高一数学等差数的列性质

等差数列的性质皖黄山市徽州区第一中学凌荣寿Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.知识回顾等差数列

AAAAAAAAAAAAA每一项与它前一项的差

如果一个数列从第2项起，等于同一个常数.......【说明】AAA①数列{an}为等差数列

an+1-an=d或an+1=an+dd=an+1-an②公差是唯一的常数。an=a1+(n-1)d等差数列各项对应的点都在同一条直线上.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.一、判定题：下列数列是否是等差数列？①.9，7，5，3，……,-2n+11，……；②.-1，11，23，35，……,12n-13，……；③.1，2，1，2，………………；④.1，2，4，6，8，10，……；⑤.

a,a,a,a,……，a，……；√√√××复习巩固：Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.

(1)等差数列8，5，2，…，的第5项是

AA

AAAAAAA

(2)等差数列-5，-9，-13，…的第n项是A

-4an=-5+(n-1).(-4)10【说明】

在等差数列{an}的通项公式中a1、d、an、n任知三个，可求出另外一个二、填空题：简言之————“知三求四”(3)已知{an}为等差数列，a1=3，d=2，an=21，则n=Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.

②上面的命题中的等式两边有相同数目的项，如a1+a2=a3成立吗？【说明】3.更一般的情形，an=，d=等差数列的性质1.{an}为等差数列

2.a、b、c成等差数列

an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b（k、b为常数）am+(n-m)db为a、c的等差中项AA2b=a+c4.在等差数列{an}中，由m+n=p+qam+an=ap+aq注意：①上面的命题的逆命题是不一定成立的；

Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.例1.

梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间

还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽.项数（上）123456789101112数列的项33110项数（下）121110987654321分析：例题分析解法一:用{an}题中的等差数列，由已知条件，有a1=33，a12=110，n=12又a12=a1+(12—1)d即110＝33＋11d所以d=7因此，a2=33+7=40a3=40+47…………a11=96+7=103答：梯子中间各级的宽从上到下依次是40cm、47cm、54cm、61cm、68m、75cm、82cm、89cm、96cm、103cm.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.例2.在等差数列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20例题分析(2）已知a3+a11=10，求a6+a7+a8(3)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.分析：由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知a3+a11=10，∴a6+a7+a8=（a3+a11）=15分析：a4+a5+a6+a7=56a4+a7=28①又a4a7=187②，解①、②得a4=17a7=11a4=11a7=17或∴d=_2或2,从而a14=_3或31Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.课堂练习1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，2a-5，-3a+2，则a等于（)

A.-1B.1C.-2D.2B2.在数列{an}中a1=1，an=an+1+4，则a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6)提示1:提示：d=an+1—an=4-353.在等差数列{an}中(1)

若a59=70，a80=112，求a101；(2)

若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q

=0Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.研究性问题300<<5004.在等差数列{an}中,a1=83，a4=98，则这个数列有多少项在300到500之间？d=5,提示：an=78+5nn=45，46，…，84402.已知{an}为等差数列，若a10=20，d=-1，求a3

?1.若a12=23，a42=143，an=263，求n.3.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.d=4n=72a3=a10

+(3-10)da3=27设这三个数分别为a-da，a+d，则3a=12，a2-d2=126，4，2或2，4，6Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.

②上面的命题中的等式两边有相同数目的项，如a1+a2=a3成立吗？【说明】3.更一般的情形，an=，d=一、知识巩固1.{an}为等差数列

2.a、b、c成等差数列

an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b（k、b为常数）am+(n-m)db为a、c的等差中项AA2b=a+c4.在等差数列{an}中，由m+n=p+qam+an=ap+aq注意：①上面的命题的逆命题是不一定成立的；

5.在等差数列{an}中a1+an

a2+an-1

a3+an-2

…===Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.①前100个自然数的和：1+2+3+…+100=

；

②前n个奇数的和：1+3+5+…+(2n-1)=

；③前n个偶数的和：2+4+6+…+2n=

.思考题：如何求下列和？n2n(n+1)Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.二、学习新课㈠等差数列前n项和Sn

=

=

.=an2+bna、b为常数Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an

(1)Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1(2)(1)+(2)得2Sn=n(a1+an)Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.㈡【说明】①推导等差数列的前n项和公式的方法叫

；②等差数列的前n项和公式类同于

；③{an}为等差数列

，这是一个关于

的

没有

的“

”

倒序相加法梯形的面积公式Sn=an2+bnn常数项二次函数（注意a还可以是0）例1已知数列{an}中Sn=2n2+3n，求