高级运筹学课件

1

模糊集合2.0引論一、模糊集合產生的原因

1、現實世界中存在大量的模糊現象和模糊概念。如“青年人”、“高個子”等。

2、研究模糊性具有重要的現實意義。如“做化學實驗”、“炒萊”等。

3、資訊科學和人工智慧的發展促進了模糊數學的產生。如“電視圖像的調節”等。人腦思維活動的特點之一：就是能對模糊事物進行識別和判斷。如：要找一個人，只知道他是“高個子，大鬍子”，無須知道他的身高究竟具體是多少米，以及臉上有多少根鬍子、平均有多粗。二、模糊性與隨機性的區別

1、模糊性：事物的概念本身是模糊的。即事物是否符合給出的概念不明確。

2、隨機性：事物的概念本身是明確的，只是發生的條件不充分，使條件與事物的發生無因果關係，從而事物的發生與否表現出不確定性，但有統計規律。三、起源

1965年，(美)著名控制論教授紮德(L.A.Zadeh)發表論文“模糊數學(fuzzy)”。

給定量研究客觀世界中的模糊性開闢了新途徑。22.1模糊集合的定義

一、普通集合論知識：確定概念→普通集合→特徵函數

1、集合的概念：符合某個確定概念的對象的全體。常用字母A、B、C

等表示。因此，確定概念可用集合來表示，集合是確定概念的外延。

2、論域：某議題範圍內被討論的全部對象。常用字母U、V、X、Y

等表示。論域中的每個對象叫元素。常用字母a、b、c、d

等表示。如：{中南大學的學生}就可以成為一個論域。⑴有限論域：元素個數為有限個或可列個的論域。⑵無限論域：元素個數為無限個的論域。

3、論域中的子集：論域U中某一部分元素組成的全體叫論域U中的一個集合。

用A、B、

等表示。如論域U={中南大學的學生}，則A={中南大學的男學生}就是論域U中的一個集合。二、模糊子集的定義：模糊概念→模糊集合→隸屬函數給定論域

U，稱A是論域

U上的模糊子集(記為Ã)：如果對x∈U，都有一個確定的數

A(x)∈[0,1]與之對應。此時，映射

A(x)：U[0,1]x

A(x)

A(x)稱為

A的隸屬函數；數

A(x)稱為論域U中的元素x對模糊子集A的隸屬度，表示x屬於A的程度。

特例：當

A(x)=0、1時，模糊子集Ã蛻化為普通集合A；

Ã的隸屬函數

A(x)蛻化為A特徵函數CA(x)，即

3

例2-1組成一個100人的評比小組，對五種商品X1,X2,X3,X4,X5進行評比。結果是：認為商品X1“品質好”的有81人，占81%=0.81；認為商品X2“品質好”的有53人，占53%=0.53；認為商品X3“品質好”的有100人，占100%=1；認為商品X4“品質好”的有0人，占0%=0；認為商品X5“品質好”的有24人，占24%=0.24。對論域U={X1,X2,X3,X4,X5}(有限論域)中的每一個元素均規定了一個隸屬度：

X1→0.81，X2→0.53，X3→0.1，X4→0

，X5→0.24

它們確定了U中的一個模糊子集A，表示商品“品質好”這一模糊概念。

例2-2考查某商店商品銷售利潤的經濟效益論域U=[0，k](無限論域)表示該商品銷售利潤額的範圍，則表示商品銷售利潤的“經濟效益好”這一模糊概念的模糊子集Ã，用以下隸屬函數表示：

其中，n為同期商品銷售額，m為銷售利潤效益最好時刻的利潤率。

4

例2-3取年齡為論域U=[0,100]，給出兩個模糊概念“年輕”和“年老”，表示它們的兩模糊子集記為Y與O，其隸屬函數定義為：

0150

100x0125

100x

若你的年齡x=30歲，則

52.2模糊子集的運算：Ã仍記為

A(除非特別申明)

1.關係運算：對論域U

⑴模糊空集：對xU，均有

(x)=0⑵模糊全集E：對xU，均有E(x)=1⑶模糊冪集

(U)：U中的全體模糊子集(含普通子集)構成的普通集合(其元素是模糊子集)。⑷A=B：對

xU，均有A(x)=B(x)⑸A

B：對

xU，均有A(x)≤B(x)

2.並、交、餘運算：對論域U

⑴並(A∪B)：設A,B(U),對

xU，則A∪B是由下列隸屬函數確定的模糊子集

A∪B(x)=Max{A(x),B(x)}=A(x)∨

B(x）⑵交(A∩B)：設A,B(U),對

xU，則A∩B是由下列隸屬函數確定的模糊子集

A∩B(x)=Min{A(x),B(x)}=A(x)∧

B(x）⑶餘(Ac)：設A(U),對

xU，則Ac是由下列隸屬函數確定的模糊子集

Ac(x)=1-A(x)

例2-4商品論域U={X1,X2,X3,X4,X5}，表示

“商品品質好”這個模糊概念的模糊子集為：A={0.81,0.53,1,0,0.24}，

“商品品質差”這個模糊概念的模糊子集為：B={0.05,0.21,0,0.36,0.57}。則：①表示“商品品質或好或差”這個模糊概念的模糊子集為：

A∪B={0.81∨0.05,0.53∨0.21,1∨0,0∨0.36,0.24∨0.57}={0.81,0.53,1,0.36,0.57}；②表示“商品品質又好又差”這個模糊概念的模糊子集為：

A∩B={0.81∧0.05,0.53∧0.21,1∧0,0∧0.36,0.24∧0.57}={0.05,0.21,0,0,0.24}；③表示“商品品質不好”這個模糊概念的模糊子集為：

Ac={1-0.81,1-0.53,1-1,1-0,1-0.24}={0.19,0.47,0,1,0.76}；6例2-5年齡論域U=[0,100]，給出兩個模糊概念“年輕”和“年老”,對應的模糊子集Y與O,隸屬函數為

0150

100x0125

100x

則：表示“又老又年輕”這個模糊概念的模糊子集為O∪Y：隸屬函數為

0125

100x

50x*

7

3.運算性質：⑴對偶律：(

A∪B)c=Ac∩

Bc；(

A∩B)c=Ac∪

Bc⑵冪等律：A∪A=A；A∩A=A⑶交換律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A⑷結合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

⑸分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)⑹吸收律：(A∪B)∩A=A；(A∩B)∪A=A⑺兩極律：A∪=A；A∩=

；A∪E=E；A∩E=A⑻還原律：(

Ac)c=A

⑼不滿足互補律：A∪Ac≠E，

A∩Ac≠

⑽偽補律：A∪Ac(x)=A(x)∨Ac(x)≥½

；A∩Ac(x)=A(x)∧Ac(x)≤½

例2-6設有模糊子集為：A={0.81,0.53,1,0,0.24}

則：A∪Ac={0.81,0.53,1,1,0.76}≠E，並且其隸屬度均大於1/2A∩Ac={0.19,0.47,0,0,0.24}≠

，並且其隸屬度均小於1/2

8

4.幾種常用的模糊算子：須同時滿足對偶律、交換律、結合律、兩極律⑴普通實數乘法

與最大∨算子M(

,∨)：

A∪B(x)=A(x)∨B(x)；A∩B(x)=A(x)

B(x)⑵普通實數乘法

與有界和⊙算子M(

,⊙)：

A∪B(x)=A(x)⊙B(x)；A∩B(x)=A(x)

B(x)

其中有界和⊙：對a,b[0,1],有a⊙b=min{a+b,1}⑶普通實數乘法

與概率和△算子M(

,△)：

A∪B(x)=A(x)△B(x)；A∩B(x)=A(x)

B(x)

其中概率和△：對a,b[0,1],有a△b=a+b–a·b⑷有界積☆與有界和⊙算子M(☆,⊙)：

A∪B(x)=A(x)⊙B(x)；A∩B(x)=A(x)☆B(x)

其中有界積☆：對a,b[0,1],有a☆b=max{0,a+b–1}

例2-7設有模糊子集為：A={0.81,0.53,1,0,0.24}，

B={0.05,0.21,0,0.36,0.57}。採用算子M(☆,⊙)，得：則：A∪B={0.81⊙0.05，0.53⊙0.21，1⊙0，0⊙0.36，0.24⊙0.57}={0.86，0.74，1，0.36，0.81}A∩B={0.81☆0.05，0.53☆0.21，1☆0，0☆0.36，0.24☆0.57}={0，0，0，0，0}

92.4模糊集合與普通集合的關係：模糊集合是普通集合的推廣

1.模糊子集A的水準截集A

給定模糊子集A(U)，對

[0,1]，稱普通集合A

={x|xU,且A(x)≥}為模糊子集A的水準截集。

即：A

由U中哪些隸屬度大於或等於的元素組成，其特徵函數為：1

，

0

，

A(x)xoA

U1

例2-8五種商品{X1,X2,X3,X4,X5}，“品質好”的模糊子集A=(0.81，0.53，1，0

，0.24)，進一步研究：有50%以上的人認為“品質好”，稱為“合格”，則“合格”商品的集合為

A0.5={X1,X2,X3}，

=0.5

有80%以上的人認為“品質好”，稱為“優良”，則“優良”商品的集合為

A0.8={X1,X3}，

=0.8

A0.5與A0.8

均是A按一定水準確定的普通子集(截集)。

10

2.水準截集A

的性質

①

(A∪B)

=A

∪B

；

②

(

A∩B)

=A

∩B

；③設

1,2[0,1]，且1≤2，則A1

A2

3.模糊子集A的核A1、支撐架SuppA、邊界SuppA-A1①A的核

A1={x|A(x)≥1}；②A的支撐架SuppA

={x|A(x)＞0}

；③A的邊界SuppA-A1={x|0＜A(x)＜1};④A0={x|A(x)≥0}=U

例2-9五種商品論域U={X1,X2,X3,X4,X5}，模糊子集A=(0.81，0.53，1，0

，0.24)，則

A的核

A1={X3}；

A的支撐架SuppA

={X1,X2,X3,X5}；

A的邊界SuppA-A1={X1,X2,X5};A0={X1,X2,X3,X4,X5}=U

A(x)xoA11114.由A

生成的模糊子集設A(X)，其水準截集為A

，

，

0

，

1，

0，

分解定理：

或用隸屬函數

結論：任何模糊數學問題，均可通過分解定理用經典集合論方法處理；從概念上講，模糊數學是經典數學的推廣和發展；

A(x)xoA

U1122.5實數域上的模糊集

論域X=R=(-∞,+∞)上的模糊子集A的隸屬函數稱為模糊分佈。

1.戒上型：

1

，x＜a

0

，x≥a

①降半矩形分佈

②降半

分佈

,x＞a

1,x≤a

，其中k＞0

③降半正態分佈

,x＞a

1,x≤a

④降半柯西分佈

,x＞a

1,x≤a

,其中k,

＞0

⑤降半梯形分佈

0,x≥a1

1,x＜a2

,a2＜x≤a113

2.戒下型：

0

，x≤a

1

，x＞a

①升半矩形分佈

②升半

分佈

0,x≤a

,x＞a

，其中k＞0

③升半正態分佈

0,x≤a

,x＞a

④升半柯西分佈

0,x≤a

,x＞a

,其中k,

＞0

⑤升半梯形分佈

0,x≤a1

1,x＞a2

,a1＜x≤a214

3.對稱型：

①矩形分佈

②尖

分佈

③正態分佈

④柯西分佈

⑤梯形分佈

0

，x≤a-b

1

，a-b＜x≤a+b

0

，x＞a+b

,x≤a

,x＞a

，其中k＞0

0,x≤a-a2

,a-a2＜x≤a-a11,a-a1＜x≤a+a1

,a+a1＜x≤a+a2

0,x＞a+a2

15

由擴張原理有

解：U={0,2,4,6,8,10}，V={a,b,c,d}

a

，x=0,2,4b

，x=6,8

c

，x=10

16

第三章模糊關係

3.1模糊關係的定義

從普通集合A到普通集合B的一個模糊關係R是指：以笛卡爾積

A×B={(a,b)|a∈A，b∈B}為論域的一個模糊子集

R，

記作R：AB，或R∈(A×B)

其隸屬函數為

R(a,b)，稱為(a,b)具有模糊關係R的程度。

R：A×B[0,1](a,b)A(a,b)

若A=B

，則稱R：A×A[0,1](a1,a2)A(a1,a2)

為A上的模糊關係。

例3-1設A={品質好,品質一般,品質差}，B={價格高,價格中等,價格低}是兩個普通集合，則表示“質價相符”這個模糊關係R，就是笛卡爾積A×B上的一個模糊子集，其隸屬函數為：

R價格高價格中等價格低品質好10.70品質一般0.810.5品質差00.6117

例3-3設X，Y為兩個坐標軸，則表示“x遠遠大於y”這個模糊關係R，就是笛卡爾積X×Y上的一個模糊子集，其隸屬函數為：

0,x≤y

,x＞y

若取x=101，y=1，則x遠遠大於y的程度是：

例3-2設A={直線,園,橢圓,雙曲線,拋物線}，則表示這五種幾何圖形“相似關係”

R，就是笛卡爾積A×A上的一個模糊子集，其隸屬函數為：

R直線園橢圓雙曲線拋物線直線100.10.20.3園010.90.50.4橢圓0.10.910.70.6雙曲線0.20.50.710.8拋物線0.30.40.60.8118

3.2模糊矩陣一、概念

當論域A、B為有限集時，模糊關係R可用矩陣表示，記為R=(rij),0≤rij≤1，i=1,2,…,m;j=1,2,…,n

例如:“質價相符”這個模糊關係的模糊矩陣為：

五種幾何圖形“相似”這個模糊關係的模糊矩陣為：

特例：當隸屬度為0和1時，模糊矩陣變為普通矩陣。如:19

二、幾種特殊的模糊矩陣：①表示A×B上的“零關係”的零矩陣O：

(a,b)A×B，

o(a,b)=0。即A與B中任意元素之間具有關係O的程度為0。

②表示A×A上的“恒等關係”的恒等矩陣I：

(a,b)A×A，當a=b時,I(a,b)=1；當a≠b時,I(a,b)=0。即A中任意元素自己與自己具有關係I的程度為1，與其餘元素具有關係I的程度為0。

③表示A×B上的“全稱關係”的全矩陣E：

(a,b)A×B，

E(a,b)=1。即A與B中任意元素之間具有關係E的程度均為1。

20

三、模糊矩陣的運算：設有模糊矩陣R=(rij)n×m

，S=(sij)n×m

①R與S的並：R∪S=(rij∨sij)；②R與S的交：R∩S=(rij∧sij)；③R的餘：Rc=(1-rij)；④R與S相等：R=S，

i,j，均有rij=sij

；⑤R包含於S：R

S，

i,j，均有rij≤sij

。

例如：

21

四、模糊矩陣的運算性質：⑴冪等律：R∪R=R，R∩R=R；⑵交換律：R∪S=S∪R，R∩S=S∩R；⑶結合律：(R∪S)∪T=R∪(S∪T)，(R∩S)∩T=R∩(S∩T)；⑷分配律：(R∪S)∩T=(R∩T)∪(S∩T)，(R∩S)∪T=(R∪T)∩(S∪T)；⑸吸收律：(R∪S)∩S=S，(R∩S)∪S=S；⑹兩極律：O∪R=R，O∩R=O，E∪R=E，E∩R=R；

⑺還原律：(Rc)c=R⑻R

S

R∪S=S，R∩S=R；⑼R

S

Rc

Sc

；⑽R1

S1,R2

S2

(R1∪R2)

(S1∪S2),(R1∩R2)

(S1∩S2)⑾O

RE

五、模糊矩陣R的截矩陣R

：是一個普通矩陣設R=(rij)，對

[0,1]，稱R

=(rij(

))為R的截矩陣。

1,rij≥

0,rij＜

六、R

的運算性質：⑴對

[0,1]，有R

S

R

S

；⑵(R∪S)

=R

∪S

，(R∩S)

=R

∩S

。22

例3-4設有模糊矩陣：

則：

例3-5商品“質價相符”模糊關係的模糊矩陣為：

若參加者都認為“質價相符”,則記為100%=1；無人認為“質價相符”,則記為0%=0；有70%的人認為“質價相符”,則記為70%=0.7。而質檢和物價部門確定商品“質價關係”時，把全部的人認為“質價相符”定為“完全相符”;80%以上的人認為“質價相符”定為“相符”;50%以上的人認為“質價相符”定為“基本相符”。

取

=1，0.8，0.5得截矩陣：

23

3.3模糊關係的合成

1、模糊關係合成的概念：

設有論域X、Y、Z，Q∈(X×Y)、R∈(Y×Z)

，則Q對R的合成Q

R∈(X×Z)，即Q

R是一個由X到Z的模糊關係，其隸屬函數定義為：

特例：若X=Y=Z，則對X上的一個模糊關係R，記R

R=R2

2、對有限論域，模糊關係的合成可用模糊矩陣的運算表示：設論域X={x1,x2,…,xn}、Y={y1,y2,…,ym}、Z={z1,z2,…,zl}，

Q=(qij)n×m∈(X×Y)、R=(rjk)m×l∈(Y×Z)

，則Q對R的合成S=Q

R=(sik)n×l∈(X×Z)，並且24

例3-7設有模糊矩陣：

則：

253、模糊矩陣合成的運算性質：

⑴(Q

R)

=Q

R

；

例4-8設有模糊矩陣：取

=0.6

則：

⑵(Q

R)S=Q(RS)

；⑶Rm+n=Rm

Rn

；⑷Q

R

QS

RS

；

Q

R

SQ

SR

；

Q

RQn

Rn⑸O

R=RO=O

；I

R=RI=R；

26⑹(Q∪R)

S=(Q

S)∪(R

S)，S

(Q∪R)

=(S

Q)∪(S

R)；

⑺(Q∩R)

S≠(Q

S)∩(R

S)，S

(Q∩R)

≠(S

Q)∩(S

R)；

例3-9設有模糊矩陣：

則:(Q∩R)

S

(Q

S)∩(R

S)

(Q∩R)

S≠(Q

S)∩(R

S)

⑻Q

R≠R

Q；

例3-10設有模糊矩陣：

則:

Q

R≠R

Q

27

3.4幾種常見的模糊關係

1、模糊倒置關係：

設R∈(X×Y)，即R是X到

Y上的模糊關係，其隸屬函數為

R(x,y)，則RT∈(Y×X)，是Y到

X上的模糊關係，稱為R的倒置關係，其隸屬函數定義為：

特例，對有限論域X、Y，模糊關係R可表示為模糊矩陣R=(rij)m×n，則RT的模糊矩陣為RT=(rji)n×m

例3-11商品“質價相符”模糊矩陣為：則商品“價質相符”模糊矩陣為：2、模糊對稱關係：

設R∈(X×X)，即R是X上的模糊關係，其隸屬函數為

R(x1,x2)，

若對x1,x2

X

，均滿足

則稱R是模糊對稱關係。特例，對有限論域X，模糊關係R可表示為模糊矩陣R=(rij)m×n，若滿足RT=R，則R為模糊對稱矩陣。

例3-12模糊矩陣

則由RT=R，知R為模糊對稱矩陣。283、模糊自反關係：

設R∈(X×X)，即R是X上的模糊關係，其隸屬函數為

R(x1,x2)，

若對xX

，均滿足

則稱R是模糊自反關係。特例，對有限論域X，模糊關係R可表示為模糊矩陣R=(rij)m×n，若R主對角線上的元素均為1，則模糊矩陣R為模糊自反矩陣。

例3-13模糊矩陣

則R為模糊自反矩陣。4、模糊相似關係：

設R∈(X×X)，即R是X上的模糊關係，其隸屬函數為

R(x1,x2)，

若R既是對稱關係又是自反關係，則稱R是X上的模糊相似關係，其隸屬函數滿足：對x1,x2,xX

，均有

特例，對有限論域X，模糊關係R可表示為模糊矩陣R=(rij)m×n，若R對稱且主對角線上的元素均為1，則R為模糊相似矩陣。29

例3-14論域U={直線,園,橢圓,雙曲線,拋物線}上的模糊矩陣因為R既是模糊對稱矩陣又是模糊自反矩陣，所以R為U上五種幾何圖形間的模糊相似矩陣。

轉置模糊矩陣運算性質：⑴(RT)T=R；⑵(R∪Q)T=RT∪QT

，(R∩Q)T=RT∩QT

；

⑶

R

Q

RT

QT

；⑷(RT)

=(R

)T；⑸(Q

R

)T=QT

RT，(Rn)T=(RT)n；⑹對

模糊矩陣R：R∪RT必是對稱矩陣,

且R∪RT被所有包含R的對稱矩陣所包含。

305、模糊傳遞關係：⑴普通傳遞關係R：對x,y,zX，若(x,y)

R,(y,z)

R

(x,z)

R

如幾何中的平行關係就普通傳遞關係：若ab,bcac⑵模糊傳遞關係R：

設R∈(X×X)，即R是X上的模糊關係，其隸屬函數為

R(x1,x2)，

若RR

R(或R2

R)，則稱R是X上的模糊傳遞關係，其隸屬函數滿足：對x1,x2,x3

X

，均有

特例，對有限論域X，模糊關係R可表示為模糊矩陣R=(rij)n×n，其隸屬度為rij

，

若RR

R(或R2

R)，則稱R是X上的模糊傳遞矩陣，其隸屬度滿足：

例3-15影響企業經濟效益的主要因素構成論域

U={銷售額(X1),購銷費用(X2),零售利潤(X3)},

它們彼此影響的模糊關係矩陣為：即RR

R，所以R為模糊傳遞矩陣。31⑶模糊關係R的截關係

R

：

設R∈(X×Y)，即R是X到Y上的模糊關係，其隸屬函數為

R(x,y)，

對

[0,1]，R的截關係R

是X到Y上的普通關係，其特徵函數為

特例，當X=Y時，稱R

是X上的截關係。1,

R(x,y)

≥

0,

R(x,y)

＜

⑷模糊傳遞關係與普通傳遞關係的聯繫：

[定理]：設R∈(X×X)，即R是X到X上的模糊關係，則：

R是模糊傳遞關係

對

[0,1]，R的截關係R

均是普通傳遞關係。326、模糊等價關係：⑴普通等價關係R：若普通關係R同時具有自反性、對稱性、傳遞性，則稱R是普通等價關係。⑵模糊等價關係R：若模糊關係R同時具有自反性、對稱性、傳遞性，則稱R是模糊等價關係。特例，對有限論域，模糊等價關係R可表示為模糊等價矩陣R=(rij)n×n，

例3-16上例中的模糊關係矩陣：為模糊自反、對稱、傳遞矩陣。故R為模糊等價矩陣。[定理]模糊矩陣R是模糊等價矩陣

對

[0,1],R的截矩陣R

均是普通等價矩陣。33第四章模糊綜合評判

4.1模糊綜合評判數學模型及其應用一、綜合評判數學模型

設有二個論域：X={X1,X2,…,Xn}表示綜合評判多種因素的集合，

Y={Y1,Y2,…,Yn}表示評語集合，則模糊變換AR=B稱為綜合評判數學模型。其中：R(X×Y)，是X×Y上的模糊關係矩陣；

A是X上的模糊子集，即各評判因素的權重，

B是Y上的模糊子集，即評判結果。二、綜合評判步驟

1、確定R：對因素集X中各個因素，用各種可行方法分別作出對評語集Y中各個評語的單因素評判，進而得到一個實際上表示X和Y間模糊關係的模糊矩陣R。

2、確定A：對因素集X中各個因素，確定其在被評判事物中的重要程度(權重)，且權重之和為1。

3、確定B：作模糊變換B=AR，則B正好表示被評判事物在評語集Y上的綜合評判結果。R輸入A輸出BAR=B34

例4-1市場調查與銷售預測時，欲知某商品受歡迎的程度。現確定顧客從品質、價格、花色、式樣、包裝五個方面評判該商品受歡迎的程度。取評判因素集為X={品質、價格、花色、式樣、包裝}，取評語集為Y={很受歡迎、較受歡迎、不大受歡迎、不受歡迎}，試就這五個因素對該商品受歡迎程度作出綜合評判。

解：①確定R：對該商品進行單因素評判用隨機抽樣的方法，組成一個100人的有各方代表人物參加的評判小組，讓他們各自獨立對該商品“品質”作出獨立評判，結果是：有60人表示該商品“很受歡迎”，有30人表示該商品“較受歡迎”，有10人表示該商品“不大受歡迎”，無人表示該商品“不受歡迎”。於是得：A質=(0.6，0.3，0.1，0)

同理有：A價=(0.2，0.4，0.3，0.1)A花=(0.5，0.3，0.2，0)A式=(0.4，0.3，0.2，0.1)A包=(0.1，0.2，0.4，0.3)

這樣就可得模糊矩陣：35②確定A：確定五項單因素在總評判中的權重經分析研究確認，對這100名代表人物，該商品受歡迎程度的五項因素中：

“品質”占30%，“價格”占25%，“花色”占20%，“式樣”占20%，“包裝”占5%，於是得因素權重：A=(0.3，0.25，0.2，0.2，0.05)(帶主觀因素，隨時間、場合和對象不同而變化)

③確定B：進行綜合評判，採用算子M(⊙,)，可將結果歸一化

結論：對該商品，顧客表示“很受歡迎”的比重為41.5%；顧客表示“較受歡迎”的比重為32%；顧客表示“不大受歡迎”的比重為20.5%；顧客表示“不受歡迎”的比重為6%；

36

例4-2企管人員管理能力素質綜合評判，從行政組織能力、企管水準、科技知識、知人善任意識四個方面評判企管人員管理能力素質。取評判因素集為X={行政組織能力、企管水準、科技知識、知人善任意識}，取評語集為Y={很好、較好、一般、較差、很差}，試就這四個因素對該企管人員管理能力素質作出綜合評判。

解：①確定R：對該企管人員管理能力素質進行單因素評判，得：

A行=(0.6，0.2，0.1，0.1，0)A企=(0.4，0.3，0.2，0.1，0)A科=(0.2，0.2，0.3，0.1，0.1)A知=(0.5，0.4，0.1，0，0)

這樣就可得模糊矩陣：②確定A：確定四項單因素在總評判中的權重

A=(0.3，0.3，0.3，0.1)③確定B：進行綜合評判，採用算子M(⊙,)，並將結果歸一化

綜合這四個因素，認為對該企管人員管理能力“很好”的比重為41%，“較好”的比重為25%，“一般”的比重為19%，“較差”的比重為3%。37

例4-3對教師教學能力綜合評判，從清楚易懂、教材熟練、生動有趣、板書整齊四個方面評判教師教學能力。取評判因素集為X={清楚易懂、教材熟練、生動有趣、板書整齊}，取評語集為Y={很好、較好、一般、不好}，試就這四個因素對該教師教學能力作出綜合評判。

解：①確定R：對某教師進行單因素評判就“清楚易懂”因素，作出獨立評判，結果是：全班學生中有40%人表示“很好”，有50%人表示“較好”，有10%人表示“一般”，無人表示“不好”。於是得：A清=(0.4，0.5，0.1，0)

同理有：A教=(0.6，0.3，0.1，0)A生=(0.1，0.2，0.6，0.1)A板=(0.1，0.2，0.5，0.2)

這樣就可得模糊關係矩陣：②確定A：確定四項單因素在總評判中的權重

A=(0.5，0.2，0.2，0.1)③確定B：進行綜合評判，採用算子M(∨,∧)，可將結果歸一化

38

結論：對該教師教學能力，學生表示“很好”的比重為33%；學生表示“較好”的比重為42%；學生表示“一般”的比重為17%；學生表示“不好”的比重為8%；

39

例4-4對商店“文明禮貌”評比，現確定清潔衛生、禮貌待客、秤平尺足、商品陳設作為評比因素，取評判因素集為X={清潔衛生、禮貌待客、秤平尺足、商品陳設}，需要評比的有甲、乙、丙三個商店，“文明禮貌”活動開得好的優劣，故取評語集為Y={甲商店好、乙商店好、丙商店好}，試就這四個因素對三個商店“文明禮貌”活動開得好的優劣作出綜合評判。

解：①確定R：進行單因素評判組成一個100人的評比小組，到甲、乙、丙三個商店對“清潔衛生”作單因素評判，結果是：有80人認為甲商店“清潔衛生”好，有60人認為乙商店“清潔衛生”好，有40人認為丙商店“清潔衛生”好，於是得：A清=(0.8，0.6，0.4)

同理有：A禮=(0.5，0.6，0.7)A秤=(0.7，0.9，0.6)A商=(0.9，0.4，0.3)

這樣就可得模糊矩陣：40②確定A：確定四個因素在總評判中的權重經分析研究，確認在這四個因素中：“清潔衛生”占20%，“禮貌待客”占30%，“秤平尺足”占40%，“商品陳設”占10%，於是得因素權重

A=(0.2，0.3，0.4，0.1)③確定B：進行綜合評判，採用算子M((⊙,)

結論：商店甲“文明禮貌”活動開得好的程度為0.68，商店乙“文明禮貌”活動開得好的程度為0.70，商店丙“文明禮貌”活動開得好的程度為0.56，故商店乙“文明禮貌”活動開得最好，商店甲其次，商店丙最差。

41

4.2多層模糊綜合評判模型及其應用

複雜系統中，對某事物進行評判，需考慮的因素很多，因素之間還有不同的層次，這時可採用多層綜合評判模型。對二層模型，綜合評判步驟如下：

第一步：對因素集

X作一劃分，分成n個子集X1,X2,…,Xn，使X=X1∪X2∪…∪Xn，且對

i≠j

，Xi∩Xj=

其中Xi為第i個子因素集，有ki個評判因素，即：

Xi={Xi1,

Xi2,…Xiki}，i=1,2,…,n，(k1+k2+…+kn為總因素個數)

第二步：對每個子因素集

Xi={Xi1,

Xi2,…Xiki}，i=1,2,…,n作單層綜合評判子因素集

Xi到評語集

Y上的模糊矩陣為Ri

，Xi

中各因素的權重為Ai，可得Xi上的單層綜合評判結果為Bi=AiRi=(bi1,

bi2,…biki)，將Bi作為上層綜合評判中總因素集X與評語集Y的模糊矩陣R中第i行元素。第三步：對上步劃分的n個因素X=(X1,X2,…,Xn)，再按單層綜合評判法作出綜合評判，便得多層綜合評判結果B。

因素集

X

到評語集

Y上的模糊矩陣為R，X中各因素的權重為A，

R輸入A1輸出BR1Rn…輸入AnB1Bn…輸出輸出輸入A42

例4-4為促銷，對商店設計進行評價，決定設計好壞的因素有：色彩、光線、音響、溫度、清潔衛生、貨位分佈、商品陳列、營業面積八種，今對商店設計進行綜合評價。現確定：評判因素集為X={色彩、光線、音響、溫度、清潔衛生、貨位分佈、商品陳列、營業面積}；評語集為Y={很好、較好、一般、不好}

解：第一步：對因素集

X劃分為X={X環、X貨、X陳、X營}

其中X環={色彩、光線、音響、溫度、清潔衛生}，(商店環境因素)X貨={貨位分佈}，

X陳

={商品陳列}，

X營

={營業面積}

第二步：分別對X環、X貨、X陳、X營四個子因素集作單層綜合評判①對“商店環境”子因素集X環={色彩、光線、音響、溫度、清潔衛生},採用算子M(⊙,)

43②對“貨位分佈”子因素集X貨={貨位分佈},採用算子M(⊙,)③對“商品陳列”子因素集X陳={商品陳列},採用算子M(⊙,)④對“營業面積”子因素集X營={營業面積},採用算子M(⊙,)

第三步：對商店設計X={X環、X貨、X陳、X營}進行綜合評判，採用算子M(⊙,)44

結論：對該商品設計，認為“很好”的比例為28.5%，認為“較好”的比例為26.2%，認為“一般”的比例為24.8%，認為“不好”的比例為21.5%。

45習題四

二、試用算子M(∨,∧)、M(∨,)、M(⊙,)

計算模糊變換(合成)

三、湘江第二大橋，曾提出三個工程方案確定甲、乙、丙三個橋位，關於這三個橋位的工程方案的原始資料中，共列入了損失、造價和受益三大類的12項評判因素，即：

X造={引線工程造價、複蓋層厚度、橋位地形地貌、附屬工程設施}X損={佔用良田、折遷房屋、繞道通過地帶、由下攝司去易俗河繞行年損失}，

X益={引出過境交通、對區域發展的影響、橋位與建設大道的聯繫、由板攝路口至易河營運里程}。取評判因素集

X={X損、X造、X益},評語集為Y={-3，-2，-1，0，1，2，3}，經專家評價後整理為權：A=(0.22,0.18,0.6)A造=(0.5,0.1,0.1,0.3),A損=(0.5,0.3,0.1,0.1),A益=(0.5,0.25,0.1,0.15)一、判斷下列模糊矩陣是否為模糊等價矩陣

46X造引線工程造價複蓋層厚度橋位地形地貌附屬工程設施甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙丙000000000000000000.250000.2500.250.2500.250.2500.50.2500.250.50.250.50.50.250.50.50.250.250.50.250.50.250.50.250.250.50.250.250.500.250.50.2500.25000.25000.25000.25000000000000000047X損佔用良田折遷房屋通過地帶繞行損失甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙丙0000000000000.250.250.25000000.250000.50.50.50.2500.250.250.250.500.250.50.250.250.250.50.250.50.50.50.2500.50.50000.250.50.250.250.2500.250.250.2500000.2500000.5000000000000.250048X益過境交通區域發展影響與建設大道聯繫營運里程甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙丙0000000000000.2500000.2500.2500.25000.500.250.2500.50.250.50.250.50.2500.250.250.50.50.250.250.50.250.50.250.50.2500.50.250.250.500.2500.2500.250.500.25000.250000000.25000000000000

試分別採用算子M(∧,∨)、M(,⊙)進行多層次綜合評判，以決定甲、乙、丙哪個方案最好？。

49第五章模糊模式識別

5.1模糊子集的內積和外積一、內積和外積的定義設A,B∈(X)，其隸屬函數為

A(x),B(x)，則稱：

為A與B的內積；

為A與B的外積。

例5-1A1、A2是實數域R上兩個正態模糊子集，其隸屬函數為：

xo1

a1a2C(小中取大，故為交點C)(大中取小，故為0)50

二、有限論域內積和外積定義

設X是有限論域，且A,B∈(X)，A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn)，則稱：

為A與B的內積；

為A與B的外積。

例5-2設A=(0.4，0.6，0.3，0.5

),B=(0.1，0.7，0.5，0.2

)

則A·B=(0.4∧0.1)∨(0.6∧0.7)∨(0.3∧0.5)∨(0.5∧0.2)=0.1∨0.6∨0.3∨0.2=0.6A

B=(0.4∨0.1)∧(0.6∨0.7)∧(0.3∨0.5)∧(0.5∨0.2)=0.4∧0.7∧0.5∧0.5=0.4

三、性質

1、(A·B)c=Ac

Bc

，(A

B)c=Ac

·Bc

2、對任意模糊向量A均有：A·Ac≤1/2，A

Ac≥1/251

四、模糊向量的笛卡爾積設模糊向量A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn)，

則稱A×B=ATοB為A與B的笛卡爾積(是一個模糊矩陣)。

例5-3設A=(0.4，0.6，0.3，0.5

),B=(0.1，0.7，0.5，0.2

)

52

五、A·B與A×B

幾何意義

1、A·B=AοBT：表示同一個論域X上二個模糊概念與的相關程度(模糊關係)。

A可看成是由單元素論域{