西藏省重点中学2024届高三高考全真模拟卷（四）数学试题

西藏省重点中学2024届高三高考全真模拟卷（四）数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数与在上最多有n个交点，交点分别为（，……，n），则（）A．7 B．8 C．9 D．102．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（）A． B． C． D．3．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（）A．120种 B．240种 C．480种 D．600种4．设，点，，，，设对一切都有不等式成立，则正整数的最小值为（）A． B． C． D．5．已知下列命题：①“”的否定是“”；②已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题；③“”是“”的充分不必要条件；④“若，则且”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为（）A．③④ B．①② C．①③ D．②④6．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，aβ，bα，则“ab“是“αβ”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知i为虚数单位，则（）A． B． C． D．8．“且”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．设，则，则（）A． B． C． D．10．已知复数，其中，，是虚数单位，则（）A． B． C． D．11．下列函数中，在区间上单调递减的是（）A． B． C． D．12．复数的共轭复数记作，已知复数对应复平面上的点，复数:满足.则等于（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数在区间(-∞，1)上递增，则实数a的取值范围是____14．已知函数，曲线与直线相交，若存在相邻两个交点间的距离为，则可取到的最大值为__________.15．已知向量，，若，则实数______.16．设满足约束条件，则的取值范围为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于两点A，B，求线段的长.18．（12分）已知为椭圆的左、右焦点，离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线分别交椭圆于和，且，问是否存在常数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19．（12分）设函数.（1）若函数在是单调递减的函数，求实数的取值范围；（2）若，证明：.20．（12分）已知函数，且曲线在处的切线方程为.（1）求的极值点与极值.（2）当，时，证明：.21．（12分）传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在，方能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联表：戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020（1）能否有的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？（2）用样本估计总体，若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822．（10分）如图，直三棱柱中，分别是的中点，.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

根据直线过定点，采用数形结合，可得最多交点个数，然后利用对称性，可得结果.【题目详解】由题可知：直线过定点且在是关于对称如图通过图像可知：直线与最多有9个交点同时点左、右边各四个交点关于对称所以故选：C【题目点拨】本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数的性质，属难题.2、C【解题分析】

根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的n的值，进而求解的值，得到答案.【题目详解】由题意，，第1次循环，，满足判断条件；第2次循环，，满足判断条件；第3次循环，，满足判断条件；可得的值满足以3项为周期的计算规律，所以当时，跳出循环，此时和时的值对应的相同，即.故选：C.【题目点拨】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.3、B【解题分析】

首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果.【题目详解】将周一至周五分为组，每组至少天，共有：种分组方法；将四大名著安排到组中，每组种名著，共有：种分配方法；由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：种本题正确选项：【题目点拨】本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.4、A【解题分析】

先求得，再求得左边的范围，只需，利用单调性解得t的范围.【题目详解】由题意知sin，∴，∴，随n的增大而增大，∴,∴，即，又f(t)=在t上单增，f(2)=-1<0，f(3)=2>0，∴正整数的最小值为3.【题目点拨】本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.5、B【解题分析】

由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断．【题目详解】“”的否定是“”，正确；已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题，正确；“”是“”的必要不充分条件,错误；“若，则且”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误.故选：B．【题目点拨】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．6、D【解题分析】

根据面面平行的判定及性质求解即可．【题目详解】解：a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，由a∥b，不一定有α∥β，α与β可能相交；反之，由α∥β，可得a∥b或a与b异面，∴a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，则“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要条件．故选：D.【题目点拨】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题．7、A【解题分析】

根据复数乘除运算法则，即可求解.【题目详解】.故选：A.【题目点拨】本题考查复数代数运算，属于基础题题.8、A【解题分析】

画出“,,,所表示的平面区域,即可进行判断.【题目详解】如图，“且”表示的区域是如图所示的正方形，记为集合P，“”表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q，显然是的真子集,所以答案是充分非必要条件，故选:.【题目点拨】本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易.9、A【解题分析】

根据换底公式可得，再化简，比较的大小，即得答案.【题目详解】，，.，显然.,即，，即.综上，.故选：.【题目点拨】本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题.10、D【解题分析】试题分析：由,得,则，故选D.考点：1、复数的运算；2、复数的模.11、C【解题分析】

由每个函数的单调区间，即可得到本题答案.【题目详解】因为函数和在递增，而在递减.故选：C【题目点拨】本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题.12、A【解题分析】

根据复数的几何意义得出复数，进而得出，由得出可计算出，由此可计算出.【题目详解】由于复数对应复平面上的点，，则，，，因此，.故选：A.【题目点拨】本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据复合函数单调性同增异减，结合二次函数的性质、对数型函数的定义域列不等式组，解不等式求得的取值范围.【题目详解】由二次函数的性质和复合函数的单调性可得解得.故答案为：【题目点拨】本小题主要考查根据对数型复合函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.14、4【解题分析】

由于曲线与直线相交，存在相邻两个交点间的距离为，所以函数的周期，可得到的取值范围，再由解出的两类不同的值，然后列方程求出，再结合的取值范围可得的最大值.【题目详解】，可得，由，则或，即或，由题意得，所以，则或，所以可取到的最大值为4.故答案为：4【题目点拨】此题考查正弦函数的图像和性质的应用及三角方程的求解，熟练应用三角函数的图像和性质是解题的关键，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.15、-2【解题分析】

根据向量坐标运算可求得，根据平行关系可构造方程求得结果.【题目详解】由题意得：，解得：本题正确结果：【题目点拨】本题考查向量的坐标运算，关键是能够利用平行关系构造出方程.16、【解题分析】

由题意画出可行域，转化目标函数为，数形结合即可得到的最值，即可得解.【题目详解】由题意画出可行域，如图：转化目标函数为，通过平移直线，数形结合可知：当直线过点A时，直线截距最大，z最小；当直线过点C时，直线截距最小，z最大.由可得，由可得，当直线过点时，；当直线过点时，，所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合思想，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）l：，C：；（2）【解题分析】

（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；

（2）由（1）可得曲线是圆，求出圆心坐标及半径，再求得圆心到直线的距离，即可求得的长.【题目详解】（1）由题意可得直线：，由，得，即，所以曲线C：.（2）由（1）知，圆，半径.∴圆心到直线的距离为：.∴【题目点拨】本题考查直线的普通坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法、运算求解能力，是中档题．18、（1）；（2）存在，.【解题分析】

（1）由条件建立关于的方程组，可求得，得出椭圆的方程；（2）①当直线的斜率不存在时，可求得，求得，②当直线的斜率存在且不为0时，设联立直线与椭圆的方程，求出线段，再由得出线段，根据等差中项可求得，得出结论.【题目详解】（1）由条件得，所以椭圆的方程为：；（2），①当直线的斜率不存在时，，此时,②当直线的斜率存在且不为0时，设,联立消元得，设，，直线的斜率为，同理可得，所以，综合①②，存在常数，使得成等差数列.【题目点拨】本题考查利用椭圆的离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系中的弦长公式的相关问题，当两直线的斜率具有关系时，可能通过斜率的代换得出另一条线段的弦长，属于中档题.19、（1）（2）证明见解析【解题分析】

（1）求出导函数，由在上恒成立，采用分离参数法求解；（2）观察函数，不等式凑配后知，利用时可证结论．【题目详解】（1）因为在上单调递减，所以，即在上恒成立因为在上是单调递减的，所以，所以（2）因为，所以由（1）知，当时，在上单调递减所以即所以.【题目点拨】本题考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式．解题关键是把不等式与函数的结论联系起来，利用函数的特例得出不等式的证明．20、（1）极小值点为，极小值为，无极大值；（2）证明见解析【解题分析】

先对函数求导，结合已知及导数的几何意义可求，结合单调性即可求解函数的极值点及极值；令，问题可转化为求解函数的最值，结合导数可求．【题目详解】（1）由题得函数的定义域为.，由已知得，解得∴，令，得令，得，∴在上单调递增.令，得∴在上单调递减∴的极小值点为，极小值为，无极大值.（2）证明：由（1）知，∴，令，即∵，，∴恒成立.∴在上单调递增又，∴在上恒成立∴在上恒成立∴，即∴【题目点拨】本题考查了利用导数研究函数的极值问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题．21、（1）有的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.（2）【解题分