高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何阶段滚动检测 理 试题

阶段滚动检测(九)(建议用时：90分钟)一、选择题1.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,2x，x≤0，))若f(a)＝eq\f(1,4)，则a的值为()A.－2或eq\f(1,4) B.eq\r(4,2)或－2 C.－2 D.eq\r(4,2)解析当a＞0时，log2a＝eq\f(1,4)，解得a＝2eq\s\up6(\f(1,4))＝eq\r(4,2)；当a＜0时，2a＝eq\f(1,4)，解得a＝－2.答案B2.已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则公差d＝()A.－eq\f(2,3) B.－eq\f(1,3) C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋9d＝10，,10a1＋\f(10×9,2)d＝70，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,d＝\f(2,3).))故选D.答案D3.小波一星期的总开支分布如图(1)所示，一星期的食品开支如图(2)所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()图(1)图(2)A.30% B.10% C.3% D.不能确定解析由题图(2)可知小波一星期的食品开支共计300元，其中鸡蛋开支30元.又由题图(1)知，一周的食品开支占总开支的30%，则可知一周总开支为1000元，所以鸡蛋开支占总开支的百分比为eq\f(30,1000)×100%＝3%.答案C4.直线l：8x－6y－3＝0被圆O：x2＋y2－2x＋a＝0所截得弦的长度为eq\r(3)，则实数a的值是()A.－1 B.0 C.1 D.1－eq\f(\r(13),2)解析圆O：x2＋y2－2x＋a＝0，即(x－1)2＋y2＝1－a，∴a＜1，圆心(1，0)、半径为eq\r(1－a).又弦心距d＝eq\f(|8－0－3|,\r(64＋36))＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝r2＝1－a，求得a＝0，故选B.答案B5.下列说法正确的是()A.样本10，6，8，5，6的标准差是5.3B.“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件C.K2是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当K2的值很小时可以推定两类变量不相关D.设有一个回归直线方程为y^＝2－1.5x，则变量x每增加一个单位，y平均减少1.5个单位解析A中，样本10，6，8，5，6的平均数为7，方差为eq\f(16,5)，标准差是eq\f(4\r(5),5)，故不正确；B中，p∧q为真，则p、q均为真，p∨q为真，p、q至少一个为真，故“p∨q为真”是“p∧q为真”的必要不充分条件，故不正确；C中，K2的值很小时，只能说两个变量的相关程度低，不能推定两个变量不相关.所以C错；D中，设有一个回归直线方程为y^＝2－1.5x，则变量x每增加一个单位，y平均减少1.5个单位，正确.故选D.答案D6.(2015·湖北卷)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A.29 B.210 C.211 D.212解析由题意，Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(7,n)，解得n＝10.则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.故选A.答案A7.若一个圆锥的正视图(如图所示)是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的表面积是()A.π B.2πC.3π D.4π解析由已知，圆锥的底面直径为2，母线为3，则这个圆锥的表面积是eq\f(1,2)×2π×3＋π·12＝4π.答案D8.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试.统计得到成绩与专业的列联表：优秀非优秀总计A班14620B班71320总计211940附：参考公式及数据：(1)统计量：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)(n＝a＋b＋c＋d).(2)独立性检验的临界值表：P(K2≥k0)0.0500.010k03.8416.635则下列说法正确的是()A.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关D.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关解析K2＝eq\f(40×（14×13－7×6）2,20×20×21×19)≈4.912，3.841＜K2＜6.635，所以有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关.答案C9.某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106].已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是()A.90 B.75 C.60 D.45解析产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.设样本容量为n，则eq\f(36,n)＝0.300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.答案A10.(2014·江西卷)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1性别成绩不及格及格总计男61420女102232总计163652表2性别视力好差总计男41620女122032总计163652表3性别智商偏高正常总计男81220女82432总计163652表4阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计163652A.成绩 B.视力 C.智商 D.阅读量解析A中，a＝6，b＝14，c＝10，d＝22，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，K2＝eq\f(52×（6×22－14×10）2,20×32×16×36)＝eq\f(13,1440).B中，a＝4，b＝16，c＝12，d＝20，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，K2＝eq\f(52×（4×20－16×12）2,20×32×16×36)＝eq\f(637,360).C中，a＝8，b＝12，c＝8，d＝24，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，K2＝eq\f(52×（8×24－12×8）2,20×32×16×36)＝eq\f(13,10).D中，a＝14，b＝6，c＝2，d＝30，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，K2＝eq\f(52×（14×30－6×2）2,20×32×16×36)＝eq\f(3757,160).∵eq\f(13,1440)<eq\f(13,10)<eq\f(637,360)<eq\f(3757,160).∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量.答案D二、填空题11.(2016·长春模拟)只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有________个.解析依题意，选出可重复的数字有Ceq\o\al(1,3)＝3种，又每种选法中可排成Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,3)＝6个四位数，∴由分步乘法计数原理，共有3×6＝18个四位数.答案1812.有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表：平均气温(℃)－2－3－5－6销售额(万元)20232730根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间回归直线方程＝x＋的系数＝－2.4，则预测平均气温为－8℃时该商品销售额为________万元.解析＝－4，＝25，∴＝25－(－2.4)×(－4)＝15.4，∴＝－2.4x＋15.4.∴当x＝－8时，＝(－2.4)×(－8)＋15.4＝34.6.答案34.613.某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是________.解析当x≥4时，eq\f(89＋89＋92＋93＋92＋91＋94,7)＝eq\f(640,7)≠91，∴x<4，则eq\f(89＋89＋92＋93＋92＋91＋x＋90,7)＝91，∴x＝1.答案114.(2015·南京、盐城模拟)某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析、随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有________人.解析由频率分布直方图可得成绩在[300，350)的频率是1－(0.001＋0.001＋0.004＋0.005＋0.003)×50＝1－0.7＝0.3，所以成绩在[300，350)的学生人数是0.3×1000＝300.答案300三、解答题15.(2016·天水一模)已知数列{an}中，a1＝1，且an＋an＋1＝2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前n项和为Sn，求S2n.解(1)∵an＋an＋1＝2n，①∴an＋1＋an＋2＝2n＋1，②②－①，得an＋2－an＝2n.由a1＝1，a1＋a2＝2，得a2＝1.当n为奇数时，an＝(an－an－2)＋(an－2－an－4)＋…＋(a3－a1)＋a1＝2n－2＋2n－4＋…＋2＋1＝eq\f(1,3)×2n＋eq\f(1,3).当n为偶数时，an＝(an－an－2)＋(an－2－an－4)＋…＋(a4－a2)＋a2＝2n－2＋2n－4＋…＋22＋1＝eq\f(1,3)×2n－eq\f(1,3).故an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×2n＋\f(1,3)，n为奇数，,\f(1,3)×2n－\f(1,3)，n为偶数.))(2)S2n＝eq\f(1,3)×21＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)×22－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3)×22n－1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)×22n－eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)(2＋22＋…＋22n－1＋22n)＝eq\f(2,3)(22n－1).16.(2015·石家庄一模)已知椭圆C：eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：y＝kx＋eq\r(3)与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.解(1)设椭圆的半焦距为c，则由题设，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝\r(3)，))所以b2＝a2－c2＝4－3＝1，故所求椭圆C的方程为eq\f(y2,4)＋x2＝1.(2)存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.理由如下：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线l的方程y＝kx＋eq\r(3)代入eq\f(y2,4)＋x2＝1，并整理，得(k2＋4)x2＋2eq\r(3)kx－1＝0.(*)则x1＋x2＝－eq\f(2\r(3)k,k2＋4)，x1x2＝－eq\f(1,k2＋4).因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，即x1x2＋y1y2＝0.又y1y2＝k2x1x2＋eq\r(3)k(x1＋x2)＋3，于是－eq\f(1＋k2,k2＋4)－eq\f(6k2,k2＋4)＋3＝0，解得k＝±eq\f(\r(11),2)，经检验知：此时(*)式的Δ＞0，符合题意.所以当k＝±eq\f(\r(11),2)时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.17.假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下表的统计资料：使用年限x(年)23456维修费用y(万元)2.23.85.56.57.0若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：(1)线性回归直线方程；(2)根据回归直线方程，估计使用年限为12年时，维修费用是多少？解(1)列表I12345总计xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3xeq\o\al(2,i)4916253690 于是＝y－eq\o(b,\s\up6(^))x＝5－1.23×4＝0.08.所以线性回归直线方程为＝1.23x＋0.08.(2)当x＝12时，＝1.23×12＋0.08＝14.84(万元)