b|成立,则a与b的关系为．【我的小结】若b+x=a，则x叫做a与b的差，记作ab或者：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法向量减法是加法的逆运算一般地，对于任意三点O，A，B，=必修4第二章第4课时向量数乘运算【学习目标】1.理解向量的数乘运算及其几何意义，会进行向量的数乘运算.2.通过自主学习、合作讨论探究出向量数乘运算的规律与方法.【教学重点】数乘向量的定义与共线向量定理【教学难点】三点共线的条件【教材助读】向量的数乘定义：一般地，它的长度和方向规定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向；当时，λ的方向与的方向；当时，，方向是。2、向量的数乘运算律：（1）（）=（2）（+）=（3）（+）=（4）（1±2）=3、定理：向量与共线，当且仅当【预习自测】1．任画一向量,分别求作向量=2，=—32．点p在线段AB上，且=,则=,=3．计算：0=06=3（—4）=4．利用向量的数乘运算律变形：7+7=5(—)=(—3)(+)=5．化简（1）7(+)—3(—)+2（2）(5—2+3)—2(+3—)（3）(—2)(4+—3)—4(—+2—5)【我的疑惑】【学始于疑】探究一：已知、是两个不共线的向量，若、、，求证：、、三点在一条直线上。探究二：求证：M是线段AB的中点，对于任意一点O，都有探究三：判断下列各小题中的向量与向量是否共线？（1）=2,=—8（2）=—，=2—2探究四：在ABCD中，设对角线=，=试用,表示与【能力拓展】（1）确定与共线的单位向量（2）含义是什么？2．已知四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证＝(+).3.设，是两个不共线向量，则与共线的条件是什么？4．求证：A，B，C三点共线存在使=存在【我的小结】1．向量的模是方向2．两个向量共线的条件：向量与非零向量共线的条件是有且仅有一个实数，使得3．M是AB的中点必修4第二章第5课时平面向量的基本定理【学习目标】1.掌握平面向量基本定理的内容.2.理解基底及夹角的概念，并能运用基底表示平面内任一向量.【教学重点】平面向量基本定理，【教学难点】利用平面向量基本定理，将任意向量用基向量表示【教材助读】1、平面向量的基本定理：2、向量的夹角：3.当时，向量与向量同向，当时，向量与向量反向，当时，.【预习自测】1．若非零向量满足，求与所成角的大小2．如图,平行四边行ABCD的对角线AC和BD交于点M,,.,试用基底,表示,,和.3．在正六边形ABCDEF中，=,=用,表示向量、、、、、.4．确定下列各图中向量与向量的夹角的大小：【我的疑惑】【学始于疑】探究一：设,是平面内的一组基底，如果=,=,OACB=OACB探究二如图，已知不共线，点C满足，试以为基底表示.探究三：已知梯形中，，，分别是、的中点，若，，用，表示、、．探究四：设两非零向量，不共线，且，求实数k的值。【能力拓展】1.设,是两个不共线向量，已知=2+k,=+3,=2-,若三点A,B,D共线，求k的值2．点C在线段AB上，且，则3.三角形ABC中，D是AB边的中点，E是AC边靠近A的三点分点，，，CD，BE相交于P，试用。【我的小结】平面向量基本定理：若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得必修4第二章第6课时平面向量的坐标表示与运算【学习目标】1、掌握平面向量的坐标表示方法。2、理解、记忆平面向量坐标表示的加法、减法及数乘公式。【教学重点】掌握平面向量坐标的加法、减法、数乘运算及其应用。【教学难点】理解平面向量的正交分解及坐标比表示方法的理解。【教材助读】1、什么叫向量的正交分解？2、向量的坐标表示：（1）在直角坐标系中，分别取与轴、轴同方向的单位向量、，则对于平面内任意向量，有且只有一对实数、使得=，这样，平面内的任一向量都可以由实数、唯一确定。我们把有序实数对叫做记作=其中叫做在的坐标，叫做的坐标。（2）在平面直角坐标系中，若设，则向量的坐标就是终点A的坐标，反过来，终点A的坐标就是向量的坐标。因此，在平面直角坐标系中，每一个向量都可以用一有序实数对唯一表示，即每一个向量与其坐标之间具有的关系。（3）平面向量坐标表示的加法、减法及数乘公式：，，，【预习自测】1、分别用坐标表示出下列平面向量：=，=，=2、写出如图所示的向量,,,的坐标.3、已知A、B两点的坐标，求向量及的坐标：（1）(2)(3)4、已知，求，及的坐标.【我的疑惑】【学始于疑】探究一：已知表示向量的有向线段始点A的坐标，求它的终点B的坐标.（1）；（2）；（3）探究二：已知A,,，，若,求的值.探究三：已知平行四边形ABCD中,,求点C的坐标.探究四：设则=_________________【能力拓展】1．已知点A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1),试判断AB与CD的位置关系2．已知求坐标3．已知点A（2，2）B（-2，2）C（4，6）D（-5，6）E（-2，-2）F（-5，-6）在平面直角坐标系中，分别作出向量并求向量的坐标。【我的小结】1．，为一实数，=____。=______=_______2．若已知,，则=_____________=___________________即一个向量的坐标等于此向量的有向线段的________________________。必修4第二章第7课时平面向量共线的坐标表示【学习目标】1.理解向量共线的概念，并会应用坐标表示向量共线。2.通过自主学习、合作讨论、探究出向量共线的坐标条件、等分点坐标及应用。【教学重点】平面向量共线的坐标表示及其应用。【教学难点】向量关系与坐标关系的转化【教材助读】1、两向量平行（共线）的条件：若则存在唯一实数使，反之，存在唯一实数使，则2、设，则与共线的充要条件为3、设，则线段AB的中点坐标为，两个三等分点坐标为，【预习自测】1、设若则实数p=q=2、已知则P点的坐标为3、已知和向量若，则点B的坐标为4、如果共线且方向相反，则k=5、矩形ABCD中，两条对角线交点在x轴上，则C点坐标为，D点坐标为。6、已知，重心为则x,y的值分为【我的疑惑】【学始于疑】探究一：求证：设线段AB两端点的坐标分别为，，则其中点M（x,y）的坐标公式是：探究二：当P是线段P1（x1,y1）,P2(x2,y2)的三点分点时，求P点的坐标。探究三：已知求适合下列条件的点P的坐标：（1）点P在线段上；（2）点P在线段延长线上；【能力拓展】1、中，直线PQ平行于BC分别交AB，AC于P，Q两点且三角形APQ与四边形BCQP的面积的比为4比5。求P，Q坐标。2、P1（x1,y1）,P2(x2,y2)，P（x,y）,,试确定P点的坐标。3、三个顶点分别为A（x1,y1）,B(x2,y2),C(x3,y3),求的重心G的坐标。4、三个顶点分别为的平分线交BC于D，求D点的坐标及之值。【我的小结】设，则与共线的充要条件为必修4第二章第8课时平面向量的数量积【学习目标】理解平面向量数量积的概念，并会应用平面向量数量积。【教学重点】平面向量数量积的定义。【教学难点】一个向量在另一个向量上的投影的概念【教材助读】1、数量积=，其中θ是，θ的范围。2、数量积的几何意义：。3、4、5、6、【预习自测】1、判断正误，并简要说明理由:①·＝；②0·＝０；③－＝；④｜·｜＝｜｜｜｜；⑤对任意向量，，都有（·）＝（·）；⑥与是两个单位向量，则２＝２.2、已知｜｜＝３，｜｜＝３，在下列条件下分别求·.①与的夹角是60°②⊥③∥3、已知a,b,c分别为△ABC的三边BC，AC，AB.，，求·.4、已知，｜｜＝３，｜｜＝4，求向量在方向上的投影，并求在方向上的投影。【我的疑惑】【学始于疑】探究一：若，且，求的值探究二：平面上三个向量、、的模均为1，他们之间的夹角均为120°，求证：探究三：已知||=6,||=4,与的夹角为60°，求(+2)·(—3)探究四：已知||=2,||=3,与的夹角为120°，求【能力拓展】1、已知||=4,||=3，，求与的夹角。2、已知||=5,||=4,与的夹角为60°，求k为何值时，向量与垂直。3、已知正方形ABCD的边长为1，设，，，求的模。4、向量夹角为600，的值。【我的小结】1．数量积=，其中θ是，θ的范围2．在上的投影为，在上的投影为必修4第二章第9课时平面向量数量积的坐标表示【学习目标】通过自主学习、合作讨论、探究出平面向量数量积的坐标表示及其应用。【教学重点】向量垂直的坐标表示，夹角公式。【教学难点】向量垂直的坐标表示，夹角公式。【教材助读】1、设，，则=2、设，则或3、设，，则 4、两向量夹角的余弦（），cos==【预习自测】1、.已知=(2,3),=(-4,7),则在方向上的投影2、=(2,3),=(—2,4),求(+)·(—);3、已知=(4,3),向量是单位向量，求4、已知＝（１，），＝（＋１，－１），则与的夹角是多少?5、已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且=,=,则与的夹角6、平面上三点不共线，设,则的面积等于【我的疑惑】【学始于疑】探究一：已知=(λ，２)，=(-3,5)且与的夹角为钝角，则λ的取值范围探究二：已知A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，求证：△ABC是直角三角形.探究三：知＝（3，4），＝（4，3），若(x+y)⊥，且｜x+y｜=1.求x,y探究四：已知判断与是否共线？【能力拓展】1、给定两个向量=(3,4),=(2,-1)且(+x)⊥(—),求x2、设向量满足及求夹角的大小及的值。3、已知，，，且，求实数的值。4、已知向量满足求【我的小结】1、设，，则=2、=3、设，，则必修4第二章第10课时平面几何中的向量方法【学习目标】1．掌握平面向量研究几何图形中的部分性质，求线段长度及垂直与平行的证明2．通过自主学习，合作讨论，研究出平面向量在几何中的运用【教学重点】平面向量在几何形中的运用。【教学难点】平面向量在几何形中的运用。【教材助读】1．向量的模：向量的数量积公式：2．设，，则3．两向量夹角的余弦（），cos==4．平面向量解决平面几何问题的“三步曲”：1），2），3）。【预习自测】1、四边形ABCD中，若，四边行ABCD是（）A．平行四边行B梯形C．菱形D矩形2、动点P在A、B、C三点确定的平面内，O为平面内一定点，且满足（—）（—=0，则P点的轨迹一定过ABC的（）A．外心B内心C．重心D垂心3、．在四边形ABCD中，若，则（）A．ABCD是矩形B.ABCD是菱形C．ABCD是正方形D.ABCD是平行四边形4．已知三点A（1，2），B（4，1），C（0，-1）则△ABC的形状为（）A、正三角形B、钝角三角形C、等腰直角三角形D、等腰锐角三角形5．已知A、B、C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若，则点P与△ABC的位置关系是（）A、点P在△ABC内部B、点P在△ABC外部C、点P在直线AB上D、点P在AC边上【我的疑惑】【学始于疑】探究一：用向量的方法证明：平行四边形的两条对角线的平方和等于两条邻边