数学物理方程-第3章-2011解析

第三章调和方程物理背景：用于描述稳定或平衡的物理现象。§3-1方程的建立及其定解条件调和方程，又称拉普拉斯(Laplace)方程，其三维形式为这个方程相应的非齐次方程，称为泊松(Poisson)方程，即这类方程在力学、物理学问题中经常遇到。前面两章推导的波动方程和热传导方程如果去掉了时间导数项，那么方程就可以转化为泊松方程或调和方程。流体力学中的速度势和流函数都满足调和方程；静电场中的电位势满足泊松方程。(1.1)(1.2)(1.2)(1.1)(1.2)第一页第二页，共19页。1.方程的导出数学史上导致调和方程的一个著名实例来自牛顿万有引力。根据万有引力定律，位于(x0，y0，z0)处质量为M的质点对位于(x，y，z)处具有单位质量的质点的引力,其大小等于GM/r2，而作用方向沿着这两点的连线，指向(x0，y0，z0)点，其中r为两点之间的距离。写为向量形式，即为除了允许相差一个任意常数外，位势函数是任意确定的。F(x,y,z)称为引力场函数显然引力场函数是位势函数φ的梯度第二页第三页，共19页。对于以密度ρ(x,y,z)分布在区域Ω上的质量而言，根据叠加原理，它所产生的总引力位势为(1.3)通过直接计算可以验证，φ(x,y,z)在Ω外满足调和方程还可以进一步验证，若ρ(x,y,z)满足Holder条件，则φ(x,y,z)在Ω内满足泊松方程第三页第四页，共19页。其中E为电场强度矢量，而n为Σ上的单位外法线向量。divE=4πρ另一个例子是静电场的电位势。设空间有一电荷密度为ρ(x,y,z)的静电场，在此电场内任取一个封闭曲面Σ包围的区域G，由静电学知，通过Σ向外的电通量等于G中总电量的4π倍，即成立(1.4)并注意到G的任意性，可得利用格林公式第四页第五页，共19页。调和函数定义：我们把具有关于空间变量的二阶连续偏导数，且满足调和方程的函数称为调和函数。复变函数中涉及的只是二元函数。又由库仑定律可知，静电场是有势的，即存在静电位势u=u(x,y,z)，使于是得到静电位势u满足以下的泊松方程Δu＝－4πρ特别地，当某区域内没有电荷存在时，此区域内的静电位势满足调和方程。第五页第六页，共19页。2.定解条件和定解问题要在空间的某个区域中确定方程(1.1)和(1.2)的解，还必须附加一些定解条件。现在这两个方程中并未出现时间变量，因此它们的解与时间无关，所以在定解条件中只有边界条件，其定解问题是一种边值问题。与前面的波动方程和热传导方程类似，对方程(1.1)和(1.2)也可以提出三种类型的边界条件。本次课程只研究第一及第二边值问题。(1.1)(1.2)(1.5)(1.6)1)第一边值问题(狄利克雷条件)：2)第二边值问题(诺依曼条件)：第六页第七页，共19页。习惯思维中，上述定解问题都认为是在有界区域考虑的。也就是说在某光滑的闭曲面Г的内部寻找满足边界条件的调和函数。但在实际运用中，常常会遇到一些无界区域的问题。例如：要确定一个热源物体外部的稳定温度场。这种情况下，需要在闭曲面Г的外部寻找满足边界条件的调和函数。为了显示区别，我们把前一种定解问题称为狄利克雷内问题和诺依曼内问题，把后一类定解问题称为狄利克雷外问题和诺依曼外问题。流体力学的内流问题和外流问题就是上述问题的典型代表。考虑不可压无粘势流，其速度势在流动区域内满足拉普拉斯方程，且在物面边界Г上有法向无穿透条件内流问题的求解在边界Г内部进行，例如气罐或管道内流动。外流问题需要在边界Г外部的无限大区域内求解，例如翼型或飞机的绕流问题。从直观认识来看，对于外问题，前述的定解条件下外问题的解并不唯一。以二维翼型流动为例，仅有法向无穿透条件是不够的，还需要在无穷远处施加来流条件(速度大小和迎角等)。（这个问题课本上也有举例）第七页第八页，共19页。因此，对于狄利克雷或诺依曼外问题而言，还需要在无穷远处对解添加一定的限制条件。在三维情况下，一般要求解在无穷远处的极限为零（或者说极限为某个特定的值），即泊松方程的求解可以运用叠加原理转化为调和方程的求解：首先寻找一个泊松方程的特解u1，作代换u=v+u1把原方程转化为关于v的调和方程。(1.7)第八页第九页，共19页。§3-2格林公式及其应用1.格林（Green）公式高等数学中的高斯公式如下在上式中，令，于是有得到格林第一公式：(2.1)第九页第十页，共19页。如果作代换，那么格林第一公式写为：把(2.1)和(2.2)相减，我们得到格林第二公式利用上述公式，我们可以推出调和函数的一些基本性质。首先我们导出调和函数的积分表达式。考察函数此处M0(x0，y0，z0)是区域Ω内的某一个固定点，可以验证，(2.4)表示的函数在除去M0的区域Ω上处处满足三维拉普拉斯方程，这个函数称为三维拉普拉斯方程的基本解。(2.2)(2.3)(2.4)第十页第十一页，共19页。在公式(2.3)中取u是调和函数，而取v=1/rM0M。由于函数v在区域Ω上存在奇点M0，因此对于区域Ω不能直接运用格林第二公式(2.3)，但如果在区域Ω内除去一个以M0为中心，半径ε充分小的球Kε，则在剩下的区域Ω\Kε内就可以运用公式(2.3)了，所以有在区域Ω\Kε内Δu=0，Δ(1/r)=0，在球面Гε上由于这里星号代表球面Гε上的平均值。于是公式(2.5)可以化为(2.5)第十一页第十二页，共19页。上式中当ε→0时，就得到了调和函数的基本积分公式M0在Ω外M0在Г上M0在Ω内对于泊松方程Δu=F

，也有类似公式(2.6)第十二页第十三页，共19页。由格林公式，我们可以得出调和函数的下列主要性质。1）调和函数的一个充要条件设函数u在以曲面Г为边界的区域Ω内调和，在ГUΩ上有连续一阶偏导数，则反之亦然。由此，我们得到诺依曼内问题

有解的必要条件为满足调和方程由叠加原理，是泊松方程Δu=F

的一个特解。（与万有引力势函数公式类似）第十三页第十四页，共19页。物理意义：对于稳定的温度场，在内部无热源的情况下，任何封闭曲面上的热流量应该为零。2）球面平均值定理设函数u在以曲面Г为边界的区域Ω内调和，对于包含在内的每一个闭球，u在球心处的值等于u在该球的边界球面上的积分平均值。用公式表示可以写为证：把公式(2.6)运用到球心在M0点，半径为a的球面Гa上，得到这里，在球面上第十四页第十五页，共19页。为零3）极值原理设不恒为常数的函数u在以曲面Г为境界的区域Ω内调和，它在Ω的内点上的值不可能达到它在Ω上的上界或下界。推论1：调和函数的最大值和最小值只能在区域边界取得。推论2：两个调和函数在边界Г上成立不等式u≤v，那么在Ω内该不等式同样成立；只有在u≡v时，不等式中的等号才有成立的可能。第十五页第十六页，共19页。4）第一边值问题解的唯一性和稳定性先考察调和方程的狄利克雷内问题。定理：调和方程的狄利克雷内问题的解如果存在，必是唯一的，而且连续依赖于边界条件f。证：假设两个调和函数u1(x,y,z)和u2(x,y,z)，它们在有界区域Ω的边界Г上完全相同，那么它们的差u=u1(x,y,z)-u2(x,y,z)在Ω中也满足调和方程，而在Г上等于零。按照前面的推论一，u1≡u2，即狄利克雷内问题的解唯一。其次，假设在边界上给定了两个函数f和f*，而且在Г上处处成立设u和u*，分别是调和方程在区域Ω上的以f和f*为边界条件的狄利克雷内问题的解。那么调和函数u-u*在Г上取值f-f*。由极值定理的推论1得到因此，在区域Ω上各点有（连续依赖性得证）第十六页第十七页，共19页。现在转而研究调和方程的狄利克雷外问题。设u1，u2是狄利克雷外问题的解，令v=